Esercizi Strumenti derivati

SVOLGIMENTO

Qui, essendo che la curva dei tassi spot è piatta al 5% con capitalizzazione annuale, abbiamo già il

forward swap rate implicito con capitalizzazione pari alla frequenza dei pagamenti dello swap, dunque

non è necessario convertirlo.

Si ha dunque che:

s = 5% ; s = 5% ; L= $10 mln ; σ=20% ; n=3 anni ; T= 4 anni ; m=1

0 k

Per calcolare il prezzo della call swaption (in cui il tasso fisso è pagato ed il tasso variabile libor è

ricevuto), a questo ci serve conoscere solo l’Annuity.

Per i DF dell’Annuity possiamo scontare co n il tasso spot del 5% nel discreto, ma se siamo più

comodi a scontare nel continuo (tanto otteniamo stesso risultato) possiamo farlo trasformando il 5%

nel continuo nel seguente modo:

Rc= m ln (1+ Rm/m) = 1 ln (1+ 0,05/1) = 0,0487

Dunque

A + + = 0,7844 + 0,7472 +

i=1m*n -r Ti i=13 -r Ti -(0,0487*5) -(0,0487*6) -(0,0487*7)

= 1/m * [ Ʃ e ] = 1/1 * [ Ʃ e ] = e e e

0,7118 =2,2404

Avendo ora anche l’Annuity possiamo calcolarci il prezzo della call swaption nel seguente

modo.

-Il prezzo della call swaption ( il prezzo della swaption se il tasso fisso è pagato ed il tasso

è pari a:

variabile libor è ricevuto)

L A [ s N(d1) - s N(d2)] = 10 mln * 2,2404 [0,05 ( 0,5792) - 0,05 (0.4207)] = $177.575

0 k

dove

d1= ln(s / s ) + (sigma^2 *T / 2) / (sigma*radiceq.T) = ln (0,05/0,05) + (0,20^2 *4 /2) /

0 k

(0,20*radiceq.4) = 0,2

N(d1) = N(0,2) = 0,5792

d2= d1 - (sigma*radiceq.T) = 0,2 - (0,20*radiceq.4) = -0,2

N(d2) = N (-0,2) = 0.4207

-Il prezzo della put swaption (

il prezzo della swaption se il tasso fisso è ricevuto ed il tasso

è pari a:

variabile libor è pagato)

L A [ s N(-d2) - s N(-d1) ] = 10 mln * 2,2404 [ 0,05 ( 0,5792) - 0,05 (0,4207)] = $177.575

k 0

dove

N (-d2) = 1 - N(d2) =1 -0.4207= 0,5792

N(-d1) = 1- N (d1) = 1- 0,5792 = 0,4207

ESERCIZIO SWAPTION CON CURVA DEI TASSI FLAT CON COMPOSIZIONE

CONTINUA (PETRELLA SLIDE )

Una modalità di esercizio frequente di swaption che può essere chiesta all’esame è la seguente: cioè

quella con una curva dei tassi spot in composizione continua (per cui risulta necessario effettuare la

trasformazione per ottenere il forward swap rate nel discreto)

Si ha una curva dei rendimenti del libor piatta al 6% annuo (significa che la curva dei tassi spot è flat

al 6% e dunque si ha un unico tasso forward implicito pari al 6%) con composizione continua (questo

implica il tasso forward implicito pari al 6% è in composizione continua ma non va bene perchè il

tasso forward nel pricing deve essere nel discreto).

Si consideri una swaption che dia al possessore il diritto di pagare il tasso fisso s pari al 6,2% in uno

k

swap a 3 anni (n) che parte da 5 anni (T, cioè la scadenza dell’opzione).

La volatilità del tasso forward è del 20% (σ) ed i pagamenti dello swap sono effettuati semestralmente

(m=2), e il nozionale è di $100 mln .

Qual è il prezzo della call swaption (in cui si riceve s e si paga s ) con tale curva flat ? Qual è il

0 k

)

prezzo della put swaption (in cui si riceve s e si paga s con tale curva flat?

k 0

SVOLGIMENTO

Il tasso forward implicito s in capitalizzazione continua è pari al 6%

0

Il tasso forward implicito s (lo swap rate forward) in capitalizzazione discreta composto

0

semestralmente (trasformiamo in un tasso composto semestralmente perchè i pagamenti dello swap

sono semestrali) è pari a:

Rc/m 0,06/2

Rm = m (e - 1) = 2 ( e -1 ) = 0,0609 = 6,09% = s

0

L’Annuity factor è invece pari alla sommatoria dei discount factor che va da i=1 a m*n (3*2 cioè 6,

perchè 6 sono i pagamenti cioè i flussi di cassa da attualizzare) ponderati per la frequenza dei

pagamenti 1/m (1/2) .

