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PROVA SCRITTA D'ESAME DEL GIORNO 10-01-2004
ESERCIZIO n°1
Un incrocio di una grande città viene gestito, in via sperimentale, da un semaforo “intelligente”
(vedi figura sotto). Il semaforo è stato programmato in modo tale da far scattare il rosso per la
strada A (e contemporaneamente il verde per la strada B) soltanto quando si svuota completamente
la fila di macchine sulla strada A; ovviamente si comporta in modo analogo quando è verde il
semaforo per la strada B. Da un monitoraggio precedente risulta che, mediamente, il flusso di auto
sulle due strade è tale che la fila A si svuota ogni 1.5 minuti mentre la fila B si svuota ogni 2.5
minuti. B
A
1. Adottare, motivandoli, due modelli esponenziali per rappresentare il “tempo di durata del verde
del semaforo A” ed il “tempo di durata del verde del semaforo B”.
2. Calcolare la probabilità che la durata del verde per il semaforo A sia compresa fra 1 minuto e 2
minuti.
3. Calcolare la probabilità che la durata del verde per il semaforo B sia non maggiore di 3 minuti,
posto che lo stesso verde dura già da 2 minuti.
4. Ricavare la distribuzione della durata complessiva del verde di entrambi i semafori e calcolare
la probabilità che tale durata sia superiore a 270 secondi.
5. Monitorando il funzionamento dei due semafori su 5 osservazioni casuali ed indipendenti, con
che probabilità la durata del verde per il semaforo A sarà minore di 125 secondi esattamente 3
volte? E non più di 3 volte?
6. Introdurre un modello alternativo a quello esponenziale che sia capace di ridurre di un fattore 10
la varianza associata alla durata del verde del semaforo B.
1
SOLUZIONE
1. Adottare, motivandoli, due modelli esponenziali per rappresentare il “tempo di durata del verde
del semaforo A” ed il “tempo di durata del verde del semaforo B”.
Siano X e X le variabili aleatorie continue indicanti rispettivamente:
A B
=
X durata del verde per il semaforo A
A
=
X durata del verde per il semaforo B
B 1
λ = = - 1
0
.
66 min
A 1
.
5 min
distribuite secondo leggi esponenziali di parametri 1
λ
= = -
1
0
.
4 min
B
2
.
5 min
Pertanto, le funzioni di distribuzione e di densità sono
− −
= − = ⋅
0
. 66 t 0
. 66 t
F (
t ) 1 e , f (
t ) 0 . 66 e
X X
A A
− −
= − = ⋅
0
. 4 t 0 .
4 t
F ( t ) 1 e , f ( t ) 0 .
4 e
X X
B B
2. Calcolare la probabilità che la durata del verde per il semaforo A sia compresa fra 1 minuto e 2
minuti. 2 2
( ) 2
λ λ
λ − −
∫ ∫
≤ ≤ = = = − = − =
t t
P 1 min X 2 min f (
t ) dt e dt e 0
. 67 0
. 44 0 . 23
A A
A X A
A 1
1 1
3. Calcolare la probabilità che la durata del verde per il semaforo B sia non maggiore di 3 minuti,
posto che lo stesso verde dura già da 2 minuti.
( )
≤ > =
P X 3 min | X 2 min ...(per la proprietà di assenza di memoria).. .
B B
( ) − ⋅
0 . 4 1
= ≤ − = = = = − =
P X (
3 2 ) min 1 min F (
t 1
) 1 e 0 . 81
B X B
4. Ricavare la distribuzione della durata complessiva del verde di entrambi i semafori e calcolare
la probabilità che tale durata sia superiore a 270 secondi.
Indichiamo con la v.a. X = X +X la durata complessiva del verde di entrambi i semafori.
A B λ λ
Se X ed X avessero avuto la stessa distribuzione esponenziale ( = ), allora avremmo
A B A B
potuto calcolare la funzione di distribuzione di X ( F (t) ) tramite la distribuzione di Erlang (di
X
ordine 2).
In questo caso, invece, si ha che ( )
t t λ λ
λ
− − −
∫ ∫
= − = − ⋅ =
( t x ) x
F (
t ) F (
t x ) f ( x )
dx 1 e e dx ...
B A
X X X A
B A
=
x 0 0
λ λ λ
t t
λ λ λ λ λ λ
− − − − − −
= − + ⋅ ⋅ = = − + =
x t ( ) x t t
A A B
... e e e ... 1 e e ...
A B A B B A
λ λ λ λ λ λ
− − −
0 0
A B A B A B
λ λ − −
= − ⋅ + ⋅
0 . 4 t 0 . 66 t
...( sostituend o i valori di e )... 1 2 .
54 e 1
. 54 e
A B
( ) ( )
≤ == ≤ = =
P X 270 sec P X 4 . 5 min F ( 4 .
5
) 0 . 66
quindi X
2
5. Monitorando il funzionamento dei due semafori su 5 osservazioni casuali ed indipendenti, con
che probabilità la durata del verde per il semaforo A sarà minore di 125 secondi esattamente 3
volte? E non più di 3 volte? ≤
Le 5 osservazioni sono indipendenti ed inoltre la probabilità di successo (P[X 125 sec]) non
A
varia all’aumentare delle prove: il contesto è quello delle prove di Bernoulli ed il modello da
utilizzare è quello binomiale.
n −
= k n k
P k successi su n prove p q ,
( )
k
=
k 3
=
n 5
dove = ≤ = ≤ = =
p P ( X 125 sec) P ( X 2
.
