Paniere con risposte chiuse - Metodi matematici per l'ingegneria (2023/2024)

INGEGNERIA INFORMATICA E DELL'AUTOMAZIONE

Docente: Catania Davide

Lezione 007 2 4

01. Il limite di f(z)=[2-2cos(z)-z ]/(3z ) per z→0 vale

-1/36

-0,25

0

2/3 2

02. La funzione f(z)=|z|

è derivabile solo per z=0

è derivabile ∀z∈C

è derivabile ∀z∈C\{0}

non è derivabile in alcun punto

z 2

03. Il limite di (e -1-z)/z per z→0 vale

∞

0

1

½

04. Enuncia il teorema di Cauchy-Riemann. Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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Set Domande: METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA

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Docente: Catania Davide

Lezione 008

01. Sia C un cammino parametrizzato da r(t) in [a,b]. C è un cammino semplice se

r(t) è iniettiva

r(a)≠r(b)

r(a)=r(b)

r(t) è suriettiva

02. Se il cammino C è parametrizzato da r(t) in [a,b], allora il cammino inverso -C può essere parametrizzato da

r(b+t(a-b)) con t∈[0,1]

r(b+t(a+b)) con t∈[0,1]

r(b+t(b-a)) con t∈[0,1]

r(a+t(a+b)) con t∈[0,1]

03. Il sostegno di un cammino C parametrizzato da r(t) in [a,b] è

r([a,b])

r(b)

r(a)

L'intervallo [a,b]

04. Definisci cammino, cammino semplice e circuito in ambito complesso.

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Docente: Catania Davide

Lezione 009

01. ∫1/z dz lungo la semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale

πi

-1

0

-πi 2

02. ∫z dz lungo la semicirconferenza centrata nell'origine e di raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale

2/3

2/3 i

4/3

-2/3

03. ∫z/z¯ dz (dove z¯ indica il coniugato di z) lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale

0

i

-1

2π n

04. Calcola l'integrale di f(z)=z , al variare di n intero, lungo il circuito C (0), cioè la circonferenza di centro l'origine e raggio R>0, percorsa una volta in senso

R

antiorario. Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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Docente: Catania Davide

Lezione 010

2 z

01. ∫z e dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale

πi

1

0

2πi

02. ∫1/z dz lungo la circonferenza centrata in z=1 e di raggio ½ vale

0

1

2πi

πi

03. ∫1/(z-1) dz lungo una qualsiasi circonferenza centrata in z=1 vale

πi

-πi

0

2πi

04. Enuncia il teorema di Cauchy-Goursat nelle due versioni presentate a lezione.

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Docente: Catania Davide

Lezione 011

01. Sia f(z) una funzione analitica in un aperto di C. Allora il coefficiente n-esimo della sua espansione in serie di Taylor centrata in z è

0

n

1/(2πi)∫f(z)/(z-z ) dz lungo una circonferenza centrata in z

0 0

n+1

∫f(z)/(z-z ) dz lungo una circonferenza centrata in z

0 0

n+1

1/(2πi)∫f(z)/(z-z ) dz lungo una circonferenza centrata in z

0 0

n+1

1/n!∫f(z)/(z-z ) dz lungo una circonferenza centrata in z

0 0

02. Una funzione di variabile complessa

Se è analitica non è detto che sia olomorfa

Se è olomorfa in z non è detto che sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di z

0 0

è analitica se e solo se è olomorfa

Se è olomorfa non è detto che sia derivabile infinite volte

03. Se Λ è un circuito semplice e w è un punto interno a Λ, allora

(n) n+1

f (w)=1/(2πn!)∫f(z)/(z-w) dz, dove l'integrale è esteso a Λ

(n) n+1

f (w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w) dz, dove l'integrale è esteso a Λ

(n) n

f (w)=1/n!∫f(z)/(z-w) dz, dove l'integrale è esteso a Λ

(n) n

f (w)=n!/(2πi)∫f(z)/(z-w) dz, dove l'integrale è esteso a Λ n

04. Data unA funzione analitica complessa f(z)=∑c (z-z ) , esprimi il coefficiente complesso c attraverso un opportuno integrale dipendente da f(z) e ricava tale

n 0 n

formula. Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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Docente: Catania Davide

Lezione 012

z 2

01. ∫e /(z-1) dz lungo la circonferenza centrata in z=1 di raggio 1 vale

2πi

-2πi

eπi

2eπi 2

02. ∫1/(z -1) dz lungo la circonferenza centrata in z=-1 di raggio 1 vale

2πi

1

0

-πi 4

03. ∫sin(z)/z dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 2 vale

-πi/3

-πi/4!