In questo caso possiamo utilizzare il tasso continuo spot del 6% (n.b. dico spot perchè è il tasso che

parte da 0 e va ad una data futura quindi è quello a cui facciamo riferimento per attualizzare da una

generica data Ti a 0 ) per attualizzare perchè attualizziamo nel continuo (che ci dà lo stesso risultato

dell’attualizzazione nel discreto). -(0,06 * 6) - (0,06 * 6,5) -(0,06 * 7)

+ e + e + e +

i=1m*n -r Ti i=16 -r Ti -(0,06 * 5,5)

A= 1/m * [ Ʃ e ] = 1/2 * [ Ʃ e ] = 1/2 [ e

-(0,06*7,5) -(0,06*8)

e + e ] = ½ [ 0,7196 + 0,6984 + 0,6778 + 0,6578 +0,6385 + 0,6188] = 2,004

-Dunque avendo ora sia il forward swap rate che l’annuity factor possiamo ricavarci il prezzo

della call swaption (in cui ricevo s e pago s ) nel seguente modo:

0 k

s s

N (d1) - N (d2)] = 100 mln * 2,004 [ 0,0609 N (d1) - 0,062 N (d2) ] = 100 mln *

L*A[ 0 k

2,004 [ 0,0609 (0,5728) - 0,062 (0,3960) ] = $ 2,07 mln

dove

d1= [ ln (s / s ) + sigma^2 T/2] / (sigma*radiceq.T) = [ln (0,0609/0,062) + 0,20^2 * 5 / 2] /

0 k

(0,20*radice.5) = 0,1836

N(d1) = N (0,18) + 0,36 [ N (0,19) - N(0,18)] = 0,5714 + 0,36 [ 0,5753 - 0,5714 ] = 0,5728

d2= d1 - (sigma*radiceq.T) = 0,1836 - (0,20*radiceq.5) = -0,2636

N(d2) = N (-0,26) - 0,36 [ N (-0,26) - N(-0,27)] = 0.3974 - 0,36 [ 0.3974 - 0.3936 ] = 0,3960

-D’altra parte abbiamo che il prezzo della put swaption (in cui ricevo s e pago s ) è:

k 0

s s

N (-d2) - N (-d1)] = 100 mln * 2,004 [ 0,062 N (-d2) - 0,0609 N (-d1) ] = 100 *

L*A[ k 0

2,004 [ 0,062 (0,604) - 0,0609 (0,4272) ] = $ 2,29 mln

dove

N(-d2) = 1-N(d2) = 1- 0,3960= 0,604

N(-d1) = 1-N(d1) = 1 -0,5728= 0,4272

→ N.B è chiaro che la call swaption costa di meno della put swaption perchè la call swaption è OTM

(pago 0,062 e ricevo 0,0609), mente la put swaption è ITM (pago 0,0609 e ricevo 0,062).

ESERCIZIO SWAPTION PROTOTIPO ESAME - ANSELMI TUTORIAL 5

In particolare la modalità di esercizio frequente di swaption che può essere chiesta all’esame è la

seguente, ovvero sempre con una curva con composizione continua, ma con queste 5 richieste (le 2

finali teoriche):

1)Si ha una curva dei rendimenti del libor piatta al 6% annuo con composizione continua.

Si consideri una swaption che dia al possessore il diritto di pagare il tasso fisso s pari al 6,2% in uno

k

swap a 3 anni (n) che parte da 1 anno (T, cioè la scadenza dell’opzione).

La volatilità del tasso forward è del 20% (σ) ed i pagamenti dello swap sono effettuati annualmente

(m=1), e il nozionale è di $100 mln .

Qual è il prezzo della call swaption con tale curva flat?

2) Ora, supponendo di essere in un mondo in cui la curva non è più flat e dunque non si abbia più un

tasso spot del 6% per ogni anno, ma è inclinata positivamente (potrebbe essere anche richiesto il

caso in cui la curva non è flat ma è inclinata negativamente), sapendo che il tasso spot che va da 0 a

1 anno,a 2 anni, a 3 anni, a 4 anni è rispettivamente del 6%,7%,8%,9%.

Qual è il tasso forward equivalente nel mondo non flat S0 ?

NF

3) Calcolato il tasso forward equivalente nel mondo non flat S0 con la formula del principal based

NF

method , qual è il prezzo della call swaption con tale curva inclinata positivamente?

4) Com’è l’Annuity del mondo non flat comparata con quella del mondo flat? Come impatta ciò sul

prezzo della call swaption nel mondo non flat e nel mondo flat? e sul prezzo della put swaption nel

mondo flat e non flat?

