Paniere con risposte aperte - Modellistica e simulazione (2023/2024)

A

caratterizzato da fenomeni di trasporto. Ciò significa che la sua distribuzione spaziale non

è trascurabile. Tuttavia, qualora si consideri attraversata da un fluido incomprimibile, è

possibile fare una trattazione a costanti concentrate, limitandosi a modellare il trasporto di

fluido attraverso un ritardo. Per la determinazione del modello si può procedere scrivendo l’equazione di Newton per

un elemento infinitesimo di fluido. Il moto deriva dalla sovrapposizione degli effetti dovuti

alle pressioni e alla gravità agenti sul fluido.

Lezione 38

05. Si indichino gli elementi costitutivi di una generica rete di telecomunicazione e se ne fornisca il corrispondente modello.

Gli elementi costitutivi di una rete di Telecomunicazione sono fondamentalmente:

• i caratterizzati da un valore di o

Canali o Link di comunicazione, capacità banda;

• i Nodi, caratterizzati dalla presenza dei buffer.

Lezione 40

04. Si discuta il ruolo delle condizioni iniziali - condizioni al contorno nel caso delle equazioni differenziali ordinarie e delle equazioni

differenziali a derivate parziali.

Le soluzioni di questo tipo di equazioni sono molto generali, ovvero una PDE determina

tipicamente solo in piccola misura la soluzione adatta ad un dato problema, limitandosi a

fissarne la tipologia generale; assumono invece un ruolo assai importante le cosiddette

<condizioni ben più importante di quanto non l’abbiano le corrispondenti

contorno”,

al

condizioni iniziali nei problemi in una dimensione.

Lezione 42

01. Si discutano qualitativamente i modi normali di una corda vibrante, sulla base del passaggio da un sistema di oscillatori accoppiati

ad un sistema a distribuzione continua di massa.

Per quanto riguarda le oscillazioni longitudinali di un sistema di oscillatori accoppiati abbiamo che il moto

complessivo è dato dalla sovrapposizione di due modi naturali detti rispettivamente modo sincrono e modo

asincrono Le pulsazioni dei quali rispettano la seguente equazione

In Quanto al modo asincrono è associata la massima deformazione della molla , mentre il modo sincrono

lascia impassibile la molla di accoppiamento Il medesimo risultato si trova considerando le oscillazioni

trasversali ; si può dimostrare che le pulsazioni relative ai modi longitudinali sono molto maggiori

rispetto a quella dei modi trasversali . Immaginando il numero di masse tendente ad infinito otteniamo il

comportamento di una corda vibrante Il numero di modi normali di vibrazione trasversale sono pari al

numero delle masse . Il modo di più bassa frequenza è il modo sincrono , quello di più alta frequenza è

quello di massima antisincronia

In modo corrispondente esistono altrettanti modi longitudinali , con frequenze più elevate. Portando il

numeri di masse all ' infinito anche il numero dei modi diventa infinito . Le molle in questo caso si possono

immaginare costituite dai legami intermolecolari . Avremo quindi una situazioni di questo tipo :

E così via i modi normali di una corda vibrante sono detti parziali o armoniche della corda . Quello di

minima frequenza e l' armonica fondamentale ( o tono ) i successivi le ormoniche superiori ( o ipertoni)

Lezione 43

07. Si determini analiticamente il modello della corda vibrante, indicando le approssimazioni utili al conseguimento dello stesso.

l OM oARc PSD|14 50 8 14 4

ogni elemento infinitesimo della corda, caratterizzato dalla coordinata

curvilinea, può essere visto come un dischetto per il quale, ad ogni istante, possiamo

definire la posizione del suo centro (tre variabili), l’orientamento del suo asse (altre due) e

l’angolo di torsione rispetto ad uno dei dischetti estremi. Esso in linea di principio ha quindi

sei gradi di libertà. i modi longitudinali, o torsionali, influiscono pesantemente sul suono,

occorre tenerne conto sin dall’inizio, altrimenti si possono ignorare del tutto o introdurli

come una piccola correzione dopo aver risolto un problema semplificato.

Le onde longitudinali, come quelle torsionali, influenzano localmente la densità e la

tensione, e quindi sono in grado di produrre delle disomogeneità nei parametri della

corda, al punto tale che in ogni sito le forze e i parametri rilevanti dipendono dall’intera

configurazione della corda.

Sembra quindi che occorra tenerne conto; tuttavia i meccanismi di eccitazione

normalmente usati negli strumenti musicali (pizzico, percussione, sfregamento trasverso)

indicano che i modi longitudinali non vengono mai attivati, mentre quelli torsionali vengono

attivati solo in modo marginale nel caso dello sfregamento: quindi possiamo concludere

che, almeno in una fase inziale, possiamo trascurarli.

Lezione 44

04. Si determini la soluzione generica dell'equazione unidimensionale delle onde, evidenziando il carattere propagatorio della stessa.

è possibile schematizzare la corda come una linea, cioè un

μ

oggetto unidimensionale, di densità lineare fissa agli estremi che ne determinano quindi

,

la lunghezza e sottoposta ad una tensione uguale in ogni punto; la sua

L, T

configurazione di equilibrio è dunque un segmento di retta e le altre configurazioni sono

linee continue che si discostano <poco= dal segmento di retta.

