Paniere svolto di Modellistica e simulazione (2025) - Risposte aperte

MOTORE IN CORRENTE CONTINUA, FORNENDO UN MODELLO

SEMPLIFICATO.

Lo statore di un motore in CC genera un campo magnetico

stazionario che in prima approssimazione supporremo uniforme.

Consideriamo una spira rettangolare disposta lungo una coppia di

cave rotoriche e percorsa da corrente continua: su ogni lato della

spira agisce una forza perpendicolare al piano individuato dal campo

e dalla corrente. Sui due lati della spira che giacciono nelle sezioni

del motore agiscono due forze opposte il cui momento risultante è

nullo mentre sui due lati paralleli all'asse del rotore agisce una

coppia di forze che la mette in rotazione. Se mettiamo una seconda

spira posta in modo simmetrico rispetto a un asse del sistema di

riferimento e attraversata dalla stessa corrente, sulla seconda spira

agisce una coppia di foze opposte rispetto alla prima e quindi il

momento complessivo della forza è nullo. Per ottenere movimento

la corrente nella seconda spira deve avere verso opposto. Questo è

ottenuto mediante il collettore che divide la sezione del rotore in

due metà percorse da correnti di verso opposto. Tutti i momenti si

sommano e il rotore viene messo in rotazione.

LEZIONE 24 N° 4

• DATE LE EQUAZIONI DI STATO DI UN MOTORE ELETTRICO IN CC,

RICAVERNE LO SCHEMA A BLOCCHI.

Per ricavare lo schema a blocchi dalle equazioni di stato è

conveniente trasformarle nel dominio di Laplace: la prima è (s per

L più R) per I(s) uguale V(s) meno k per omega(s); la seconda è (s

per j più F) per omega(s) uguale k per I(s) meno c con d di s e la

terza e theta di s per s uguale omega di s. Da qui segue che 1/(sL +

R), k, 1/(sJ+R) e 1/s sono le impedenze dello schema a blocchi

mentre V(s) e Cd(s) sono dei generatori dello schema. È facile

mediante la funzione di trasferimento e queste considerazioni

ricavare lo schema.

LEZIONE 24 N° 5

• DATE LE EQUAZIONI DI STATO DI UN MOTORE ELETTRICO IN CC, SI

RICAVI LA RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE FUNZIONE DI

TRASFERIMENTO.

Nel dominio di Laplace le equazioni di stato diventano: la prima

(Ls+R)I(s)=V(s)-kOmega(s), la seconda (sJ+F)Omega(s)=kI(s)-Cd(s),

la terza sTheta(s)=Omega(s). In molti casi pratici il coefficiente

d'attrito F e l'induttanza L sono trascurabili e la funzione di

trasferimento diventa W(s)=Omega(s)/V(s)=1/[k(1+RJs/k^2)].

Altrimenti la funzione di trasferimento ha due poli reali negativi. Se

si prende come ingresso il disturbo Cd(s) si ha Omega(s)/Cd(s)=R/

[k^2(1+RJs/k^2)].

LEZIONE 24 N° 6

• DATE LE EQUAZIONI DI STATO DI UN MOTORE ELETTRICO IN CC, SI

RICAVI LA RAPPRESENTAZIONE IN SPAZIO DI STATO.

Posto v=u e Cd=z, si pone i=x1, omega=x2 e theta=x3. Si arriva cosi

ad un sistema con la rappresentazione in spazio di stato.

LEZIONE 25 N° 2

• SI DESCRIVA CHE COS'è UN POTENZIOMETRO PRENDENDO COME

RIFERIMENTO LO SCHEMA DI ASSERVIMENTO DI UN MOTORE IN

CORRENTE CONTINUA.

Un potenziometro può essere modellato da un motore elettrico a

corrente continua con L ed F trascurabili e quindi modellabile da

uno schema a blocchi che ha la seguente funzione di trasferimento

P(s)=Theta(s)/V(s)=1/[s*(1+10s)].

