Matematica generale I

Esercizi II

1. Per ciascuna delle seguenti funzioni, determinare se si tratta di una funzione limitata

e trovare, qualora esistano, gli estremi (superiore e inferiore) ed i punti di massimo

e minimo. 2 D

a) f (x) = x + 2x + 1, = R

2 D

b) f (x) = x + 2x + 1, = (−1, 2]

2 |x|, D

c) f (x) = x + = R

− |2x D

d) f (x) = 2x + 3|, = R

−2x

− D

e) f (x) = 1 e , = R

x D

f) f (x) = e + log x, = (0, 3]

3

2. Osservando i grafici delle seguenti funzioni, determinare se sono monotone, limitate,

concave o convesse. y

y x x

−3 3

D D

(a) = (b) =

R R

y

y 3

x x

−1

-2 D D

(c) = [0, +∞) (d) = (−1, +∞)

1

3. Determinare le funzioni relative ai seguenti grafici. (0, 3)

y (1, 1) x

(−1, 0) −1)

V (−2,

(e) (f)

y (3, 1)

(−2, 0) (2, 0) x

−1)

(−3, (g)

y (1, 3)

1

2, 2

1

− , 1 (0, 1)

2 x

(h)

2

◦ ◦

4. Scrivere le funzioni composte g f e f g, dove possibile.

√

4

a) f (x) = x + 1, g(y) = y +3

2

|x |y −

b) f (x) = + 3|, g(y) = 4|

p

x 4 3

c) f (x) = 2 , g(y) = y

|x − |x||, |y|

d) f (x) = g(y) =

e) ( ≥

ln x per x 2 2 −

f (x) = g(y) = y 2y + 1

x + ln 2 per x < 2

5. Se possibile, trovare la funzione inversa relativa alle seguenti funzioni:

a) f (x) = 3x + 2

2

b) f (x) = x + 1

1

c) f (x) = 3 −3

x 4x

d) f (x) = 2e + 1

1

e) f (x) = 2

x +4

5 x + 2|x|

f) f (x) = 2

5

g) f (x) = x + 3|x|

2

6. Completare le seguenti tablelle come nell’esempio: −1

2 3 8

notazione esponenziale 3 = 9 4 = 10 = 2 =

notazione logaritmica log 9 = 2

3

2

notazione esponenziale 5 = 25

notazione logaritmica log 25 = 2 log 10000 = log 27 = log 1 =

5 10 3 7

3

7. Trovare la soluzione alle seguenti equazioni:

−2x

a) e = 10

√

5x−1 6

b) 2 = 16

2

3x +1 1

c) 10 =

x 1000

−

d) log (2 3x) = 2

7 |7x 27

e) log + 10| = log 1

3 3

2 −

f) 4 (log x) + 2 log x 2 = 0

2 2

∈

8. Per quali x le seguenti disequazioni sono verificate?

R

x+1

a) 3 < 81

x+2

5−2x

b) 100 > 10

1000 < log 8

c) log 10 2

x +2 !

1

2

x + (x + 9) 2

d) log > 1

2 2x

x

|2 · −

e) 9 1| > 5

− |x|)

f) log (1 > 3

2 − |x|)

(1 > 3

g) log 1

2 4