Raccolta domande Fuori Paniere di Analisi matematica

L'equazione differenziale completa ay"+by'+cy=cos(t) Acos(t)+Bsin(t)

ha 0 e 1 come radici dell'equazione caratteristica

dell'equazione omogenea associata; allora la forma

generale, più semplice, di una soluzione particolare

dell'equazione differenziale completa è

L'equazione differenziale y"- y= 0 ha soluzione generale aet+be-1

L'equazione differenziale y"+y'-2y=0, con y(0) non nulla, ha soluzioni esponenziali illimitate

L'equazione differenziale y"+y'-2y=tet ha la soluzione (At2-t/9)et

particolare, per un opportuna A≠0,

L'equazione differenziale y"-2y'+y=0 ha, come integrale et, tet

generale y(t), una combinazione lineare delle funzioni

L'equazione differenziale y'=y/t ha, come integrale y(t)=kt

generale (con k costante reale),

L'integrale curvilineo del campo scalare 3(e9-1)

f(x,y)=2xyexp(x2), dove exp(t)=et, lungo la curva data

da r(t)=(3cos t, 3sin t), con 0<t<3π/2, vale (per risolvere

l'integrale, può essere utile la sostituzione u=9cos2t):

L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x2+y2-z 8π

lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(2cos t,2sin t,

0), 0<t<π, vale

L'integrale curvilineo del campo scalare f(x,y,z)=x2+y2-z 5π(9-2π)

lungo l'arco di elica circolare dato da r(t)=(3cos t,3sin t,

4t), 0<t<π, vale

L'integrale curvilineo del campo vettoriale 0

F(x,y)=ex[sin(x+y)+cos(x+y)]i+excos(x+y)j lungo la curva

di equazione parametrica r(t)=2(cos t)i+2(sin t)j, con t

in [0,2π], vale

L'integrale definito da 1 a e di ln(x) vale 1

L'integrale definito in x fra 0 e 1 di f(x)=x(x2-1)9 vale 1/20

L'integrale di f(x,y)=18xy2/(x2+y2) sulla regione piana -7sqrt2

data da y>x e 12+y2<4 vale

L'integrale di f(x,y)=x-y sul dominio x2 vale 0

L'integrale di linea del campo vettoriale F(x,y,z)=(yz, xz, 2

xy) lungo la curva di parametrizzazione x=t2, y=t+1,

z=t3, con t in [0,1], vale

L'integrale doppio di f(x,y)=(sin y)/y sul triangolo T i cui 2

lati giacciono sulle rette x=0, y=π, y=x vale

L'integrale doppio di f(x,y)=2x cos y sulla parte di piano 1-cos 1

formata dai punti (x,y) con 0<x<1 e 0<y<1-x2 vale

L'integrale doppio di f(x,y)=8ye2x sul dominio 0<x<1, e2+1

0<y<√x vale

L'integrale doppio di f(x,y)=xy2 esteso al triangolo di 0

vertici (-3,0), (3,0), (0,3) vale

L'integrale generale dell'equazione differenziale y"+2y'- ex, e-3x

3y=0 è una combinazione lineare delle funzioni

L'integrale triplo di (x-y-z) sul dominio espresso da -1 -3/2

vale

L'integrale triplo di f(x,y,z)=24(x+z) sul dominio 0<x<1, 2

0<y<1-x, 0<z<1-x-y vale

L'integrale triplo di f(x,y,z)=x sul dominio compreso fra i 6

piani coordinati e i piani x=2, y=3, z=1 vale

L'inversa della funzione y=|x+1|, con dominio dato non è definita

dall'insieme di esistenza,

L'inversa della funzione y=ex-1, con dominio dato è x=ln(y+1) con dominio ]-1,∞[

dall'insieme di esistenza,

L'inversa della funzione y=ln(x+1), con dominio dato è x=ey-1 con dominio R

dall'insieme di esistenza,

Lo jacobiano del cambio di coordinate x=ar cos t, y=br abr

sin t è

L'unica affermazione corretta è: da una successione limitata è sempre possibile

estrarre una sottosuccessione convergente

L'unica affermazione corretta per una funzione reale se f è decrescente per ogni x, allora f'(x)≤0 per

derivabile f è ogni x

L'unica affermazione errata è: se una successione è limitata, allora è di

Cauchy

Per il campo scalare f(x,y)=arctan(1+x2)+exp(y2), dove un punto di minimo locale, non assoluto

exp(t)=et, il punto P=(0,0) è

Per il campo scalare f(x,y)=ln(1+x2)+y3-3y (0,1) è punto di minimo, (0,-1) è di sella

Per il problema di Cauchy y’’+ty’+y=0, y(0)=1, y’(0)=0, la · è l’unica soluzione *

funzione f(t)=exp(-t^2/2), dove exp(x)=e^x:

Per un campo vettoriale F con derivate parziali F è irrotazionale

continue, quale delle seguenti affermazioni non è

equivalente alle altre?