LEZIONE 32 N° 4

• PER UN SISTEMA DI ACCUMULO, SI DISCUTA LA LEGGE DI

CONSERVAZIONE DI MASSA, CON PARTICOLARE RIFERIMENTO AL

CASO DI UN FLUIDO INCOMPRIMIBILE.

La variazione di fluido nell'unità di tempo di un sistema di

accumulo, è dato dalla variazione della portata in massa entrante

meno quella uscente: dm/dt=Gin(t)-Gout(t). Si consideri ora un

elemento infinitesimo di tubo di flusso Adx, al cui interno si trovi un

liquido omogeneo ma comprimibile ovvero rho dipende dal tempo,

la sua massa è pho per Adx. Riscrivendo l'equazione e dividendo

per dx si ha drho(t)/dt*A=(Gin(x,t)-Gout(x+dx,t))/dx, ovvero

drho(t)/dt*A + dG(x,t)/dx=0. Tale equazione è detta equazione di

conservazione della massa o equazione di continuità che esprime

localmente che la massa entrante nel tubo di flusso è uguale a

quella uscente a meno di accumuli di massa, ovvero variazioni

della densità del fluido. Se il fluido è incomprimibile dG(x,t)/dx=0,

cioè G(x,t)=G(t). Con riferimento a due sezioni 1 e 2 del tubo si ha

rhoA1v1=rhoA2v2 e cioè la velocità del fluido è inversamente

proporzionale alla sezione del tubo di flusso.

LEZIONE 33 N° 2

• DESCRIVERE L'EQUAZIONE DI BERNOULLI E SPIEGARNE

L'IMPORTANZA A LIVELLO INGEGNERISTICO.

L'equazione di Bernoulli dice che nel moto stazionario di un fluido

ideale e incomprimibile, la somma della pressione, dell'energia

potenziale gravitazionale per unità di volume e dell'energia

cinetica per unità di volume è costante. Se il tubo è orizzontale e

quindi l'energia potenziale gravitazionale non dipende dalla

profondità, possiamo assumere quest'ultima costante e portarla

quindi a secondo membro. Si deduce in quest'ultimo caso che nelle

sezioni dove si ha un restringimento con conseguente aumento della

velocità, si ha una riduzione della pressione. La misura quindi della

velocità permette la determinazione della pressione e viceversa. A

tale principio si ispira il tubo di Venturi.

LEZIONE 34 N° 5

• SI MODELLI UNA VALVOLA DI REGOLAZIONE.

Una valvola non è altro che un ugello alla cui uscita si inserisce una

spina in grado di cambiare la sezione dell'ugello in prossimità della

strozzatura. Se il fluido è incomprimibile sappiamo dall'equazione

di conservazione della massa che la portata in massa è costante:

G=rho*A*v, dove rho è la densità costante del fluido, A la sua

sezione e v la velocità. La portata in corrispondenza della

strozzatura dell'ugello è G uguale Ast per la radice di 2 rho per (pin –

pst), dove Ast e pst sono rispettivamente la sezione e la pressione in

corrispondenza della strozzatura. Ci chiediamo ora se non si siano

effetti di bordo alla superficie di separazione tra il mondo esterno

e la strozzatura. Nel caso ideale si ha G uguale Ast per la radice di 2

rho per (pin – pout) dove pout è la pressione in corrispondenza

dell'uscita. Nella realtà la discontinuità di sezione presente tra la

strozzatura e l'uscita è assimilabile ad un ulteriore tratto di tubo. In

questo tratto si generano moti turbolenti del fluido e si ha un

parziale recupero di pressione che dipende dal grado di apertura

della valvola per cui pst<pout. Si introduce il coefficiente Cr che è la

radice quadrata della differenza di pressione tra l'uscita e quella

dell'inizio fratto la differenza di pressione tra la strozzatura e quella

iniziale del tubo. La portata in massa della valvola è dunque Ast/Cr

per la radice quadrata di 2 * rho * (pin – pout). Ast/Cr dipende

dall'apertura della valvola e può essere raggruppato in un unico

coefficiente k(theta)=kmax*alfa(theta). alfa(theta) è caratteristica di

ogni valvola ed esprime il fatto che la portata non aumenta con

l'apertura della valvola in modo strettamente lineare ma si discosta

da tale comportamento a causa delle ineliminabili imprecisioni

costruttive.

