Paniere con risposte chiuse di Metodi matematici per l'ingegneria

PANIERE COMPLETO E-CAMPUS - RISPOSTE CHIUSE

METODI MATEMATICI PER L'INGEGNERIA

INGEGNERIA INFORMATICA E DELL'AUTOMAZIONE

Docente: Catania Davide

Lezione 002

1. Il numero complesso z=-1+i in forma goniometrica è √2 (cos(3/4 π)+i sin(3/4 π)) o 2(sin(3/4 π)+i cos(3/4 π)) o 2(cos(3/4 π)+i sin(3/4 π)) o √2 (sin(3/4 π)+i cos(3/4 π))
2. L'argomento principale del numero complesso z=-3-4i è arctan(4/3)+π o arctan(4/3)-π o arctan(3/4)-π o arctan(4/3)
3. Se z=3-2i e w=1+i, la parte reale di z/w è -2,5 o 1/2 o 3 o 1/√2

Lezione 003

1. Le radici seste di z=3+4i sono i vertici di un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio 5 o un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio radice sesta di 5 o un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio radice sesta di 5 o un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio 5
2. Il numero complesso z=1-i in forma...

esponenziale è√2 exp(-π/4 i)o 2exp(-π/4 i)o 2exp(π/4 i)o √2 exp(π/4 i)o03. Sia z=1⁄2+i (√3)/2. Alloraz3=√2 exp(π/3 i)o z3=exp(π/3 i)o z3=exp(πi)o z3=√2 exp(πi)o Lezione 00401. Sia z=e(π/6 i) e w=2+3i. Allora zw èe-π/2[1⁄2-i(√3)/2]o eπ/2[1⁄2+i(√3)/2]o eπ/2[1⁄2-i(√3)/2]o e-π/2[1⁄2+i√3]o02. Ln(-1-i) è uguale aln(√2)+i(-3/4 π)o ln(radice di 2)+i(3/4 pigreco+2kpigreco)o ln(√2)+i(5/4 π+2kπ)o ln(radice di 2)+i(5/4 pigreco)o03. Sia f(z)=ez, con z variabile complessa. Alloraf(z) assume sempre valori reali positivio f(z)=f(x+iy)=ex+eiyo |f(z)|=1 per ogni z in Co f(z) può assumere valori reali negativio Lezione 00501. Se f(z)=sinh(z), alloraf(π/4 i)=(√2/2)io f(π/4 i)=(√2/2)o f(π/4 i)=i/2o f(π/4 i)=2io02. Se f(z)=zez=(x+iy)ex+iy, alloraRe[f(z)]=ex(xcosy-ysiny)o Re[f(z)]=ex(xcosy-xsiny)o

Re[f(z)]=ey(xcosx-ysiny)o Re[f(z)]=ex(xcosy-ysinx)o

Una branca di f(z)=√z è una funzione per tutti i valori di z in C escluso lo 0

per tutti i valori di z in C escluso l'asse x

per tutti i valori di z in C

per tutti i valori di z in C escluso il semiasse delle x<0

Lezione 006

01. Sia z0 un punto di accumulazione del dominio D di f(z). Allora il limite di f(z) per z→z0 è uguale a ∞ se Esiste K>0: δ>0 e risulta |f(z)|>K∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

Esiste K>0 ed esiste δ>0: risulta |f(z)|>K∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

K>0 esiste δ>0: risulta |f(z)|>K∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

K>0 esiste δ>0: risulta f(z)>K∀ ∀z∈D∩B_δ(z0)\{z0}

02. Il limite di (z -̄ z)/z2 (dove z ̄ indica il coniugato di z) per z→0, calcolato lungo l'asse immaginario vale 2

vale 0

non esiste

vale ∞

03. Sia f(z) una

funzione continua in z₀ punto di accumulazione del suo dominio. AlloraIl limite di f(z) per z→z₀ esiste lungo qualsiasi curva che passa per z₀ e il valore del limite può essere ∞o Il limite di f(z) esiste lungo qualsiasi curva per z₀ ed è uguale a f(z₀)o f(z₀) esiste ed è un valore finito, ma non è detto che il limite di f(z) per z→z₀ esistao Esistono direzioni lungo le quali f(z) ammette limite finito e direzioni lungo le quali il limite è ∞o Lezione 00701. Il limite di f(z)=[2-2cos(z)-z²]/(3z⁴) per z→0 vale-0,25o -1/36o 2/3o 0o

02. La funzione f(z)=|z|²è derivabile ∀z∈Co è derivabile ∀z∈C\{0}o è derivabile solo per z=0o non è derivabile in alcun puntoo

03. Il limite di (e^z-1-z)/z² per z→0 vale1o ∞o 0o 1⁄2o Lezione 00801. Sia C un cammino parametrizzato da r(t) in [a,b]. C è un cammino semplice ser(t) è suriettivao r(t) è iniettivao

1, vale-1o 0o -πio πio03. ∫z/z ̄ dz (dove z ̄ indica il coniugato di z) lungo la circonferenza centrata in z=1 e di raggio 2, vale-1o 0o 2πo io

1⁄2 vale1o 0o πio 2πio03. ∫1/(z-1) dz lungo una qualsiasi circonferenza centrata in z=1 valeπio 0o -πio 2πio Lezione 01101.