Per un campo vettoriale F, l'unica affermazione, fra le Se F è irrotazionale, allora è anche

seguenti, che in generale non vale è conservativo

Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che 1

tende a +∞ di (B-A)/(nA) vale

Posto A=(n+1)! e B=(n+2)!, allora il limite per n che 0

tende a +∞ di (B-A)/(nB) vale

Posto F(x,y)=(-6sin x cos x cos y, 3sin2x sin y) e indicato -3/4

con U(x,y) il potenziale di F che si annulla nell'origine,

allora U(π/6,0) vale

Sapendo che an è una successione convergente non (n+an)-1 è convergente non infinitesima

infinitesima, NON possiamo concludere che

Sapendo che y(t)=3et-eat-1 è una soluzione 1 o -2

dell'equazione differenziale y"+y'-2y=2 e che a è un

numero reale, allora a vale

Se (an) è una successione infinitesima, con an≥0 per può convergere o divergere, ma non oscillare

ogni n, allora necessariamente la serie ∑an

Se (bn) è una sottosuccessione della successione di converge

termine generale an=1/n, allora bn

Se 0≤an≤bn per ogni n≥10, allora se ∑an diverge, allora anche ∑bn diverge

Se a>0 e il limite per x che tende a +∞ di (ax-1)2/(x2+1) 1<a<3 oppure 2

vale 4, allora

Se an+1^-an è convergente, allora: · An può non convergere

Se D è il cerchio di centro l'origine e raggio 1, allora π

l'integrale doppio ∫∫D [xsin(x4+y)+1] dx dy vale

Se D è il semicerchio di centro l'origine e raggio 1 1/(e-1)

situato nel semipiano y>0 e l'integrale doppio su D di

f(x,y)=k exp(x2+y2) vale π/2, dove exp(t)=et, allora k è

uguale a

Se D è il semicerchio di centro l'origine e raggio 2 2

contenuto nel semipiano y>0, allora l'integrale doppio

su D di f(x,y)=π-1x2 vale

Se D è il triangolo avente i vertici nell'origine e nei punti 1/15

(1,0) e (1,1), allora l'integrale doppio ∫∫D xy2 dx dy vale

Se D è la regione piana finita delimitata dagli assi 1/6

coordinati e dalla retta y=-x+1, allora l'integrale doppio

∫∫D x dx dy vale

Se f è una funzione che soddisfa le ipotesi del teorema f derivabile in [a,b] e f(a)=f(b)

di Rolle nell'intervallo [a,b], quale delle seguenti

affermazioni può non valere?

Se f è una funzione derivabile nell'intervallo [a,b], allora il coefficiente angolare della retta tangente al

f'(a) rappresenta grafico di f nel punto di ascissa x=a

Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x2+1) che vale 0 in 0, π/4 + ln 2

