Paniere con risposte chiuse di Metodi matematici per l'ingegneria

Paniere completo e-Campus - Risposte chiuse

Metodi matematici per l'ingegneria

Ingegneria informatica e dell'automazione

Docente: Catania Davide

Lezione 002

01. Il numero complesso z=-1+i in forma goniometrica è:

• √2 (cos(3/4 π) + i sin(3/4 π))
• 2(sin(3/4 π) + i cos(3/4 π))
• 2(cos(3/4 π) + i sin(3/4 π))
• √2 (sin(3/4 π) + i cos(3/4 π))

02. L'argomento principale del numero complesso z=-3-4i è:

• arctan(4/3) + π
• arctan(4/3) - π
• arctan(3/4) - π
• arctan(4/3)

03. Se z=3-2i e w=1+i, la parte reale di z/w è:

• -2,5
• 1/2
• 3
• 1/√2

Lezione 003

01. Le radici seste di z=3+4i sono i vertici di:

• Un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio 5
• Un esagono inscritto nella circonferenza di centro z e raggio radice sesta di 5
• Un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio radice sesta di 5
• Un esagono inscritto nella circonferenza di centro l'origine e raggio 5

02. Il numero complesso z=1-i in forma esponenziale è:

• √2 exp(-π/4 i)
• 2 exp(-π/4 i)
• 2 exp(π/4 i)
• √2 exp(π/4 i)

03. Sia z=1/2+i (√3)/2. Allora z³ è:

• √2 exp(π/3 i)
• exp(π/3 i)
• exp(πi)
• √2 exp(πi)

Lezione 004

01. Sia z=e(π/6 i) e w=2+3i. Allora zw è:

• e-π/2[1/2 - i(√3)/2]
• eπ/2[1/2 + i(√3)/2]
• eπ/2[1/2 - i(√3)/2]
• e-π/2[1/2 + i√3]

02. Ln(-1-i) è uguale a:

• ln(√2) + i(-3/4 π)
• ln(radice di 2) + i(3/4 pigreco + 2k pigreco)
• ln(√2) + i(5/4 π + 2kπ)
• ln(radice di 2) + i(5/4 pigreco)

03. Sia f(z) = e^z, con z variabile complessa. Allora f(z):

• Assume sempre valori reali positivi
• f(z) = f(x+iy) = e^x + e^iy
• |f(z)| = 1 per ogni z in C
• può assumere valori reali negativi

Lezione 005

01. Se f(z) = sinh(z), allora f(π/4 i) è:

• (√2/2) i
• (√2/2)
• i/2
• 2 i

02. Se f(z) = z e^z = (x+iy)e^(x+iy), allora Re[f(z)] è:

• e^x(x cos y - y sin y)
• e^x(x cos y - x sin y)
• e^y(x cos x - y sin y)
• e^x(x cos y - y sin x)

03. Una branca di f(z)=√z è una funzione:

• Per tutti i valori di z in C escluso lo 0
• Per tutti i valori di z in C escluso l'asse x
• Per tutti i valori di z in C
• Per tutti i valori di z in C escluso il semiasse delle x<0

Lezione 006

01. Sia z₀ un punto di accumulazione del dominio D di f(z). Allora il limite di f(z) per z→z₀ è uguale a ∞ se:

• Esiste K>0: δ>0 e risulta |f(z)|>K ∀ z∈D∩B_δ(z₀)\{z₀}
• Esiste K>0 ed esiste δ>0: risulta |f(z)|>K ∀ z∈D∩B_δ(z₀)\{z₀}
• K>0 esiste δ>0: risulta |f(z)|>K ∀ z∈D∩B_δ(z₀)\{z₀}
• K>0 esiste δ>0: risulta f(z)>K ∀ z∈D∩B_δ(z₀)\{z₀}

02. Il limite di (z - z̄)/z² (dove z̄ indica il coniugato di z) per z→0, calcolato lungo l'asse immaginario vale:

• 2
• 0
• Non esiste
• ∞

03. Sia f(z) una funzione continua in z₀ punto di accumulazione del suo dominio. Allora:

• Il limite di f(z) per z→z₀ esiste lungo qualsiasi curva che passa per z₀ e il valore del limite può essere ∞
• Il limite di f(z) esiste lungo qualsiasi curva per z₀ ed è uguale a f(z₀)
• f(z₀) esiste ed è un valore finito, ma non è detto che il limite di f(z) per z→z₀ esista
• Esistono direzioni lungo le quali f(z) ammette limite finito e direzioni lungo le quali il limite è ∞