08 min) F ( 2
.
08
) 0
.
75
A A X A
= − =
q 1 p 0
.
25
quindi
5
= =
3 2
P 3 successi su 5 prove
( ) 0 . 75 0 . 25 0 . 26
3
3 5
∑ −
= =
5
k k
P non più di 3 successi su 5 prove
( ) 0 . 75 0 . 25 0 . 36
k
= 0
k
6. Introdurre un modello alternativo a quello esponenziale che sia capace di ridurre di un fattore 10
la varianza associata alla durata del verde del semaforo B.
Bisogna ricorrere alla legge di Erlang modulata: supponiamo che X sia la somma di n=10 v.a.
B λ λ
(i=1...10), tutte distribuite con la stessa legge esponenziale di parametro ’=n =4
continue X i B
-1
min .
Così facendo si ha che 1
= = ⋅ =
E
[ X ] nE
[ X ] 10 2
.
5 min
B i −
1
4 min 2
E X VAR X espon
[ ] [ | .] 6
.
25
= = = =
B B
VAR X Erlang n
[ | ] 0
.
625
B 2 n 10
n
pertanto la media è rimasta la stessa, mentre la varianza di X si è ridotta di un fattore 10.
B
3
ESERCIZIO n° 2
In una filiale di un importante istituto di credito ci sono due cassieri che effettuano, ognuno al
proprio sportello, le varie operazioni bancarie richieste dagli utenti. Le richieste vengono generate
da un gruppo di 100 utenti e ci sono due file distinte, una per ogni sportello. I cassieri riescono ad
effettuare, mediamente, ogni operazione in 35 secondi. Da un monitoraggio dell’affluenza si è
calcolato che, in media, arrivano ad ogni fila 3 clienti ogni 2 minuti.
1. Giustificare l’adozione di un modello poissoniano per gli arrivi degli utenti.
2. Calcolare la probabilità che un utente debba attendere prima di essere servito.
3. Calcolare il tempo medio speso in coda da un generico utente ed il numero di persone che,
mediamente, stanno in coda (su un singolo sportello).
Ad un certo punto il direttore della filiale decide di riorganizzare il servizio con una sola fila
d’attesa (senza alcun limite di lunghezza) per entrambi gli sportelli. In questo caso, quindi,
calcolare:
4. La probabilità che un utente debba attendere prima di essere servito.
5. Il tempo medio speso in coda da un generico utente ed il numero di persone che,
mediamente, stanno in coda.
Il tempo medio speso in banca da un generico utente.
6.
Il direttore decide ad un certo punto di eliminare completamente la coda e pertanto di rigettare i
clienti che non possono essere serviti immediatamente al loro arrivo; con queste sue nuove
disposizioni, calcolare:
7. La probabilità che un cliente entri in banca e venga subito servito.
8. La probabilità che un cliente entri in banca ed esca subito, poiché trova già i due cassieri
occupati. 4
SOLUZIONE
1. Giustificare l’adozione di un modello poissoniano per gli arrivi degli utenti.
Possiamo supporre che il processo degli arrivi sia un processo di Poisson in quanto risulta
−
λ 1
1 . 5 min
= ⋅ = ⋅ =
p t 2 min 0 . 03
K 100
dove =
K 100
=
t 2 min
−1
E
[ N (
t )] 3
λ
= = = 1
. 5 min
t 2 min
L’adozione del modello poissoniano è giustificata proprio dal valore piccolo di p.
Inoltre, per quanto riguarda i servizi, disponendo solo del valore medio della loro durata,
non possiamo che utilizzare la legge esponenziale, essendo l’unica distribuzione che è
completamente definita dal solo valore medio.
Concludendo, il sistema in questione può essere modellato con due stazioni di servizio,
identiche e separate, di tipo M/M/1;
λ -1 -1
il tasso degli arrivi è =1.5 min = 0.025 sec -1 -1
µ
mentre il tasso dei servizi è =1/(35 sec)=1.71 min = 0.029 sec .
2. Calcolare la probabilità che un utente, arrivato in banca, debba attendere prima di essere
servito.
Nel nostro caso, dai dati forniti nel testo dell’esercizio, risulta:
− 1
λ = 1 . 5 min −
1
µ = 1 . 71 min
λ 1 .
5
ρ = = = 0 .
87
µ 1 . 71 ρ ρ i
= − =
P (
1 ) , i 0
,
1
, 2
,...
Le probabilità stazionarie degli stati sono: i
e la probabilità d’attesa (PB) è:
( M / M / 1
) ρ ρ
= − = − − = =
PB 1 P 1 (
1 ) 0 . 87
0
Allo stesso risultato si perviene con questo procedimento alternativo:
la distribuzione del tempo di attesa in coda è
µ ρ
ρ − −
= − ⋅ (
1 ) t
F (
t ) 1 e
W
quindi, sostituendo i valori e calcolando F (t) per t=0 (attesa = 0 prima del servizio) si ha:
W − ⋅ − ⋅
1 .
71 (
1 0 .
87 ) 0
= > = − = − − ⋅ =
PB Pr( attesa 0
) 1 F ( 0 ) 1 1 0 .
87 e 0
. 87
W 5
3. Calcolare il tempo medio speso in co
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