Reti di telecomunicazioni - esercizi e quesiti reti di telecomunicazioni

S

dei pacchetti di servizio nel caso in cui non si usi alcuna priorità e nel caso si usi una strategia con

priorità non-preemptive a favore dei pacchetti di servizio.

5

28. Una linea di trasmissione di capacità 50 kb/s serve un flusso Poisson di tasso λ =4 pkt/s

D

di pacchetti dati. Le lunghezze dei pacchetti sono v.a.i.i.d. esponenziali indipendenti dai tempi di

arrivo e con media 10000 bit. Inoltre c’è un flusso Poisson indipendente, di tasso λ =2 pkt/s, di

S

pacchetti di servizio di lunghezza fissa 2500 bit. Stabilire il tempo medio di attesa in coda dei

pacchetti di servizio quando:

1. non si usa alcuna priorità;

2. i pacchetti di servizio hanno priorità non-preemptive;

3. i pacchetti di servizio hanno priorità preemptive-resume.

29. Una linea di trasmissione di capacità 148.4 Mb/s serve un flusso Poisson di tasso λ =250.000

D

celle ATM al secondo. Inoltre c’è un flusso Poisson indipendente, di tasso λ =50.000 celle ATM di

S

servizio al secondo. Stabilire il tempo medio di attesa in coda delle celle di servizio quando:

1. non si usa alcuna priorità;

2. le celle di servizio hanno priorità non-preemptive;

3. le celle di servizio hanno priorità preemptive-resume.

30. Una linea di trasmissione di capacità 32 kb/s serve un flusso Poisson di tasso λ =3 pkt/s

D

di pacchetti dati. Le lunghezze dei pacchetti sono v.a.i.i.d. esponenziali indipendenti dai tempi di

arrivo e con media 1000 byte (8 bit). Inoltre c’è un flusso Poisson indipendente, di tasso λ =1

S

pkt/s, di pacchetti di servizio di lunghezza fissa 250 byte. Stabilire il tempo di attesa in coda dei

pacchetti dati nel caso in cui non si usi alcuna priorità e nel caso si usi una strategia con priorità

non-preemptive a favore dei pacchetti di servizio.

31. Un professore dedica tutto il pomeriggio del venerdi a correggere compiti scritti (in numero

infinito) e a dare spiegazioni. Le durate delle correzioni sono v.a.i.i.d. Y esponenziali con media

k

di 15 minuti. Gli studenti invece arrivano secondo un processo di Poisson, al ritmo di 2 all’ora,

e chiedono spiegazioni con durate che sono v.a.i.i.d. X esponenziali con media di 10 minuti, in-

k

dipendenti dagli arrivi. Naturalmente il professore dà precedenza alle spiegazioni, e solo quando

non ci sono studenti in attesa si mette a correggere i compiti. Quando poi arrivano nuovi studenti

mentre sta corregendo un compito può operare secondo le due strategie:

1. completa la correzione del compito che ha per le mani prima di dare spiegazioni;

2. interrompe la correzione e la riprende quando non c’è nessuno in coda.

Qual è il tempo medio di attesa in coda degli studenti nei due casi?

32. Ad una linea di comunicazione arrivano pacchetti di tre classi che vengono gestiti con priorità

non-preemptive. Gli arrivi sono processi di Poisson indipendenti, di tasso λ = 40, λ = 40 e

1 2

λ = 100 [pkt/s] rispettivamente, mentre i tempi di servizio, tutti indipendenti, sono caratterizzati

3 −2 −4 −4 −4

2 2 2

2 2 2

× ×

dai parametri X = X = X = 10 [s] e X = 10 [s ], X = 2 10 [s ], X = 4 10 [s ].

1 2 3 1 2 3

1. Che percentuale di utenti di classe 3 vengono serviti?

2. Qual è il tempo di attesa in coda dei pacchetti di classe 1 e 2?

6

33. Alla cassa di un grande magazzino arrivano clienti secondo un processo di Poisson al ritmo

di 15 all’ora. I clienti hanno tempi di servizio uniformemente distribuiti fra 0 minuti e 6 minuti,

indipendenti fra loro e dai tempi di arrivo. Quanto devono aspettare mediamente in coda i clienti?