LEZIONE 34 N° 6

• MODELLARE UN UGELLO E DIRE SE IL MODELLO RISULTANTE è

STATICO O DINAMICO.

L'ugello è un dispositivo atto a modificare la conformazione del

flusso di un fluido, allo scopo di generare un getto con

caratteristiche predeterminate. Esso si presenta nella forma di una

strozzatura, con l'effetto di ottenere un getto a bassa pressione ed

elevata velocità. Il modello di questo oggetto può essere

determinato applicando la legge di Bernoulli sulle sezioni di

ingresso e uscita. Si ha che la pressione iniziale più l' energia

potenziale gravitazionale per unità di volume in corrispondenza

dell'inizio della strozzatura più l'energia cinetica per unità di volume

iniziale è uguale alla pressione in corrispondenza dell'uscita più

l'energia potenziale gravitazionale per unità di volume all'uscita più

l'energia cinetica per unità di volume all'uscita. Ipotizzando che il

tubo sia orizzontale e dividendo ambo i membri per la densità di

fluido si ha (pin – pout)/rho= (v quadro out - v quadro in)/2 dove

pin e pout sono rispettivamente la pressione iniziale e quella finale,

rho è la densità del fluido e vout e vin sono rispettivamente le

velocità finali e iniziali. Se la sezione iniziale è molto più grande di

quella di uscita, vin può essere trascurata rispetto a vout e dunque

vout è aprossimabile alla radice di 2 * (pin – pout)/rho. La

precedente relazione è una relazione non lineare tra la variabile

d'uscita vout e quella d'ingresso pin. Si tratta di una relazione statica

in quanto l'ugello è un elemento privo di accumulo, ovvero senza

memoria.

LEZIONE 35 N° 3

• SI MODELLI LA DINAMICA DI PRESSIONE SUL FONDO DI UN

SERBATOIO A PELO LIBERO.

Tenendo conto che la massa del fluido è rho * A * h, la variazione di

massa del serbatoio è rho * A * dh/dt uguale Gin meno Gout.

D'altra parte la pressione agente sul fondo del serbatoio è ph =

patm più rho*g*h. Derivando rispetto al tempo si ha dph/dt uguale

rho*g*dh/dt. Sostituendo quest'ultima relazione dentro

all'equazione del bilancio di massa si ha A/g*dph/dt uguale Gin

meno Gout che rappresenta la dinamica di pressione sul fondo del

serbatoio.

LEZIONE 35 N° 4

• SI MODELLI LA DINAMICA DI TEMPERATURA DI UN SERBATOIO

CHIUSO.

Si consideri un serbatoio all'interno del quale un fluido incompribile

subisce una variazione di temperatura (riscaldamento o

raffreddamento). A causa della turbolenza oppure di appositi

miscelatori, si suppone che dentro al serbatoio il miscelamento sia

perfetto, e che quindi la temperatura media del fluido sia pari a

quella di uscita. Siano G la portata in massa, c il calore specifico m la

massa e Ti e Tu le temperatura relative al fluido in ingresso ed in

uscita del fluido. L'energia contenuta nel fluido sotto forma di

calore è data da E=m*c*Tm dove Tm è la temperatura media del

fluido. Con l'ipotesi di mescolamento perfetto in cui Tm=Tu, si

ottiene: dE/dt=m*c*dTu/dt. La variazione di energia termica è

dovuta all'introduzione di liquido alla temperatura Ti quindi

dE/dt=G*c*(Ti-Tu). Uguagliando le due precedenti relazioni si ha

dTu/dt=G/m(Ti – Tu), avendo scelto come grandezza fisica

rappresentativa per descriver il sistema Tu.

LEZIONE 35 N° 5

• SI MODELLI LA DINAMICA DI UNA CONDOTTA.

Con