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Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Martinelli Maria Renata

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(1/3) Appunti presi a lezione di Analisi matematica 2, prof. M. R. Martinelli, libri consigliati Elementi di Analisi Matematica 2, Fusco, Marcellini, Sbordone e Analisi Matematica 2 - Ghizzetti, Rosati Premium

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Martinelli

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

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(1/3) Appunti presi alle lezioni del corso di Analisi matematica 2 tenuto dalla prof. M. R. Martinelli. Argomenti trattati: Funzioni di più variabili: coordinate cartesiane, prodotto cartesiano di insieme, spazio euclideo, distanza nella retta, intorno circolare di un punto, intervallo chiuso di estremi, punto di accumulazione, chiusura di un insieme, dominii, esercizi svolti. Funzioni di 2 variabili, esercizi svolti, limiti di funzione, esercizi. Funzione composta e continua, teoremi fondamentali delle funzioni continue, punti singolari, esercizi. Teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri e dimostrazione. Derivate, derivata parziale rispetto a x e y, esempio di funzione derivabile ma non continua nell’origine, teorema di Schwarz, derivate terze, derivate n-esime, esempio in cui non vale il teorema di Schwarz, derivabilità nei punti di frontiera, teorema sulla locale limitatezza e dim., esercizi svolti. Calcolo differenziale: Funzioni differenziabili, differenziale per funzioni a 1 e 2 variabili, differenziale totale, condizione necessaria per la differenziabilità, esempi svolti, teorema del differenziale totale, teorema di derivazione delle funzioni composte, teorema di costanza del campo connesso e dim., derivata direzionale e teorema con dim, esercizi svolti, gradiente, esercizio svolto. Massimi e minimi relativi per funzioni a 2 variabili, teorema di Fermat per funzioni a 2 variabili, esercizi svolti, cond. nec. su max e min relativi, esercizi, curve regolari, retta tangente in un punto alla curva, lunghezza dell’arco di curva, max e min assoluti, teorema di Weierstrass per funzioni a 2 variabili, esercizi svolti, piano tangente a una superficie in un punto, esercizi svolti.
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(2/3) Appunti presi a lezione di Analisi matematica 2, prof. M. R. Martinelli, libri consigliati Elementi di Analisi Matematica 2 – Fusco, Marcellini, Sbordone e Analisi Matematica 2 – Ghizzetti, Rosati Premium

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(2/3) Appunti presi alle lezioni del corso di Analisi matematica 2 tenuto dalla prof. M. R. Martinelli. Argomenti trattati: MISURA. Misura di intervalli, decomposizione coordinata, esempio di un insieme non misurabile secondo Peano-Giordano, insieme misurabile secondo Peano-Giordano, (teorema di cond.ne nec. E suff.), definizione di rettangoloide e dim. che è misurabile, definizione di dominio normale rispetto all’asse x. INTEGRALI. Integrali definiti come funzione di una o più variabili, teoremi sugli integrali e esercizi, def. di integrale di una funzione continua di 2 variabili esteso ad un insieme chiuso limitato misurabile di R2, norma, proprietà di integrali doppi, teorema della media e sua generalizzazione, teorema sull’additività degli integrali, teorema sulla distributività degli integrali, proprietà degli integrali, formula di riduzione degli integrali doppi, esercizio. Area di un settore circolare, def. di settore piano, def. di dominio polarmente normale relativo a 2 funzioni e all’intervallo, cilindro retto misurabile, def. di cilindroide, esercizio, dominio normale rispetto all’asse y, formule di riduzione e esercizi, cambiamento in R2 delle coordinate cartesiane in polari, esercizi svolti, Formule per cambiamento di variabili qualsiasi e esercizi. FORME DIFFERENZIALI LINEARI. Definizione e integrale curvilineo di una forma differenziale lineare, def. di curva generalmente regolare e integrale curvilineo di una forma diff. lineare esteso a un arco di curva generalmente regolare, esercizi, forme differenziali lineari esatte, teorema, teorema di C. N. e S. di esattezza di una forma, esercizio, esempio di forma non esatta, teorema forma chiusa e esatta, esercizi tipo. Formule di Green- Gauss in R2 e dim., esempi. Teorema della divergenza in forma scalare, def. insieme semplicemente connesso, cond. suff. per integrabilità di una forma diff. lin. in campi semplicemente connessi e dim, esercizio. Volumi di rotazione, applicazione a rettangoloide e sfera.
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(3/3) Appunti presi a lezione di Analisi matematica 2, prof. M. R. Martinelli, libri consigliati Elementi di Analisi Matematica 2, Fusco, Marcellini, Sbordone e Analisi Matematica 2, Ghizzetti, Rosati Premium

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(3/3) SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni reali di 1 variabile reale, def. di limite punto per punto, esempi, limite uniforme, convergenza uniforme, limite puntuale, C.N. e S. affinchè una succ. di funzioni converga uniformemente a una funzione, esempi. Teorema di continuità della funzione limite e dim., teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata, esercizi svolti, baricentro. Teorema di Guldino. Riepilogo serie: teoremi, criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice, criterio di convergenza per serie a termini di segno alterno. Serie di funzioni: convergenze puntuale, uniforme, assoluta, totale, esempi, esempio di serie non assolutamente convergente e uniformemente convergente, teoremi. Serie di potenze di punto iniziale, teorema su convergenza assoluta di una serie di potenze e dim., teorema di D’Alembert, Teorema di Cauchy-Hadamard, esercizi, teorema di Abel. Serie geometrica, Criterio di Leibniz, esercizi. EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Eq.ni diff. del primo ordine, del secondo ordine, di ordine N, esempi, esercizio d’esame su serie, esercizi, problema di Cauchy o problema dei valori iniziali e differenziali del primo ordine risolte per quadratura, esercizi, equazioni differenziali lineari spezzate, esercizio d’esame, equazioni a variabili separabili, eq. diff. esatte, teorema dell’unicità in grande, eq. diff. lineari di ordine N, teorema di Liouville e osservazioni, eq. algebriche, teorema fondamentale dell’algebra, eq. diff. lin. omogenee a coeff. costanti e esercizi, eq. diff. lineari non omogenee con metodo della somiglianza, vari casi e applicazioni, metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
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