Esercitazioni di Automatica

Se il guadagno proporzionale K varia, il diagramma di modulo trasla in direzione verticale (si alza per valori maggiori e si

abbassa per valori inferiori).

Il diagramma di fase non cambia per valori positivi si K.

regolare:

Condizioni generale quando il sistema dinamico è

In condizioni critiche per la stabilità (quando sto attraversando con i rami l’asse immaginario), il diagramma di Bode ha

modulo 0dB quando al fase vale -π.

Vogliamo che la fase, ai fini della stabilità, sia più grande di -π quando il modulo vale 0dB, e che quando la fase vale -π il

modulo sia sotto 0dB. Abbiamo una funzione di trasferimento G(s) in catena chiusa

con controllore di guadagno K. Quale deve essere la scelta del

parametro K (controllore proporzionale) per avere certe

caratteristiche sull’uscita y noto l’ingresso r con errore e nullo?

Va a controllata la G(s), la

funzione che rappresenta il

processo reale da

controllare, per far sì che il

sistema si comporti come

desiderato.

Nel sistema a catena aperta G(s), quando chiuso l’anello di

controllo con il guadagno K, se il guadagno lo trovo in una

regione tale per cui -1/K è nella regione C allora il sistema è

stabile a ciclo chiuso. Per qualunque altro K il sistema è

instabile. Per valori bassi di K abbiamo due radici

instabili, aumentando K entro nella zona C

dove il sistema è asintoticamente stabile,

uscendo da questa zona aumentando ancora

K torno nella condizione di instabilità con

radici a parte reale positiva.

C’è un ramo che parte dall’origine, che per

qualunque valore di guadagno K (negativo)

mi origina una soluzione instabile perché a

parte reale positiva.

In K>0 ho due rami instabili per quali è

valore di K, infatti sono nella regione C

In K<0 ho che i due rami che partono dai

poli immaginari puri sono sempre stabili, il

ramo che parte da -1 è stabile finché non

arriva all’origine degli assi, dopo di che

entra nel,a zona A di instabilità. Quindi al

variare di K (negativo) tra -1 e 0 è stabile e

poi diminuisce andando verso -inf e diventa

instabile.

Il sistema in catena chiusa per K<0 è sempre instabile,

All’inizio il sistema è instabile perché per perché il ramo che parte da 10 è sempre instabile per

piccoli valori di K ci sono due rami a parte qualunque valore di K (zona C).

della è positiva (zona A), ma aumentando K

entriamo nella regione stabile B. Traccio il diagramma

reale e vado a vedere:

• nel punto in cui il

sistema dinamico

vale 0dB quanto

vale la fase

• nel punto in cui la

fase vale -π quanto

vale il modulo

Dal diagramma di fase osservo che il margine di fase è negativo quindi il sistema è instabile.

Aumento il guadagno per essere nella condizione di stabilità: il diagramma di fase resta invariato mentre il diagramma

di modulo si alza in modo che l’asse a 0dB intersechi il grafico nel punto in cui il margine di fase diventa positivo. Così

arrivo a avere un margine di guadagno sopra al nuovo asse a 0dB quindi il sistema è instabile.

All’aumentare del guadagno, tutti i rami sono stabili

Il margine di fase lo leggo quando taglio l’asse a 0dB e

è più piccolo di π/4 (che avrei avuto in ω=2). Il sistema

è stabile. Il margine di guadagno è infinito perché non

arrivo mai a -π, il grafico reale si trova sempre sopra, si

avvicina solo asintoticamnte.

Un controllore proporzionale non mi basta, posso quindi rallentare il sistema o accelerare il sistema.

Dobbiamo aggiungere un regolatore, cioè un filtro bassa basso per rallentare il sistema o un filtro passa alto per

accelerare il sistema. Nel punto di

taglio la fase

vale -π/2

Il controllore è composto da uno zero per

cancellare il polo in ω=2 e un polo una decade

dopo il munto di taglio per non alterare la fase

Se non aumento troppo il guadagno, questo

sistema potrebbe essere stabile perché il luogo

delle radici al di sotto del guadagno critico è

stabile. Ma non posso lavorare sull’asse

immaginario perché avrei un’uscita oscillante con

overshoot del 100% (ξ=0).

Per verificare la specifica devo avere ξ>ξ*. Devo

scegliere un guadagno K tale che il luogo sarà

sotto le semirette.

Dovrei chiedere tempi di assestamento più lenti

per rispettare il luogo delle radici.

Con il guadagno puramente proporzionale non

è possibile verificare le specifiche.

Posso scegliere un modello a ciclo chiuso

con due poli immaginari ( tra -10/3 e -3),

oppure prendo un sistema con poli reali. Il

guadagno è più grande se ho la

componente immaginaria.

Per ogni K positivo avrò Per Kev negativo si potrebbe avere una regione di stabilità a ciclo chiuso che è quella

sempre un ramo instabile in cui il guadagno fa sì che il sistema arrivi a scontrarsi con il guadagno critico. Su

Bode il guadagno è positivo e sul luogo delle radici il guadagno è negativo, perche le

due forme hanno un segno contrapposto.

Il punto critico che trovo è quello che avrei quando il guadagno su Bode era tale da far tagliare l’asse a 0dB quando la

fase vale -π.

Se è presente uno zero a parte reale positiva non posso

tagliare mai nell’asse a 0dB con la regola del controllore

per valori di frequenza superiori alla sua frequenza.

Se il problema richiede una specifica più veloce di quello che permette il sistema per come è strutturato allora non è

possibile risolvere il problema.

Attenuo il sistema di 60dB in ω=1/10 senza alterate la fase. Il polo deve essere 3 decadi prima dello zero perché scende

di 20dB per ogni decade.