Migliorerebbe la situazione se i clienti con tempi di servizio inferiori a 2 minuti avessero la prece-

denza (ma non rispetto a quello in servizio)? Supponendo di dare la precedenza a clienti con tempi

di servizio inferiori a ∆ minuti, qual è il valore ottimo di ∆ (impostare almeno il calcolo) ?

34. Il signor K va a fare la spesa in salumeria ed aspetta tranquillamente il suo turno per essere

servito. Quanto dovrà aspettare in coda, sapendo che i tempi di servizio sono v.a.i.i.d. Exp(µ),

−1

µ=12 [h ], c’è una persona in servizio, ed altre due in coda prima di lui? Come cambia il suo

−1

tempo di attesa se, con tasso λ=3 [h ], arrivano dei clienti scorretti che riescono ad infilarsi in

coda prima di lui?

35. Il signor K è arrivato alla barriera d’uscita dell’autostrada dove ci sono 8 automobilisti in

coda prima di lui, più uno al casello. I tempi di pagamento del pedaggio sono v.a.i.i.d. Erlang(3,γ),

con 1/γ pari a 10 secondi. Quanto tempo dovrà attendere in media il signor K prima di arrivare al

casello? Di quanto aumenta il tempo di attesa se il quinto degli automobilisti in coda lascia passare

avanti altri automobilisti “furbi” che arrivano al ritmo di uno al minuto?

f f f

- - u

@

R

@

8 7 6 5 4 3 2 1 0

K - -

36. Alla cassa di un grande magazzino arrivano clienti secondo un processo di Poisson al ritmo

di 20 all’ora. I clienti hanno tempi di servizio uniformemente distribuiti fra 0 minuti e 4 minuti,

indipendenti fra loro e dai tempi di arrivo. Quanto devono aspettare mediamente in coda i clienti?

Quanto migliorerebbe la situazione se i clienti con tempi di servizio inferiori ad 1 minuto avessero

la precedenza (ma non rispetto a quello in servizio)?

37. La signora K va dal suo medico curante per un controllo, ma quando arriva trova il dottore

già impegnato con una visita e altri due pazienti in attesa. Le durate delle visite sono v.a.i.i.d.

∼

D U(12, 36) [minuti]. Sapendo che durante l’orario di visita arrivano anche telefonate al ritmo

k

di 3 all’ora, e che in media ogni telefonata impegna il dottore per 3 minuti, dopo quanto tempo la

signora lascerà lo studio?

Code G/G/1

38. Uno switch ATM ha un’architettura con buffer in uscita, per cui, prima di ogni linea d’uscita,

c’è un buffer di memoria che contiene le celle (53 byte) da trasmettere. Se tempi interarrivo al

−5 −10

2 2

buffer τ sono v.a.i.i.d. con media τ = 10 [s] e varianza σ = 10 [s ], quale deve essere la

K τ −5

≤

capacità della linea d’uscita per garantire che il tempo di attesa medio in coda sia W 10 [s]?

6

39. In uno switch ATM, su una linea d’ingresso di capacità 155×10 [bit/s] arrivano celle con

7 −5 2

tempi interarrivo τ che sono v.a.i.i.d. con media τ = 10 [s] e varianza σ non nota. Per evitare

K τ

di perdere celle quando lo switch è gia occupato, alla fine della linea c’è un buffer di memoria (una

−5

2 ≤

coda). Qual è la σ massima che garantisce un tempo di attesa medio in coda W 10 [s]?

τ

40. In una officina addetta alla revisione periodica delle automobili esistono due piste di collaudo.

Le auto arrivano all’officina secondo un processo di Poisson al tasso di 20 auto all’ora e vengono

inviate alternativamente alla prima e alla seconda pista. Se il collaudo di un’auto richiede un tempo

fisso di 5 minuti, è ragionevole aspettarsi di impiegare meno di 15 minuti dall’arrivo nell’officina al

completamento dell’operazione?