allora F(1) vale

Se F(x) è la primitiva di (2x+1)/(x2+4x+5) che vale ln 2 - 0

3π/4 in -1, allora F(-2) vale

Se F(x) è la primitiva di (2x+3)/(x2+6x+9) che vale 3 in - 1+2ln 3

2, allora F(0) vale

Se F(x) è la primitiva di (4x2-4x+1)-1 che vale 1/2 in 0, -1/2

allora F(1) vale

Se F(x) è la primitiva di (x2+3x)-1 che vale -(ln 2)/3 in -1, (ln 2)/3

allora F(-2) vale

Se F(x) è la primitiva di (x2-3x-1)/(x-3) che vale 8 in 4, 18-ln 3

allora F(6) vale

Se F(x) è la primitiva di (x2-4)-1 che vale 0 in 0, allora -(ln 3)/4

F(1) vale

Se F(x) è la primitiva di 2(2x2+x)/(2x-1) che vale 3 in 1, 8+ln 3

allora F(2) vale

Se F(x) è la primitiva di exsin x che vale 0 in π/4, allora -1/2

F(0) vale

Se F(x) è la primitiva di f(x)=In x con F(1)=2, allora F(e) 3

vale

Se F(x) è la primitiva di ln x che vale 0 in e, allora F(1) -1

vale

Se F(x) è la primitiva di sin(2x)/(1+sin2x) che vale 0 in 0, ln 2

allora F(π/2) vale

Se F(x) è la primitiva di sin(2x-π) con F(π/2)=1, allora 1/2

F(π) vale

Se F(x) è la primitiva di x(x-1)1/4 che vale 0 in 1, allora 56/45

F(2) vale

Se F(x) è la primitiva di xcos 2x che vale 1/4 in 0, allora -1/4

F(π/2) vale

Se f(x)=(1+2sin x)1/2, allora f'(π) vale -1

Se f(x)=(x+2)ln[1+2x+x2+cos(x)], allora f'(0) vale 2+ln(2)

Se f(x)=arctan(2x), allora f'(1) vale 2/5

Se f(x)=arctan[(x-1)/(x+1)] , allora f'(1) vale 1/2

Se f(x)=cos ln x, allora f'(e) vale -sin(1)/e

Se f(x)=e2x(e3x+1), allora f'(0) vale 7

Se f(x)=ln2x /(1+ln x), allora f'(e) vale 3e-1/4

Se f(x)=x+1 e g(x)=2x, posto F(x)=f(g(x)) e G(x)=g(f(x)), F(x)=2x+1, G(x)=2x+1

risulta

Se f(x)=x2+1 e g(x)=sin(x), posto F(x)=f(g(x)) e F(x)=1+sin2x, G(x)=sin(1+x2)

G(x)=g(f(x)), risulta

Se f(x)=x2x, allora f'(e) vale 4e(elevato 2e)

Se F(x,y,z) è un campo vettoriale con potenziale (e+2, e-1, e)

U(x,y,z)=xyez+x2-y+3, allora F(1,1,1) vale

Se il campo vettoriale F(x,y)=(2x/y, -x2/y2) ha U(x,y) 7

come potenziale nel primo quadrante, con U(1,1)=0,

allora U(4,2) vale

Se L è il valore del limite per x che tende a 5 di (x3- 50

25x)/(x-5), allora L vale

Se l'integrale di linea del campo vettoriale F(x,y)=(x, y) k=±2

lungo la curva di equazione parametrica r(t)=(2kt,2et),

con t in [0,1], vale 2e2+6, allora k vale

Se P(x) è un polinomio di grado 3 e Q(x) è un polinomio non si può stabilire con le informazioni date

tale che il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x) vale

+∞, allora il grado di Q(x)

Se P(x) è un polinomio di grado 4 e Q(x) un polinomio di vale 0

grado 5, il limite per x che tende a -∞ di P(x)/Q(x)

Se T è la regione limitata di piano compresa fra la 16/7

parabola x=y2+1 e la retta x=2, allora l'integrale doppio

su T di f(x,y)=5xy2+3x4sin y vale

Se U(x,y) è il potenziale che vale 1 in (0,1) del campo 4

vettoriale F(x,y)=(yexy+6x-1,xexy-2y), allora U(1,0) vale

Se U(x,y,z) è un potenziale del campo vettoriale 5

F(x,y,z)=(z3+6xy2, 6x2y+1, 3xz2), con U(0,0,0)=0, allora

U(1,1,1) vale

Se una serie di potenze centrata in x=0 converge nel essa converge anche in x=-2

punto x=2 allora

Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy (2-x)y'=y, -1

con y(0)=-1/2, allora y(1) vale

Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y"+y'- 2e-e-2

2y=0, y(0)=1, y'(0)=4, allora y(1) vale

Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+y=2sin e-π+1

t, con y(0)=0, allora y(π) vale

Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'+ytan -2π

t=2cos t, con y(0)=0, allora y(π) vale

Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=-2ty+t 5/e4

exp(-t2), y(0)=3, con exp(x)=ex, allora y(2) va

Se y(t) è la soluzione del problema di Cauchy y'=2ye-t, 1

con y(0)=e-2, allora il limite per t che tende a +∞ di y