Lezione 007

01. Il limite di f(z)=[2-2cos(z)-z²]/(3z⁴) per z→0 vale:

• -0,25
• -1/36
• 2/3
• 0

02. La funzione f(z)=|z|² è derivabile:

• ∀ z ∈ C
• ∀ z ∈ C \ {0}
• Solo per z=0
• Non è derivabile in alcun punto

03. Il limite di (e^z-1-z)/z² per z→0 vale:

• 1
• ∞
• 0
• 1/2

Lezione 008

01. Sia C un cammino parametrizzato da r(t) in [a,b]. C è un cammino semplice se:

• r(t) è suriettivo
• r(t) è iniettivo
• r(a)=r(b)
• r(a)=r(b)

02. Se il cammino C è parametrizzato da r(t) in [a,b], allora il cammino inverso -C può essere parametrizzato da:

• r(b+t(a+b)) con t∈[0,1]
• r(a+t(a+b)) con t∈[0,1]
• r(b+t(b-a)) con t∈[0,1]
• r(b+t(a-b)) con t∈[0,1]

03. Il sostegno di un cammino C parametrizzato da r(t) in [a,b] è:

• r(b)
• r([a,b])
• r(a)
• L'intervallo [a,b]

Lezione 009

01. ∫1/z dz lungo la semicirconferenza di centro l'origine e raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale:

• -1
• 0
• -πi
• πi

02. ∫z²dz lungo la semicirconferenza centrata nell'origine e di raggio 1, dal punto z=1 al punto z=-1, vale:

• -2/3
• 4/3
• 2/3
• 2/3 i

03. ∫z/z̄ dz (dove z̄ indica il coniugato di z) lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale:

• -1
• 0
• 2π
• i

Lezione 010

01. ∫z²e^zdz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 1 vale:

• 1
• 0
• 2πi
• πi

02. ∫1/z dz lungo la circonferenza centrata in z=1 e di raggio 1/2 vale:

• 1
• 0
• πi
• 2πi

03. ∫1/(z-1) dz lungo una qualsiasi circonferenza centrata in z=1 vale:

• πi
• 0
• -πi
• 2πi

Lezione 011

01. Sia f(z) una funzione analitica in un aperto di C. Allora il coefficiente n-esimo della sua espansione in serie di Taylor centrata in z₀ è:

• 1/n!∫f(z)/(z-z₀)ⁿ⁺¹ dz lungo una circonferenza centrata in z₀
• 1/(2πi)∫f(z)/(z-z₀)ⁿ⁺¹ dz lungo una circonferenza centrata in z₀
• ∫f(z)/(z-z₀)ⁿ⁺¹ dz lungo una circonferenza centrata in z₀
• 1/(2πi)∫f(z)/(z-z₀)ⁿ dz lungo una circonferenza centrata in z₀

02. Una funzione di variabile complessa:

• Se è analitica non è detto che sia olomorfa
• Se è olomorfa non è detto che sia derivabile infinite volte
• È analitica se e solo se è olomorfa
• Se è olomorfa in z₀ non è detto che sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno di z₀

03. Se Λ è un circuito semplice e w è un punto interno a Λ, allora:

• f⁽ⁿ⁾(w) = 1/n!∫f(z)/(z-w)ⁿ dz, dove l'integrale è esteso a Λ
• f⁽ⁿ⁾(w) = n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)ⁿ dz, dove l'integrale è esteso a Λ
• f⁽ⁿ⁾(w) = 1/(2πn!)∫f(z)/(z-w)ⁿ⁺¹ dz, dove l'integrale è esteso a Λ
• f⁽ⁿ⁾(w) = n!/(2πi)∫f(z)/(z-w)ⁿ⁺¹ dz, dove l'integrale è esteso a Λ

Lezione 012

01. ∫e^z/(z-1)²dz lungo la circonferenza centrata in z=1 di raggio 1 vale:

• eπi
• 2eπi
• 2πi
• -2πi

02. ∫1/(z²-1) dz lungo la circonferenza centrata in z=-1 di raggio 1 vale:

• -πi
• 2πi
• 1
• 0

03. ∫sin(z)/z⁴dz lungo la circonferenza centrata nell'origine e di raggio 2 vale:

• πi/4
• -πi/3
• -πi/4!
• πi/3

Lezione 013

01. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=1/[z²(z-1)] è:

• -1/z² - 1/z
• -1/z² + 1/z
• 1/z² + 1/z
• 1/z

02. La parte singolare dello sviluppo in serie di Laurent attorno a z=0 della funzione f(z)=sin(z)/z è:

• 0
• 1/z
• 1/z²
• ∑z²ⁿ⁺¹/(2n+1)!, dove la sommatoria è per n che va da 0 a +∞

03. La funzione f(z)=1/cos(z) ha:

• Una singolarità non isolata in z=0
• Non ha singolarità isolate
• Ha singolarità isolate in z=π/2+kπ, con k∈Z
• Ha una singolarità isolata in z=0

