Paniere esame Matematica e statistica completo

Lezione 006

01. Siano f(x)=x2+1 e g(x)=lnx. Allora f◊g(x)=ln(x2+1)

02. Siano f(x)=√x e g(x)=ex . Allora la funzione f◊g (x) (f composta con g) è √e^x

03. Siano f(x)=sin(x2+1) e g(x)=x. Allora f◊g(x)=sin(x+1)

04. Spiega sotto quali condizioni è possibile comporre due funzioni e, in tal caso,

cosa si intende per funzione composta. La funzione composta è la funzione che si

ottiene mediante l’operazione di composizione di due funzioni. Date le funzioni f e g,

indichiamo con g ∘ f (si legge «g composto f ») oppure con y = g[ f(x)] la funzione

composta che si ottiene associando a ogni elemento x del dominio di f, che abbia immagine

f(x) appartenente al dominio di g, il valore y immagine di f(x) mediante g. Per comporre le

due funzioni, occorre che l’immagine di x mediante la prima funzione, cioè f(x), sia un

valore per il quale si può determinare l’immagine tramite la seconda funzione. Quindi il

dominio di y = g[ f(x)] è costituito da tutti gli x del dominio di f tali che f(x) appartiene al

dominio di g.

Lezione 007

1. limx→0+ 1/x è +∞

2. limx→+∞ 1/x è 0+

3. limx→0 1/x2 è +∞

4. Traccia il grafico di una funzione y=f(x) che ha y=1 come asintoti orizzontale

sinistro, x=2 come asintoto verticale, e che tende a +∞ quando x tende a +∞.

Lezione 008

01. La successione definita per ricorrenza da: a0=-1/3 e an+1=an/2 una

progressione geometrica di ragione 1/2

02. La successione definita per ricorrenza da: a0=-1 e an+1=an 2-1 ha il termine a3

che vale 0

03. La successione an =(n-2)!/(n+1)! è uguale a an =1/n(n^2-1)

Lezione 009

1. Le rette r: y=x/2+1 e s: 2x-4y+3=0 sono parallele

02. Il coefficiente angolare della retta passante per i punti A=(-1,2) e B=(0,-3) è m=-5

03. Il fascio di rette parallele alla retta y=-3x+2 ha equazione y=-3x+k

04. Determina l'equazione della retta r perpendicolare a y=2x-1 passante per (3,-1).

Rappresenta r.

Lezione 010

01. Il punto medio del segmento che congiunge i punti A=(1,1) e B=(-3,5) è M=(-1,3)

02. La distanza del punto P=(2,-3) dalla retta di equazione 4x+y-1=0 è 4/√17

03. La distanza tra i punti A=(-2,1) e B=(5,3) è √53

04. Calcola la distanza del punto P=(1,0) dalla retta passante per A=(-1,3) e B=(2,-1).

Lezione 011

1. Il vertice della parabola di equazione y=3x2+6x+1 è V=(-1,-2)

02. La parabola di equazione y=-2x2+3x-1 concava e interseca l'asse y nel punto (0,-

1)

03. La parabola di equazione y=x2+2x interseca gli assi coordinati nell'origine

04. Rappresenta la parabola di equazione y=-3x2+2x+1, dopo averne determinato

vertice, asse e intersezioni con gli assi.

Lezione 012

01. La funzione y=-2x/(5x+3) ha asintoto verticale x=-2/5

02. La funzione y=(4x+1)/(8x+2) è una retta orizzontale

03. La funzione y=(3x-1)/(4x+2) è un'iperbole equilatera con asintoti y=3/4 e x=-1/2

04 Rappresenta la funzione di equazione y=(2x-1)/(x+3).

Lezione 013

01. L'equazione 23x-1=3x+2 è equivalente all'equazione (3x-1)ln2=(x+2)ln3

02. L'equazione 3x+2=-2x ammette nessuna soluzione

03. limx→+∞ (2/3)x è uguale a 0

04. Rappresenta i grafici di y=(1/2)x e di y=ln x.

Lezione 014

01. Se cos(α)=(√2)/2, allora sin(α)=(√2)/2 oppure sin(α)=-(√2)/2

02. La funzione y=arctan(x) ha come immagine l'intervallo (-π/2,π/2)

03. La funzione y=arcsin(x) è definita ∀x∈R ha [-1,1] come dominio ha [-1,1

04. Traccia i grafici di y=sin x e y=arctan x, indicando i valori in corrispondenza di

punti di intersezione con gli assi ed eventuali asintoti.

Lezione 015

01. limx→-∞(x+ex) è uguale a -∞

02. limx→+∞xarctan(x) è uguale a +∞

03. limx→0+1/(2x2-x) è uguale a -∞

04. Calcola il limite per x che tende a 0+ di 1/(x2-x). Giustifica tutti i passaggi e il

risultato.

Lezione 016

01. Sia a>1. Allora la funzione loga(x2+x) tende all'infinito per x→+∞ più lentamente

di x

02. Sia P(x) un polinomio di grado ≥1. Allora se x→+∞ non è possibile stabilire se P(x)

tende all'infinito più lentamente di ex

03. limx→+∞(3x2-x-ln(x)) è uguale a +∞

04. Illustra le gerarchia degli infiniti e fornisci un esempio in cui può essere utilizzata

per calcolare un limite che presenta una forma indeterminata.

Lezione 017

04. Scrivi i limiti notevoli per sin x, ex e ln(1+x) quando x tende a 0.

Lim x che tende a 0 di x

Lim e alla 0

Lim of x

Lezione 018

5. Determina le equazioni degli asintoti della funzione y=x+arctan x e

rappresentali.

P= lim x tende inf di f di x fratto x , q semp lim di f di x – px

Lezione 019

3. Calcola il limite per n che tende a +∞ di [(n+1)! sin(3/n2)]/[(n-1)!]. Giustifica tutti i

passaggi.

Lezione 20

04. Fornisci la definizione di derivata di una funzione in un punto. il limite del rapporto

(detto incrementale ) fra la differenza dei valori assunti dalla funzione per due valori della variabile e la

differenza fra questi due valori, quando questa seconda differenza tende a zero.

Lezione 21

4. Spiega come è possibile calcolare la derivata delle funzioni composte g(f(x)) e f(x)g(x)

Lezione 023