  

Soluzione generica dell’equazione delle onde y(x, t) f (x vt) g(x vt)

Lezione 45

03. Si introduca e risolva analiticamente il problema di Cauchy per una corda vibrante ad estremi fissi.

Per la determinazione completa di una PDE, come detto, è necessario specificare un

certo numero di condizioni al contorno. Senza entrare nel dettaglio, ci limitiamo a dire che

nel caso di una PDE del second’ordine in n variabili, per determinare univocamente la

soluzione è necessario assegnare tale soluzione su una varietà ammissibile n-1

dimensionale (il cosiddetto e la sua derivata normale a tale superficie. Queste condizioni hanno il nome di condizioni di

contorno)

S

Cauchy Nel caso specifico della corda la natura del problema in esame porta all’assegnazione di

condizioni al contorno su un contorno ben diverso da quello individuato dalle varietà

caratteristiche. In particolare, poichè la corda è fissa agli estremi, appare naturale imporre

che la soluzione sia nulla in tali punti ad ogni tempo; inoltre in analogia a quanto si è soliti

fare nel caso di sistemi a costanti concentrate, si assegna la configurazione iniziale della

corda e la sua velocità iniziale.

04. Si determini analiticamente il modello della membrana (oscillante), indicando le approssimazioni utili al conseguimento dello

stesso.

Per modellare la dinamica della membrana In questo estendono sostanzialmente le osservazioni fatte a proposito della corda

vibrante, Le onde longitudinali, come quelle torsionali, influenzano localmente la densità e la

tensione, e quindi sono in grado di produrre delle disomogeneità nei parametri della

membrana, al punto tale che in ogni sito le forze e i parametri rilevanti dipendono dall’intera

configurazione della stessa.

Fatte salve tutte queste precisazioni e le relative approssimazioni, è possibile

schematizzare la membrana come una porzione di piano, cioè un oggetto bidimensionale,

σ

di densità superficiale fissa sul contorno di un rettangolo di lati ed e sottoposta ad

, Lx Ly,

una tensione per unità di lunghezza uguale in ogni punto; la sua configurazione di

T

equilibrio è dunque un rettangolo e le altre configurazioni sono varietà bidimensionali che

si discostano <poco= dal rettangolo.

Lezione 46

07. Si presenti il metodo di soluzione per separazione delle variabili, per la determinazione della soluzione generica dell'e quazione

bidimensionale delle onde.

Per risolvere la PDE possiamo utilizzare

un metodo tipico, noto come L’idea di base è quella di cercare soluzioni fattorizzate

metodo di soluzione per separazione delle variabili.

T(t)X(x)Y(

della forma Sostituendola nell’equazione di partenza e Dividendo ambo i membri dell’equazione per si

z(x, y, t) y) T(t)X(x)Y(y)

ottiene l’ultima equazione e ci si rende conto che la fattorizzazione ha messo in luce

tre termini che in linea di principio, sono rispettivamente funzioni esclusivamente di e

x, y

Quindi l’unico modo di soddisfare l’equazione è imporre che ognuno di tali termini sia

t.

una costante. Le tre equazioni ottenute sono equazioni differenziali ordinarie di tipo <oscillatore

armonico=. Il segno meno introdotto per ciascuno dei secondi membri è dettato dal fatto

che siamo alla ricerca di soluzioni <legate=, ovvero soluzioni che si annullano sul bordo

della membrana; diversamente si otterrebbero soluzioni divergenti esponenzialmente e

quindi non accettabili.

Lezione 47

03. Si introduca e risolva analiticamente il problema di Cauchy per una membrana rettangolare a contorno fisso.

la soluzione generale dell’equazione delle onde per il problema della

membrana rettangolare a contorno fisso è una sovrapposizione lineare di tutti i possibili

modi armonici-naturali, le frequenze degli armonici, nel caso della membrana rettangolare,

non sono multipli di una frequenza fondamentale come invece accade per la corda.

Lezione 48

06. Derivare l'equazione di Fourier, che modella la variazione di temperatura del corpo in esame in un punto, al trascorrere del tempo t,

l OM oARc PSD|14 50 8 14 4

ed esprime la sua evoluzione verso l'equilibrio termico.

L'equazione stabilisce che il calore è direttamente proporzionale alla conducibilità termica, come è logico che sia, infatti un

di Fourier

materiale che ha un'elevata conducibilità termica è in grado scambiare una maggiore quantità calore, a parità tutte le altre

di di di

condizioni o

l’ equazione del calore equazione di Fourier.

nella sua forma più generale, ovvero quella tridimensionale presenta tre

coordinate spaziali. Essa è una equazione differenziale alle derivate parziali in quattro

variabili, del second’ordine nello spazio e del prim’ordine nel tempo, omogenea e lineare.

ψ

La funzione incognita rappresenta la temperatura del corpo in esame nel punto di

(x,y,z,t)

coordinate (x,y,z) al trascorrere del tempo ed esprime la sua evoluzione verso l’equilibrio

t,

termico.

Lezione 49

02. Qual'è l'utilità dell'equazione di Fourier nella produzione di componenti elettrici integrati basati su semiconduttori?

L' equazione di Fourier è detta anche equazione di diffusione . Nel caso dei semi conduttori può essere

utilizzata per spiegare la diffusione del materiale drogante . In questo caso Y (x,t) rappresenta la

concentrazione di materiale drogante . La condizione al contorno (0,t), ovvero la concentrazione di

drogante su una facc