πi/3

πi/4

04. Scrivi le formule integrali di Cauchy per una funzione complessa f(w) e per le sue derivate n-esime, nella forma più generale possibile.

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Docente: Catania Davide

Lezione 013 2

01. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=1/[z (z-1)] è

2

-1/z +1/z

1/z 2

1/z +1/z

2

-1/z -1/z

02. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=sin(z)/z è

1/z

0 2n+1

∑z /(2n+1)!, dove la sommatoria è per n che va da 0 a +∞

2

1/z

03. La funzione f(z)=1/cos(z)

ha una singolarità isolata in z=0

non ha singolarità isolate

ha singolarità isolate in z=π/2+kπ, con k∈Z

ha una singolarità non isolata in z=0

04. Spiega cosa è la serie di Laurent di una funzione f olomorfa attorno a una singolarità isolata z . Definisci la parte regolare e la parte singolare di una serie di

0

Laurent. Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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Docente: Catania Davide

Lezione 014 2

01. La funzione f(z)=1/(z -iz) ha

in z=0 e in z=i due poli doppi

in z=0 e in z=i due poli semplici

in z=i un polo doppio

in z=0 un polo doppio z

02. La funzione f(z)=(e -1)/z ha, in z=0

un polo semplice

un polo doppio

una singolarità essenziale

una singolarità eliminabile

03. Sia f(z) una funzione con un polo in z =i. Allora la sua serie di Laurent centrata in z ha

0 0

la parte singolare con un numero finito di termini

non ha la parte regolare

la parte singolare con infiniti termini

soltanto la parte regolare

04. Definisci i diversi tipi di singolarità isolate. Fornisci un esempio per ciascun tipo di singolarità isolata.

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Lezione 015

01. Il residuo di f(z)=zcos(1/z) in z=0 è

1/4!

1/2

1

-1/2 3 1/z

02. Il residuo di f(z)=z e in z=0 è

1

0

1/4!

1/3! 2

03. Il residuo di f(z)=sin(z)/z in z=0 è

1

2!

0

-1

04. Definisci la nozione di residuo. Spiega come è possibile calcolare il residuo, attraverso un limite, per un polo di ordine al più n.

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Lezione 016

01. Se f(z)=1/g(z), con g(z )=0 e g'(z )≠0, allora

0 0

z è un polo semplice per g(z) e Res(g,z )=1/g'(z )

0 0 0

z è un polo semplice per f(z) e Res(f,z )=1/g'(z )

0 0 0

z è un polo semplice per f(z) e Res(f,z )=1/f'(z )

0 0 0

z è un polo semplice per g(z) e Res(g,z )=g'(z )

0 0 0

02. Il residuo in ∞ di f(z)=[sin(1/z)]/(z-1) è

1

-1

πi

0

03. Se ∞ è un punto di accumulazione per il dominio di f(z) ed è una singolarità isolata per f(z), allora

il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di f(1/z) in 0

2

il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in 0

2

il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in ∞

il residuo di f(z) in ∞ è il limite di f(z) per z→∞

04. Definisci il residuo all'infinito e spiega come è legato ai residui delle singolarità isolate finite (teorema del residuo all'infinito).

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Docente: Catania Davide

Lezione 017

3 1/z

01. ∫z e dz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale

πi/3

πi

πi/12

πi/4 2

02. ∫1/(z +1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale

2πiRes(f,-i)

2πi[Res(f,i)-Res(f,-i)]

2πi[Res(f,i)+Res(f,-i)]

2πiRes(f,i)

3 4

03. ∫z /(z +i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale

-πi

πi

-2πi

2πi

04. Enuncia il teorema dei residui. Downloaded by Carlo Marziani (carlomarziani62@gmail.com)

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