Esercizi, Analisi Matematica

A, B C

{x ∈

:= : 4}

A x x <

N, 2

{y ∈

:= : = 1}

B y y

Z,

{s ∈

:= : è pari}

C s s

N,

Determinare i seguenti insiemi: ∩

(a) A B

∩

(b) A C

∩

(c) B C

∪

(d) B A

\

(e) A B

\

(f ) A C

\

(g) B C

∪ ∩

(h) (A C) B

∩ ∪

(i) (A C) B

Esercizio 2

Dati gli insiemi e

A, B C {0,

:= 2, 4}

A {1,

:= 2, 3}

B {x ∈

:= : è dispari}

C x x

Z,

Determinare gli elementi dell’insieme:

∪ ∩

(A B) C

Esercizio 3

Ridurre ai minimi termini le seguenti espressioni

15

4 6

1 · 2+

+

(a) 2 3 9 15

7

1 + 2

2 6 +

(b) 2 5

2

1+ 3

1 2

− −

(c) (x + a)(x a) x

3 2

− −

(d) (x + 1) + 1) + 1)

x(x x(x

Esercizio 4

Semplificare le seguenti espressioni.

1

2 ·

(a) 2 2 .

− 2

3 2

3 −5 .

(b) 5

2 ·2

−3

3)

3 (2

(2 )

(c) .

3

(32

( )

)

2

Esercizio 5

Risolvere le seguenti equazioni in x.

2 3

2

x = .

(a) 3

2 x

2

3 −1 =

(b) x.

2

x 2

( )

1

2 −2

5 − 27

4 .

=

(c) 3 5

x x

Esercizio 6 6

Risolvere le seguenti disequazioni in Supporre = 0.

x. a

≤

(a) 2x + 3 3x + 2.

3 2 2

≥ −

(b) (x + 1) 1) + 5x .

x(x

3 2 2

− ≥ −

(c) (x + .

a) x(x a) a5x

4

(d) + 1 0.

x >

10

(e) + 14 0.

x <

Esercizio 7 −2)

Sul piano cartesiano siano = (−1, e = (5, 6)

A B

(a) Determinare la lunghezza del segmento AB.

(b) Trovare il punto medio del segmento AB.

(c) Trovare l’equazione della retta passante per e (r : = +

r A B. y mx q).

(d) Disegnare il grafico della retta r.

(e) Determinare i punti di intersezione della retta con gli assi.

r

Esercizio 8

Sul piano cartesiano siano = (−1, 0) e = (1, 1)

A B

(a) Determinare la lunghezza del segmento AB.

(b) Trovare il punto medio del segmento AB.

(c) Trovare l’equazione della retta passante per e (r : = +

r A B. y mx q).

(d) Disegnare il grafico della retta.

Esercizio 9 −1)

Sul piano cartesiano siano = (−2, e = (1, 2)

A B

2

(a) Determinare la lunghezza del segmento AB.

(b) Trovare l’equazione della retta passante per e : = +

r A B.(r y mx q).

(c) Trovare il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle ordinate.

C r

(d) Disegnare il grafico della retta.

Esercizio 10

Calcolare il dominio delle seguenti funzioni.

2x+1

(a) (x) =

f x−2

3x+1

(b) (x) =

f 2

x −3x+2

√

(c) (x) = 4x

f √ 2 − 4

(d) (x) = x

f √ 2

x −1

(e) (x) =

f √ 2

2x−x

1

(f) (x) =

f 2

2

x e x

Esercizio 11

3

Sia (x) = + calcolare.

f x x

(a) (2)

f −

(b) (1) (2) + (3)

f f f

(2)−f (1)

f

(c) (1)−f (−1)

f

Esercizio 12

2 ∈ 6

Sia (x) = e sia con = calcolare.

f x a, b a b

R

(a) (a + 1)

f − −

(b) (a + 1) (a 1)

f f

(a)−f (b)

f

(c) a−b

(d) (f (a))

f

Esercizio 13

Sia (x) = + determinare e tali che:

f ax b a b

−

(a) (x + 1) + (x 1) = 2 + 4x

f f

Esercizio 14

2 2

− −

Date (x) = + 3 e = 3x + 1 determinare le soluzioni di

f x x g(x) x

−

(a) (x) = 4

f g(x)

Esercizio 15

Risolvere le seguenti disequazioni.

2

(a) 1.

x <

2 − ≥

(b) + 2 0.

x x

2 ≥

(c) + + 2 0.

x x

3 −

(d) 0.

x x <

2 3

−

(e) (x + 2x) 0.

x)(x > 3

2 |x − ≤

(f) + + 1| 3 0.

x

|x ≤ |x|.

(g) + 2| + 1

2x+1

| |

(h) 2.

<

x−3

Esercizio 16

Risolvere le seguenti disequazioni.

− ≤

(a) (x + 1)(x 1) 0.

2

x ≥

−2x−3

(b) 0.

x

2 +x−2

x ≤

(c) 0.

2

x −2x+1

2 +1

x

(d) 0

>

4 +1

x

Esercizio 17

Scrivere le seguenti funzioni razionali come somma di un polinomio e di una

funzione razionale in cui il numeratore ha grado minore del denumeratore.

2

2x + 5x + 1

(a) 2x + 1

5 3

3x + 2x + 1

(b) 2 + 1

x 3 + 1

x

(c) 2

2x + + 1

x

Esercizio 18

4 3 2

− −

Sia (x) = 3x 3x + 7x + 6 sapendo che (2) = 0 e (3) = 0 risolvere

f x f f

la disequazione: (a) (x) 0

f <

Esercizio 19

3 2

− −

Sia (x) = 2x + 7x 6 sapendo che (1) = 0 risolvere la disequazione:

f x f

≥

(a) (x) 0

f

Esercizio 20

Calcolare: (a) log 64

4

(b) log 4

64

49

(c) log 1

7

√

3

(d) log 32

1

2

Esercizio 21

Risolvere le seguenti equazioni:

(a) log 2 = 7

x

4 2 −2

(b) log =

x

7 −

(c) log (x + 4) = log (8 x)

2 2

1

(d) = log (x)

3

2

Esercizio 22

Risolvere le seguenti disequazioni:

(a) log(x + 1) 0

<

(b) log(log(x)) 0

>

(c) log (2x + 1) + log (x) 0

>

2 2

Esercizio 23

Risolvere le seguenti equazioni:

(a) sin(2x) = 1

√

− ·

(b) 1 2 cos(x) = 0

(c) cos(λx) = 1 supporre 0

λ >

(d) sin(3x) = 3

1

2

(e) sin (x) = 2

2 − −

(f ) cos (x) 3 cos(x) 4 = 0

2 −

(g) 2 sin (x) sin(x) = 1

2

(h) cos(x) + 1 = 2 sin (x)

√ 3

(i) sin(x) = 2

Esercizio 24

Risolvere le seguenti disequazioni √ 3

(a) 2 cos(x) < 3

2

(b) sin (x) < 4

3

2

|

(c) cos(x)| > 4

5