Esercizi sulle funzioni

C

Indichiamo con l’insieme delle funzioni reali di variabile reale, definite in e continue.

[a, b] [a, b]

0

C

In si ottiene una struttura di spazio vettoriale operando con le comuni operazioni algebriche ed avvalendosi

[a, b]

degli usuali teoremi sulla continuità della somma e del prodotto di funzioni continue.

0

C

In si ottiene una struttura di spazio vettoriale euclideo ponendo, ad esempio:

[a, b] b

Z

·

f g = f (x) g(x)dx

a

1.3.5 Esempio n. 5

1

C

Indichiamo con l’insieme delle funzioni reali di variabile reale, definite in continue e derivabili e dotate

[a, b] [a, b],

di derivate prime continue.

1

C

In si ottiene una struttura di spazio vettoriale operando con le comuni operazioni algebriche ed avvalendosi

[a, b]

degli usuali teoremi sulla continuità e derivabilità della somma e del prodotto di funzioni derivabili.

1

C

In si ottiene una struttura di spazio vettoriale euclideo ponendo, ad esempio:

[a, b] b b

Z Z 0 0

·

f g = f (x) g(x)dx + f (x) g (x)dx

a a

8

1.3.6 Esempio n. 6

2

L {a },

Indichiamo con l’insieme delle successioni numeriche a coefficienti reali e tali che risulti convergente la

k

2

∈ L

somma dei quadrati dei termini. Un elemento di sarà pertanto definito nel modo seguente:

s +∞

X 2

{a } con

s = a < +∞

h h

h=1 0 00

2 2

L ∈ L

Per dimostrare che è uno spazio vettoriale occorre mostrare che prese due serie , siano:

s , s

0 00

{b } {c }

s = s =

h h

risulta: +∞

X 2

(αb + βc ) < +∞

h h

h=1

Dalla proprietà si ha:

N

6b 2 2 2 2 2

≤

(αb + βc ) 2 α b + β c

h h h h

da cui segue: +∞ +∞ +∞

X X X

2 2 2 2 2

≤

(αb + βc ) 2α b + 2β c < +∞

h h h h

h=1 h=1 h=1

2

L

Pertanto anche lo spazio è uno spazio vettoriale.

2

L

Nello spazio vettoriale è possibile introdurre una struttura di prodotto scalare nel modo seguente:

+∞

X

0 00

·

s s = b c

h h

h=1

Esso pertanto è uno spazio vettoriale euclideo. 9

Capitolo 2 n

Spazio R

n 2 3

Lo spazio e, soprattutto, gli spazi e , saranno considerati gli ambienti naturali nei quali sviluppare le nostre

R R R

teorie. E’ opportuno, quindi, approfondire le loro proprietà.

n

2.1 Base vettoriale di R

n

Sia lo spazio descritto nell’esempio 1.3.1.

R

Introduciamo i seguenti vettori:  

 

  0

0

1 0

1

0 

 

 

 n

2

1 

 

 

 (2.1)

0

0

0 ... i =

i =

i = 

 

 

 

 

 

 ...

...

... 

 

 

 1

0

0

1

1 2 n n

{i } ∈

I vettori vengono chiamati in quanto per ogni vettore si ha:

base

, i , . . . , i x R

 

x 1

x 2 1 2 n

  · · · (2.2)

x = = x i + x i + + x i

1 2 n

 

. . .

 

x n

Osservazione 2.1.1.

Sussiste la seguente relazione: n

X |x |

|x | ≤ kxk ≤ (2.3)

h = 1, . . . , n

i

h i=1

La prima diseguaglianza segue immediatamente alla (1.7). La seconda diseguaglianza segue dalla relazione:

2

!

n n

X X

2

|x | ≤ |x |

i i

i=1 i=1

2

2.1.1 R

2

Nel caso la base (2.1) viene indicata con i simboli:

R

1 0 (2.4)

i = j =

0 1

Si ha:

x 1

x = = x i + x j

1 2

x 2

1 L’indice ad esponente non sta ad indicare una potenza del vettore ma soltanto un indice. In questo modo è possibile utilizzare un indice a

deponente per indicare le componenti del vettore. Ad esempio, posto si ha:

n = 4

 

0

1

2  

i =  

0

 

0

2 2 2 2

da cui segue: i = 0, i = 1, i = 0, i = 0.

1 2 3 4 10

Si ha poi, analogamente alla (1.6) ed alla (1.7): ·

x y = x y + x y

1 1 2 2

da cui segue: q 22

21

kxk + x

= x

3

2.1.2 R

3

Nel caso la base (2.1) viene indicata con i simboli:

R      

1 0 0 (2.5)

0 1 0

i = j = k =

     

0 0 1

Si ha:  

x 1

x

x = = x i + x j + x k

2 1 2 3

 

x 3

Si ha poi, analogamente alla (1.6) ed alla (1.7):

·

x y = x y + x y + x y

1 1 2 2 3 3

da cui segue: q 21 22 23

kxk x + x + x

=

2.1.3 Prodotto Vettoriale n

Accanto al prodotto scalare fra vettori, in è possibile introdurre un secondo prodotto fra vettori: il Prodotto

R n

−

Il prodotto vettoriale associa, ad vettori di , un altro vettore secondo la regola che segue.

Vettoriale. n 1 R

−

Fissati vettori:

n 1   

  

u u u

11 21 n−1 1

u u u

12 22 n−1 2

1 2 n−1

  

   (2.6)

u = u = ... u =

  

  

... ... ...