Rispetto alla curva non flat che hai appena osservato immagina ora che accada un aumento di 100

bps (1%) su tutta la curva, come cambia l’Annuity, e come il prezzo della call swaption?

5) Perché una swaption può essere intesa come un tipo di bond option?

SVOLGIMENTO

1-2-3) σ = 20% ; T=1 anno ; m=1 ; N=3 anni ; L= 100 mln

sk= 6,2 % ;

Dunque avremo, confrontando i discount factor del mondo flat e del mondo non flat che:

CURVA FLAT CURVA NON FLAT

PAGAMENTO ANNO tassi spot D.F. tassi spot D.F

\ (nessun 1 6% 0,9419 6% 0,9419

pagamento)

1° PAGAMENTO 2 6% 0,8872 7% 0,8697

2°PAGAMENTO 3 6% 0,8357 8% 0,7872

3° PAGAMENTO 4 6% 0,7872 9% 0,6984

PER IL MONDO FLAT: )

-L’ Annuity del mondo flat (A pari alla sommatoria dei discount factor relativi ai pagamenti (quindi il

F ), ovvero:

primo discount factor lo escludiamo

A i=1m*n -r Ti i=13 -r Ti

= 1/m * [ Ʃ e ] = 1/1 * [ Ʃ e ] = 0,8872 + 8357 + 0,7872 =2.509

F ( )

-Il tasso forward implicito del mondo flat S0 in capitalizzazione continua è pari al 6%

F

Il tasso forward implicito S0 in capitalizzazione discreta composto annualmente (trasformiamo in un

F

tasso composto annualmente perchè i pagamenti dello swap sono annuali) è pari a:

Rc/m 0,06

= m ( e -1) = 1 (e - 1)= 0,0618

S0

F

Dunque il prezzo della call swaption nel mondo flat sarà pari a:

N(d1) - SK N(d2)] = 100 mln * 2,509 [0,0618 (0,5346) - 0,062 (0,4549)] = $ 1,22

L A [ S0

F F

mln

dove

d1= [ ln( / SK) + sigma^2T/2 ] / (sigma*radiceq.T) = [ln(0,0618/ 0,062) + 0,20^2 *1 /2] /

S0

F

(0,20*radiceq.1) = 0,0868

N(d1) = N (0,08) + 0,68 [ N(0,09) - N(0,08)] = 0,5319 + 0,68 [ 0,5359 -0,5319] = 0,5346

d2= d1 - (sigma*radiceq.T) = 0,0869 - (0,20*radiceq.1) = 0,0869 - 0,20 = -0,1132

N(d2) = N(-0,11) - 0,32 [ N(-0,11) - N(-0,12)] = 0.4562 - 0,32 [ 0.4562 - 0.4522] = 0,4549

PER IL MONDO NON FLAT:

-L’Annuity del mondo non flat è pari alla sommatoria dei discount factor relativi ai pagamenti (quindi il

primo discount factor lo escludiamo: ci servirà solo per il calcolo del forward swap rate equivalente del

), ovvero

mondo non flat : S0

NF

= i=1m*n -r Ti i=13 -r Ti

A 1/m * [ Ʃ e ] = 1/1 * [ Ʃ e ] = 0,8697 + 0,7872 + 0,6984 = 2,354

NF

-Possiamo ottenere il forward swap rate equivalente del mondo non flat attraverso la formula del

Principal Based Method (il forward swap rate che eguaglia le due gambe).

Faremo dunque la differenza tra il discount factor di fine opzione/inizio swap - il discount factor di fine

swap il tutto fratto l’Annuity:

= (DF - DF ) / = (

S0 A 0,9419 - 0,6984) / 2,354 = 0,1037

1 4

NF NF

nb: il forward swap rate che otteniamo con il Principal Based Method non c’è bisogno di convertirlo in

annuale (va bene già così).

Dunque il prezzo della call swaption nel mondo non flat sarà pari a:

N(d1) - SK N(d2)] = 100 mln * 2,354 [0,1037 (0,9962) - 0,062 (0,9931)] = 9,82

L A [ S0

NF NF

mln

dove

d1= [ ln( / SK) + sigma^2T/2 ] / (sigma*radiceq.T) = [ln(0,1037/ 0,062) + 0,20^2 *1 /2] /

S0

NF

(0,20*radiceq.1) = 2,6721

N(d1) = N (2,67) + 0,21 [ N(2,68) - N(2,67)] = 0,9962 + 0,21 [ 0,9963 -0,9962] =0,9962

d2= d1 - (sigma*radiceq.T) = 2,6721 - (0,20*radiceq.1) = 2,6721 - 0,20 = 2,4721

N(d2