Lezione 014

01. La funzione f(z)=1/(z²-iz) ha:

• In z=0 un polo doppio
• In z=i un polo doppio
• In z=0 e in z=i due poli doppi
• In z=0 e in z=i due poli semplici

02. La funzione f(z)=(e^z-1)/z ha, in z=0:

• Una singolarità eliminabile
• Un polo doppio
• Un polo semplice
• Una singolarità essenziale

03. Sia f(z) una funzione con un polo in z₀=i. Allora la sua serie di Laurent centrata in z₀ ha:

• La parte singolare con un numero finito di termini
• Non ha la parte regolare
• Soltanto la parte regolare
• La parte singolare con infiniti termini

Lezione 015

01. Il residuo di f(z)=z cos(1/z) in z=0 è:

• 1/4!
• 1/2
• -1/2
• 1

02. Il residuo di f(z)=z³e^1/z in z=0 è:

• 0
• 1
• 1/4!
• 1/3!

03. Il residuo di f(z)=sin(z)/z² in z=0 è:

• 1
• -1
• 2!
• 0

Lezione 016

01. Se f(z)=1/g(z), con g(z₀)=0 e g'(z₀)=0, allora:

• z₀ è un polo semplice per f(z) e Res(f,z₀)=1/g'(z₀)
• z₀ è un polo semplice per g(z) e Res(g,z₀)=g'(z₀)
• z₀ è un polo semplice per g(z) e Res(g,z₀)=1/g'(z₀)
• z₀ è un polo semplice per f(z) e Res(f,z₀)=1/f'(z₀)

02. Il residuo in ∞ di f(z)=[sin(1/z)]/(z-1) è:

• -1
• 1
• 0
• πi

03. Se ∞ è un punto di accumulazione per il dominio di f(z) ed è una singolarità isolata per f(z), allora:

• Il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in 0
• Il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di f(1/z) in 0
• Il residuo di f(z) in ∞ è il residuo di -1/z f(1/z) in ∞
• Il residuo di f(z) in ∞ è il limite di f(z) per z→∞

Lezione 017

01. ∫z³e^1/zdz lungo la circonferenza di centro z=1 e di raggio 4 vale:

• πi/3
• πi/12
• πi
• πi/4

02. ∫1/(z²+1) dz lungo la circonferenza centrata in z=i e di raggio 1 vale:

• 2πi[Res(f,i)+Res(f,-i)]
• 2πiRes(f,-i)
• 2πi[Res(f,i)-Res(f,-i)]
• 2πiRes(f,i)

03. ∫z³/(z⁴+i) dz lungo la circonferenza di centro z=0 e raggio 2 vale:

• 2πi
• -πi
• -2πi
• πi

Lezione 018

01. ∫cos(2t)/[2+3sin(t)] dt tra 0 e 2π vale:

• 2πi(1/3-40/271)
• 2πi(41/270+1/3)
• 2πi(41/270-1/6)
• 2πi(-1/3)

02. ∫x²/(x⁴+5x²+6)dx da -∞ a +∞ vale:

• (3/√3) π
• (3-√6)/(√3) π
• 2πi
• (3+√6)/(√3) π

03. ∫x²/(x²+1)³dx da -∞ a +∞ vale:

• 2π/3
• πi/8
• πi/16
• π/8

Lezione 019

01. ∫cos(3x)/(x²+1)dx da 0 a +∞ vale:

• 3πi/(2e)
• 3π/(2e)
• 3π/e
• 3πe/2

02. ∫[xsin(x)]/(x²+1)dx da 0 a +∞ vale:

• πi/(2e)
• π/e
• πi/e
• π/(2e)

03. ∫cos(x)/x dx da -∞ a +∞ vale:

• π
• 0
• 1
• πi

Lezione 020

01. Sia Λ il cammino costituito dai due archi di circonferenza centrati in z=0, di raggio rispettivamente r e R e dai due segmenti che congiungono tali archi, partendo dal semiasse Re(z)>0 fino alla retta che forma un angolo di 2π/3 con tale semiasse. Sia f(z)=√z/(z³+1). Se Cr(0) e CR(0) sono i due archi di circonferenza e λ è il segmento sulla retta che forma un angolo di 2π/3 con Re(z)>0, allora l'integrale di f(z) su Λ è:

• 3∫√x/(x³+1)dx - ∫√(iy)/[(iy)³+1)]dy + ∫√(iy)/[(iy)³+1]dy + ∫√x/(x³+1)dx, dove il primo integrale è calcolato da r o a R, il secondo e il terzo lungo il segmento λ