Esercizi Code

Tuttavia, prima dell’entrata nella fornace, ciascun pezzo semilavorato deve essere sistemato in un apposito

vassoio. Subito dopo la cottura il vassoio viene rimosso e reso di nuovo disponibile per l’inserimento di un

nuovo pezzo che deve entrare nella fornace. L’operazione di rimozione del pezzo dal vassoio dopo l’avvenuta

cottura ed inserimento del nuovo pezzo è abbastanza laboriosa ed è e↵ettuata manualmente da un addetto

che, appena il pezzo cotto esce, rimuove il vassoio, preleva un nuovo pezzo dal magazzino, lo inserisce

nel vassoio appena uscito e lo invia alla fornace. Il tempo richiesto per questa operazione è distribuito

esponenzialmente con media 15 minuti. La fornace è dotata di un bu↵er gestito con modalità FIFO dove un

pezzo eventualmente attende se trova la fornace è occupata. Si suppone che il numero dei vassoi disponibili

sia fissato e pari a K.

a) Descrivere nel dettaglio un sistema a coda che può essere utilizzato per studiare questo problema.

b) Descrivere come sia possibile ricondurre questo sistema ad un processo di nascita e morte.

c) Poiché avere tanti vassoi disponibili potrebbe poi portare ad un’attesa nel bu↵er della fornace molto

lunga, si vuole definire il numero di vassoi da utilizzare in modo che il tempo medio di attesa nel bu↵er

della fornace non risulti troppo grande. In particolare, verificare se con K = 6 vassoi disponibili, il

tempo medio di permanenza nel bu↵er risulta inferiore a tre minuti. In caso contrario, determinare

quanti vassoi eliminare affinchè questa richiesta sul tempo medio nel bu↵er venga soddisfatta.

Descrivere come cambia il sistema se si suppone che i vassoi utilizzati siano di tipo monouso, ovvero dopo

l’avvenuta cottura non vengono riutilizzati, ma l’addetto deve solo provvedere ad inserire un nuovo pezzo se-

milavorato in vassoio monouso dimezzando cosı́ il tempo della preparazione prima dell’ingresso nella fornace

(si supponga che i vassoi monouso siano sempre disponibili dal magazzino). In questo caso determinare:

d) il numero medio di pezzi semilavorati nel bu↵er di attesa della fornace e il tempo medio di permanenza

nel bu↵er;

e) la probabilità che un pezzo rimanga nel bu↵er per piú di tre minuti.

Esercizio 2 (da Esame del 17.7.2017)

Il direttore di un supermercato, per attirare clienti, ha deciso di adottare la seguente promozione: 50 euro

di sconto a ciascuno dei prossimi 1000 clienti che non dovessero trovare una cassa libera quando si recano

nell’area casse avendo terminato la spesa. Da un’analisi statistica si è costatato che i clienti si recano all’area

casse secondo la distribuzione di Poisson con media 3 al minuto. L’area casse è organizzata nel seguente

modo: c’è un’unica fila di attesa nella quale i clienti attendono il loro turno; appena si libera una delle casse

(operanti in parallelo) il primo cliente della fila si reca alla cassa per il conto. Ogni cassa è indipendente

dalle altre e il tempo impiegato da una cassa per e↵ettuare il conto è distribuito esponenzialmente con media

2 clienti al minuto. Il direttore può decidere quante casse tenere aperte durante il periodo della promozione

tenendo conto che non può superare il budget di 1000 euro che ha a disposizione per lo sconto di 50 euro ai

clienti.

(a) Descrivere un sistema a coda che può essere utilizzato per rappresentare la situazione descritta.

(b) Attualmente il direttore ha deciso di tenere aperte 4 casse. Verificare se tale scelta gli permette di non

superare il budget che ha a disposizione e, in caso contrario, determinare il minimo numero di casse

da tenere aperte per rispettare la limitazione di budget.

Nella situazione operativa attuale (ovvero con 4 casse aperte) determinare:

(c) il numero medio di clienti presenti nell’area casse (in fila e alle casse) e il tempo medio passato nella

fila di attesa;

(d) come è distributo il numero dei clienti che si trovano nell’area casse (in fila e alle casse).

Esercizio 3 (da Esame del 12.6.2018)

Un centro servizi sta riprogettando la sua unità che si occupa della trasmissione di messaggi. Il personale

addetto a tale trasmissione, quando riceve una richiesta, si occupa di apportare delle semplici correzioni al

testo del messaggio (se necessarie), di assegnare un numero identificativo al messaggio e di aggiornare un

database contenente tutti i messaggi inviati. Per compiere tutte queste operazioni si stima che sia necessario

un tempo distribuito esponenzialmente con media 35 minuti a messaggio. Attualmente questo personale è

formato da 4 operatori che lavorano in parallelo presso il centro per 7 ore al giorno. Tutte le richieste di

invio di messaggi vengono evase nell’ordine nel quale sono arrivate. Da analisi e↵ettuate si stima che le

richieste di invio messaggi arrivano secondo un processo di Poisson con media di 21 messaggi ogni giorno

lavorativo (ovvero formato da 7 ore).

a) Descrivere un sistema a coda che può essere utilizzato per studiare questo problema.

b) Determinare il minimo numero di operatori necessari per garantire che le operazioni di trasmissione

di un messaggio inizino entro un’ora dall’arrivo della richiesta di trasmissione.

Supponiamo ora le modalità operative cambino ed in particolare che, lasciando invariate tutte le altre

caratteristiche del sistema, una richiesta di invio messaggio che trova tutti gli operatori occupati venga

rifiutata.

c) Descrivere un sistema a coda che può essere utilizzato per studiare questo nuovo funzionamento.

d) Determinare la probabilità che i quattro operatori sia tutti inoperosi.

e) Determinare la probabilità che una richesta di invio messaggi non venga esaudita perchè rifiutata.

ESERCIZIO 1 sistema

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