Sia f(z) una funzione analitica in un aperto di C. Allora il coefficiente n-esimo della sua espansionein serie di Taylor centrata in z0 è1/n!∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0o 1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0o ∫f(z)/(z-z0)n+1 dz lungo una circonferenza centrata in z0o 1/(2πi)∫f(z)/(z-z0)n dz lungo una circonferenza centrata in z0o

02. Una funzione di variabile complessaSe è analitica non è detto che sia olomorfao Se è olomorfa non è detto che sia derivabile infinite volteo è analitica se e solo se è olomorfao Se è olomorfa in z0 non è detto che sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di z0o

03. Se Λ è un circuito semplice e w è un punto interno a Λ, alloraf(n)(w)=1/n!∫f(z)/(z-w)ndz,

dove l'integrale è esteso a Λ o f(n)(w) = n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)ndz, dove l'integrale è esteso a Λ o f(n)(w) = 1/(2πn!)∫f(z)/(z-w)n+1dz, dove l'integrale è esteso a Λ o f(n)(w) = n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)n+1dz, dove l'integrale è esteso a Λ o Lezione 01201. ∫ez/(z-1)2dz lungo la circonferenza centrata in z=1 di raggio 1 vale eπi/2, 2eπi/2, 2πi/2, -2πi/2. 02. ∫1/(z2-1) dz lungo la circonferenza centrata in z=-1 di raggio 1 vale -πi/2, 2πi/2, 1/2, 0. 03. ∫sin(z)/z4dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 2 vale πi/4, -πi/3, -πi/4!, πi/3. Lezione 01301. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=1/[z2(z-1)] è -1/z2-1/0, -1/z2+1/0, 1/z2+1/0, 1/0. 02. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=sin(z)/z è 0, 1/0, 1/z2, ∑z2n+1/(2n+1)!, dove la sommatoria è.

per n che va da 0 a +∞o03. La funzione f(z)=1/cos(z)ha una singolarità non isolata in z=0o non ha singolarità isolateo ha singolarità isolate in z=π/2+kπ, con k∈Zo ha una singolarità isolata in z=0o

Lezione 01401. La funzione f(z)=1/(z2-iz) hain z=0 un polo doppioo in z=i un polo doppioo in z=0 e in z=i due poli doppio in z=0 e in z=i due poli semplicio02. La funzione f(z)=(ez-1)/z ha, in z=0una singolarità eliminabileo un polo doppioo un polo sempliceo una singolarità essenzialeo03. Sia f(z) una funzione con un polo in z0=i. Allora la sua serie di Laurent centrata in z0 hala parte singolare con un numero finito di terminio non ha la parte regolareo soltanto la parte regolareo la parte singolare con infiniti terminio Lezione 01501. Il residuo di f(z)=zcos(1/z) in z=0 è1/4!o 1/2o -1/2o 1o02. Il residuo di f(z)=z3e1/z in z=0 è0o 1o 1/4!o 1/3!o03. Il residuo di f(z)=sin(z)/z2 in z=0 è1o -1o 2!o 0o Lezione 01601.

<h2>1. Se f(z)=1/g(z), con g(z0)=0 e g'(z0)≠0, allora z0 è un polo semplice per f(z) e Res(f,z0)=1/g'(z0)</h2> <h2>2. Il residuo in ∞ di f(z)=[sin(1/z)]/(z-1) è -1</h2> <h2>3. Se ∞ è un punto di accumulazione per il dominio di f(z) ed è una singolarità isolata per f(z), allora il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in 0</h2> <h2>4. ∫z^3e^(1/z)dz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale πi/3</h2> <h2>5. ∫1/(z^2+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio</h2>1 vale^{2πi[Res(f,i)+Res(f,-i)]}o 2πiRes(f,-i)o 2πi[Res(f,i)-Res(f,-i)]o 2πiRes(f,i)o
03. ∫z³/(z⁴+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale2πi o -πi o -2πi o πi
Lezione 018
01. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale2πi(1/3-40/271)o 2πi(41/270+1/3)o 2πi(41/270-1/6)o 2πi(-1/3)o
02. ∫x²/(x⁴+5x²+6)dx da -∞ a +∞ vale(3/√3)πo (3-√6)/(√3) πo 2πi o (3+√6)/(√3) πo
03. ∫x²/(x²+1)³dx da -∞ a +∞ vale2π/3o πi/8o πi/16o π/8o
Lezione 019
01. ∫cos(3x)/(x²+1)dx da 0 a +∞ vale3πi/(2e³)o 3π/(2e³)o 3π/e³o 3πe³/2o
02. ∫[xsin(x)]/(x²+1)dx da 0 a +&in