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Matematica finanziaria
- Il razionale della mat. fin.
Preferiresti avere 1.000 subito o tra due anni? Subito valgono un po' di più che tra due anni ed esprimerlo correttamente è il rischio finanziario.
Per essere disposti ad avere tra due anni una somma uguale o più di 1.000, o per averli subito posso accettare anche un po' meno invece di dover aspettare 2 anni per 1.000 €.
I soldi che ho subito disposti a cedere = capitale iniziale in futuro risulta avere C+I = montante operazioni finanziarie:
Capitalizzazione
Possiamo essere disposti a cedere adesso l'uso del nostro capitale iniziale C essendo di avere ad una certa scadenza futura una somma superiore a C - C + i = M montante
C -> C+i
- 0 -> *
Capitale iniziale e montante. Si possono considerare somme equivalenti a scadenze temporali diverse.
Attualizzazione
Possiamo essere disposti a scambiare un capitale future Cf alla scadenza con una somma da ricevere subito ed accettando che tale somma sia inferiore a Cf
Cf - sconto -> Cf Cf = sconto = valore attuale = la somma che riceviamo subito in cambio del cap. future
0 -> *
Montante M = C+I
Interesse I = M - C
Tasso di interesse λ = I/C
I leggi che regolano la relazione tra le varie convenzioni.
Aggiungiamo un'ipotesi
Il montante sia proporzionale al capitale iniziale
Equivalente a
→ Tasso di interesse a pronto non dipende dal cap iniz
In sintesi
- Cap iniziale = C
- Tasso di int. = i
- Interesse alla scad. = C · i(t)
- Montante alla scad. = Mt = C + C · i(t) = C + (Mt · i · t)
Fattore di montante
Individua in modo unico la legge di capitalizzazione
Proprietà
- f(t) deve essere definito per t > 0
- deve essere f(0) = 1
- f(t) deve essere crescente per t > 0
Tasso unitario di interesse = f(1) - 1
Montante alla scadenza t = 1 = C · (Mt · i · t)
26/11/2000
- Esercizi
- f(t) = 1/t4 no
- f(t) = 6 + 1/t no
- f(t) = 1/t + t sì
- f(t) = t4 + 2 sì
- f(t) = t4 + 0.03t sì
a) La n.o. è definita su tutto R e quindi nemmeno in t ≠ 0 (c.e.)
b) c.e. t ≠ 0, monot. tecnica verifica f'(t) ≠ 0
c) c.e. t ≠ 0, monot. tecnica verifica tutte le inter.
d) verif. f(t) in tutte le inters. R\{0} -> f(t) >= 0 -> f Esponenziale è sempre >= 0
e) c(e).is+1, definita ∀t >= 0, f'(t) = 0.03 -> > 0 quindi crescente
- Esercizio da completo
f(t) = log(at+1) + b
1. c.e at/at+1 y t >= 0 -> è sempre verificata perché a > 0 e t >= 0
2. f(0) = log(a) + b
b deve essere uguale a -1, costante quando t = 0
3. f'(t) = a/at+1 -> at/a - 1/a
a deve essere positivo
- Esercizio
f(t) = eat2+4t + b + 1
1. c.e. iR (definita per t > 0)
2. f(0) = 1 + b + 1 b deve essere -1
3. f'(t) = eat2+ 4(2at + 4) > 0 i > 0
eat2+ + t >= 0
2at/t2 4 > 0 vero
se a ≠ 0, /\ a > 0 (1) 0 = t ≥ 2/a
∀ t >= 0 è positiva la derivata
se a < 0 -> la 2/a sarebbe solo per t
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