41. In un ufficio pubblico con N = 4 sportelli arrivano clienti secondo un processo di Poisson con

−1

tasso λ=18 [h ]. I clienti hanno tempi di servizio indipendenti dagli arrivi, indipendenti fra loro,

−1

∼

e identicamente distribuiti X Exp(µ) con µ=6 [h ]. All’arrivo, ogni cliente viene assegnato ad

un preciso sportello secondo una rigida rotazione: 1, 2, 3, 4, 1, 2, ecc. Verificare che il tempo medio

di attesa in coda è inferiore a 0.4 [h]. Studiare anche il caso in cui la ripartizione dei clienti fra i

diversi sportelli è casuale e giustificare il risultato ottenuto.

42. In una linea di trasmissione di una rete a commutazione di pacchetto i tempi interarrivo

∼ ∼

dei pacchetti sono v.a.i.i.d. τ U(0, ∆), mentre i tempi di servizio sono v.a.i.i.d. X Exp(µ),

k k

−1

indipendenti dagli arrivi. Se µ=3 [s ], quale deve essere il tasso medio degli arrivi λ per garantire

che il tempo medio di attesa in coda W non superi 1/3 [s]?

43. In una linea di trasmissione di una rete a commutazione di pacchetto i tempi interarrivo

∼ ∼

dei pacchetti sono v.a.i.i.d. τ U(0, ∆), mentre i tempi di servizio sono v.a.i.i.d. X Exp(µ),

k k

indipendenti dagli arrivi. Se ∆=2 [s], quale deve essere il tasso di servizio µ per garantire che il

tempo medio di attesa in coda W non superi 1/3 [s]?

Reti di code, reti Jacksoniane

44. In una rete che adopera circuiti virtuali i nodi A e B sono connessi da tre collegamenti

disgiunti di capacità 36, 25 e 16 pkt/s rispettivamente (in ognuno dei due sensi di trasmissione). Il

nodo A deve instradare verso il nodo B 5 sessioni caratterizzate da tassi di trasmissione di 20, 18,

12, 8 e 4 pkt/s rispettivamente. Indicare alcuni possibili instradamenti e determinare il migliore

in termini di tempo medio speso nel sistema nell’ipotesi che i processi d’arrivo siano Poisson, le

lunghezze dei pacchetti esponenziali e tempi d’arrivo e lunghezze siano indipendenti.

Se la rete adoperasse datagrammi potrebbe instradare liberamente λ pkt/s sulla linea i-esima

i

P

(di capacità µ pkt/s) con l’unico vincolo che λ = λ . Usando la tecnica dei moltiplicatori

i i TOT

i

di Lagrange, determinare i λ ottimali e valutare le prestazioni corrispondenti.

i 36 @

25 @

@

A B

@ 16

@

@ 8 −1

45. In una rete di code si sono arrivi di clienti secondo un processo di Poisson con tasso 8 [s ]. Le

probabilità che un cliente in arrivo alla rete vada alle diverse code sono q = q = 0.4 e q = 0.2.

s1 s2 s3

Inoltre, detta q la probabilità che un cliente in uscita dalla coda i si porti in ingresso alla coda j si

ij

ha q = q = q = 0, q = 0.6, q = 0.1, q = 0.2, q = 0.1, q = 0.4, q = 0.4. Sapendo che le

11 22 33 12 13 21 23 31 32

−1

code hanno tassi di servizio µ = 12, µ = 10 e µ = 4 [s ], stabilire il tempo medio di permanenza

1 2 3

nella rete del generico cliente. Con quale probabilità l’ultima coda visitata da un cliente è la terza?

46. In una rete di tre code arrivano dall’esterno, secondo un processo di Poisson, 12 clienti

all’ora, che sono instradati a caso verso ognuna delle tre code con probabilità (c.p.) 1/3, 1/3, e

1/3 rispettivamente. Un cliente, appena terminato il servizio, rientra in una qualsiasi delle code

c.p. 0.2, mentre esce dal sistema c.p. 0.4. Quale deve essere il tasso di servizio dei tre server (tutti

uguali) affinchè il tempo medio di permanenza nel sistema sia pari a 15 minuti?

47. In una rete di tre code arrivano dall’esterno, secondo un proc