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Analisi probabilistica e teoria delle code - esercizi

Esercizi di Analisi probabilistica e teoria delle code per l'esame del professor Legato. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il calcolo della probabilità, l'introduzione di un modello alternativo a quello esponenziale, le leggi esponenziali, le funzioni di distribuzione e di densità.

Esame di Analisi probabilistica e teoria delle code docente Prof. P. Legato

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SOLUZIONE

1. Giustificare l’adozione di un modello poissoniano per gli arrivi degli utenti.

Possiamo supporre che il processo degli arrivi sia un processo di Poisson in quanto risulta

λ 1

1 . 5 min

= ⋅ = ⋅ =

p t 2 min 0 . 03

K 100

dove =

 K 100

 =

t 2 min

 −1

E

[ N (

t )] 3

λ

 = = = 1

. 5 min

 t 2 min

L’adozione del modello poissoniano è giustificata proprio dal valore piccolo di p.

Inoltre, per quanto riguarda i servizi, disponendo solo del valore medio della loro durata,

non possiamo che utilizzare la legge esponenziale, essendo l’unica distribuzione che è

completamente definita dal solo valore medio.

Concludendo, il sistema in questione può essere modellato con due stazioni di servizio,

identiche e separate, di tipo M/M/1;

λ -1 -1

il tasso degli arrivi è =1.5 min = 0.025 sec -1 -1

µ

mentre il tasso dei servizi è =1/(35 sec)=1.71 min = 0.029 sec .

2. Calcolare la probabilità che un utente, arrivato in banca, debba attendere prima di essere

servito.

Nel nostro caso, dai dati forniti nel testo dell’esercizio, risulta:

− 1

λ = 1 . 5 min −

1

µ = 1 . 71 min

λ 1 .

5

ρ = = = 0 .

87

µ 1 . 71 ρ ρ i

= − =

P (

1 ) , i 0

,

1

, 2

,...

Le probabilità stazionarie degli stati sono: i

e la probabilità d’attesa (PB) è:

( M / M / 1

) ρ ρ

= − = − − = =

PB 1 P 1 (

1 ) 0 . 87

0

Allo stesso risultato si perviene con questo procedimento alternativo:

la distribuzione del tempo di attesa in coda è

µ ρ

ρ − −

= − ⋅ (

1 ) t

F (

t ) 1 e

W

quindi, sostituendo i valori e calcolando F (t) per t=0 (attesa = 0 prima del servizio) si ha:

W − ⋅ − ⋅

 

1 .

71 (

1 0 .

87 ) 0

= > = − = − − ⋅ =

 

PB Pr( attesa 0

) 1 F ( 0 ) 1 1 0 .

87 e 0

. 87

 

W 5

3. Calcolare il tempo medio speso in coda da un generico utente ed il numero di persone che,

mediamente, stanno in coda (su un singolo sportello).

Il tempo medio speso in coda da un generico utente è

ρ

= =

E [

W ] 3 . 91 min

µ ρ

(

1 )

Il numero di persone che mediamente stanno in coda è

2

ρ

= =

E [ L ] 5 . 82

ρ

1

Ad un certo punto il direttore della filiale decide di riorganizzare il servizio con una sola fila

d’attesa (senza alcun limite di lunghezza) per entrambi gli sportelli. In questo caso, quindi,

calcolare:

4. La probabilità che un utente, arrivato in banca, debba attendere prima di essere servito.

Quando entrambi gli sportelli “condividono” la stessa fila, il sistema diventa modellabile

come una sola stazione M/M/2; i parametri sono quindi:

=

m 2 −

1

µ = 1 .

71 min − −

1 1

λ = ⋅ =

2 1 .

5 min 3 min

λ

ρ = = 0 .

87

µ

2

Si noti che il nuovo tasso degli arrivi è il doppio di quello precedente poiché, in questo caso,

i due flussi poissoniani (che prima andavano su 2 file) ora confluiscono su una sola.

In tal caso la probabilità di attesa è:

( )

1 1

ρ

M M m

( / / 2 ) = ρ

PB m P (con m=2 e =0.87)

0

ρ

m

! 1

dove − 1

 

m 1 ( ) ( )

1 1 1

∑ ρ ρ

i m

= +

 

P m m

0 ρ

 

i

! m

! 1

 

= 0

i

Da qui: −

1

 

2

ρ ρ

( 2 ) 1 1

 

ρ

= + + = =

P 1 2 0

.

069

0  

ρ ρ

− +

2

! 1 1

 

e quindi: ( )

1 1

( M / M / 2

) 2

= ⋅ ⋅ =

PB 2 0

.

87 0

.

069 0

.

80

2 1 0

.

87

Il tempo medio speso in coda da un generico utente ed il numero di persone che,

5. mediamente, stanno in coda. 6

Il tempo medio che un utente sta in coda è E[W], mentre il numero di persone che

mediamente stanno in coda è E[L], calcolati come segue:

 −

 

m 1

[ ] ∑

 

[ ] [ ]

E S

  

= + −

E W E L 1 P

n

  

m

  

=

 

n 0

 [ ]

 1

= =

 E S 0 . 58 min

µ

 m

λ ρ

 

[ ] 1

  

= =

E L P 0 .

71

0

 

 µ ρ

m

! 1

 

Calcoliamo quindi E[W]:

[ ]

[ ] 0 . 58

= + − − =

E W 0 . 71 1 P P 0 . 44 min

0 1

2 λ

 

1

= = =

 

P P ... 0

.

12

1 0

 

µ

dove P è stato calcolato precedentemente e 1

!  

0

6. Il tempo medio speso in banca da un generico utente.

Il tempo medio E[D] speso in banca dal generico utente è il tempo medio speso in coda + il

tempo medio di erogazione del servizio, quindi

[ ] [ ] 1

µ

= + =

E D E W 1 .

02 min

Il direttore decide ad un certo punto di eliminare completamente la coda e pertanto di rigettare i

clienti che non possono essere serviti immediatamente al loro arrivo; con queste sue nuove

disposizioni, calcolare:

7. La probabilità che un cliente entri in banca e venga subito servito.

Un cliente sarà servito quando al suo arrivo troverà al massimo un cassiere occupato,

pertanto la probabilità di questo evento è:

= + = + =

P P P 0

. 34 0

. 30 0

.

64

0 1

dove i

λ

 

1  

 

µ

i

!  

=

P

i m

∑ i

λ

 

1  

 

µ

i

!  

=

i 0 7


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flaviael

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Calabria - Unical
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi probabilistica e teoria delle code e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Calabria - Unical o del prof Legato Pasquale.

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