  

  

u u u

1n 2n n−1 n

si pone: 1 2 n

i i ... i

u u ... u

11 12 1n

1 2 n−1

× (2.7)

u u ... u

u , u , . . . , u = 21 22 2n

...

u u ... u

n−1 1 n−1 2 n−1 n

Osservazione 2.1.2.

Dalla (2.7) segue immediatamente: 1 2 n−1 j

× · −

u , u , . . . , u u = 0 j = 1, 2, . . . , n 1

2

Prodotto Vettoriale in

Definizione 1. R

2

∈

Assegnato il vettore tale che si definisce il prodotto vettoriale di nel modo seguente:

u R u = u i + u j u

1 2 i j

×(u) −

= = u i u j

2 1

u u

1 2

2

Il prodotto vettoriale verifica, in , la seguente proprietà lineare:

R 2

× × × ∀u, ∈ ∀α, ∈

(αu + βv) = α (u) + β (v) v R β R

Si ha inoltre: ×(i) −j × × · kuk k ×

= (j) = i (u) u = 0 = (u)k

11

3

Prodotto Vettoriale in

Definizione 2. R

3 ×

In per il prodotto vettoriale invece del simbolo (2.7) viene utilizzato, per motivi storici, il simbolo Dalla (2.7)

R u v.

segue: i j k u u

u u

u u 1 2

1 3

2 3 −

× u u u k

j +

i

=

u v = 1 2 3 v v

v v

v v 1 2

1 3

2 3

v v v

1 2 3

− − − −

= (u v u v ) i (u v u v ) j + (u v u v ) k

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

Il prodotto vettoriale verifica le seguenti proprietà: 3

PS × ∀u ∈

Annullamento u u = 0 R

1 3

PS × −v × ∀u, ∈

Anti Commutatività u v = u v R

3 3

PS × × × ∀u, ∈ ∀α, ∈

Linearità (αu + βv) w = αu w + βv w v, w R β R

4

Si ha inoltre: × × × −j

i i = 0 i j = k i k =

× −k × ×

j i = j j = 0 j k = i

× × −i ×

k i = j k j = k k = 0

× · × ·

(u v) u = 0 (u v) v = 0

Risulta infine, indicato con l’angolo formato dai vettori e

ϑ u v:

ku × kuk kvk |

vk = sin ϑ|

n

2.2 Rette in R

La retta, intuitivamente, può essere definita come un insieme di punti allineati.

n

6

Assegnati un punto ed un vettore entrambi in , la retta è data da tutti i punti tali che:

P u = 0 R r P

0 ∈ (2.8)

P = P + t u t R

0

Posto: 01

 

  

 u

x x 1

1 02 u

x x 2

2 

   

 (2.9)

P = u =

P =

0 

   

 ...

... ... 

   

 0 u

x x n

n n

2

la (2.8) assume la forma : 01



  

x x + t u

1

1

   



  

02 (2.10)

x x + t u

=

r : 2 2



  

   

... ...

   

0

x x + t u

n n

n

2

2.2.1 R

2

Nel caso , considerata la base vettoriale (2.4) ed i punti e vettori

R

x x u

0 1 (2.11)

P = P = u =

0

y y u

0 2

l’equazione (2.10) assume la forma:

x x + t u

0 1

=

r : y y + t u

0 2

2 Solitamente le rette vengono indicate con lettere latine minuscole 12

3

2.2.2 R

2

Nel caso , considerata la base vettoriale (2.5) ed i punti e vettori

R      

x x u

0 1 (2.12)

y y u

P = P = u =

0 2

0

     

z z u

0 3

l’equazione (2.10) assume la forma:    

x x + t u

0 1 (2.13)

y y + t u

= 0 2

   

z z + t u

0 3

n

2.3 Iperpiani in R

n 2 3

−

Gli iperpiani di sono insiemi lineari di dimensione In particolare in sono le rette mentre in sono gli

R n 1. R R

usuali piani bidimensionali. 3

n

6

Assegnati un punto ed un vettore entrambi in , l’iperpiano è dato da tutti i punti tali che:

P u = 0 R π P

0 − · (2.14)

π : (P P ) u = 0

0

Presi i punti e ed il vettore come definiti nella (2.9), la (2.14) assume la forma:

P P u

0 n

X 0

− (2.15)

x x u = 0

h h

h

h=1

2

2.3.1 R

2

Nel caso , scelta la base (2.4), la (2.11) e la (2.15) fornisce l’equazione implicita della retta:

R − − (2.16)

u (x x ) + u (y y ) = 0

1 0 2 0

Osservazione 2.3.1.

2

I punti del piano che soddisfano un’equazione del tipo:

P R ax + by + c = 0

a

formano una retta che ha come vettore normale il vettore u = b

2

retta–punto

2.3.2 Distanza in R

x , sia un punto appartenente alla retta.

Assegnata la retta di equazione implicita (2.16) ed un punto P

r Q = 0

y

−

Indicato con l’angolo formato dai vettori e , risulta:

ϑ u Q P 0

|u·( − kuk kQ − k |cos

Q P )| = P ϑ|

0 0

Ne segue: 1 |u·( −

kQ − k |cos Q P )|

dist(r, Q) = P ϑ| = 0

0 kuk

− −

u (x x ) + u (y y )

1 0 2 0

= p 21 22

u + u

3

2.3.3 R

3

Nel caso , scelta la base