Gestione della Qualità: Esercizi

Stem & Leaf

5 | 8 9 2 6 | 3 9 4 3 4 7 | 2 4 1 8 7 9 3 2 3 8 | 0 5 3 0 8 5 9 5 9 | 1 2

4 13 11 8 3

Box Plot

5 | 1 2 8 9 6 | 0 2 3 3 4 4 4 5 7 8 9 7 | 0 2 3 4 5 5 6 8 9 8 | 1 2 3 3 5 6 7 8 9 | 1 2 2

Q₀ = tra 0 e 1 = 5

Q₁ = tra 10 e 11 = 64

Q₂ = tra 20 e 21 = 72.5

Q₃ = tra 30 e 31 = 81.5

Range = Q₃ - Q₁ = 17.5

FINE

12

0,5

0,8

0,3

0,4

0,2

0,1

0,5

0,7

1,3

1,1

0,1

0,3

0,4

0,2

0,1

0,5

0,5

0,7

0,8

0,9

0,9

1

1,1

1,3

Q₁ = 120,7 + 120,3

2= 170,35

Q₂ = 120,6

Q₃ = 120,9

0,7

1,3

1,3

FINE

Tratta A:

• 1 → 5
• 2 → 5
• 5 → 6
• 3 → 9
• 4 → 2

foss.

• 0,07
• 0,10
• 0,13
• 0,09

R. rel.:

• 47
• 63
• 76
• 85
• 94
• 100

32

Tratta B

• 2 → 12
• 1 → 7
• 4 → 4
• 5 → 3
• 3 → 2
• 6 → 2

foss.

• 12/30=0,4 = 40%.
• 23%.
• 13%
• 10%
• 7%
• 7%

K accumulato

• 40%.
• 63%.
• 76%.
• 86%.
• 93%.
• 100%

Tratta C

• 1 → 8
• 5 → 8
• 2 → 5
• 4 → 3
• 6 → 3
• 3 → 1

foss.

• 29%
• 29%
• 18%
• 16%
• 16%
• 7%

K accumulato

• 23%.
• 58%.
• 76%.
• 86%.
• 98%.

FINE

ESERCIZI CALCOLO DIFETTOSITA'

ESERCIZIO 1

La ditta Balanzone S.r.l. produce Aceto Balsamico Tradizionale di Modena DOP invecchiato 12 anni in bottiglie da 100 ml, che vende a 40 € l'una.

L’azienda non può permettersi lamentele da parte dei clienti, perciò ha sempre avuto come obiettivo l’immissione sul mercato di bottiglie con un contenuto minimo di 100 ml.

Tuttavia, data la preziosità del prodotto, il responsabile controllo qualità è interessato a capire qual è la probabilità di produrre una bottiglia con un contenuto superiore a 105 ml.

A tal fine, esegue un’indagine su un campione di 90 bottiglie, da cui emergono i seguenti dati:

• 100 ml: 44
• 102 ml: 16
• 104 ml: 14
• 106 ml: 8
• 108 ml: 8

Aiutate il responsabile controllo qualità a calcolare:

a) la media e la deviazione standard campionarie del campione esaminato;

b) la probabilità di produrre una bottiglia di aceto balsamico con un contenuto > 105 ml, con un livello di confidenza del 95%.

Soluzione:

a) La media del campione è data da:

_x = 1/n ∑ x_i * f(i) = 1/90 * (100 * 44 + 102 * 16 + 104 * 14 + 106 * 8 + 108 * 8) = 102,22 ml

La deviazione standard del campione è data da:

S = √{1/(n-1) ∑ (x_i - _x)² * f(i)}

S = √{1/89 * ((100 - 102,22)² * 44 + (102 - 102,22)² * 16 + (104 - 102,22)² * 14 + (106 - 102,22)² * 8 + (108 - 102,22)² * 8)}

S ≈ √{643,56/89} ≈ √7,23 ≈ 2,69 ml

b) La probabilità che il contenuto di una bottiglia sia > 105 ml è:

P{x > 105} = P{Z > (105 - _x)/S} ≈ P{Z > (105 - 102,22)/2,69} = 1 - 0,85 = 15%

Per una popolazione bernoulliana, l’approssimazione alla distribuzione normale risulta valida se nπ > 5 e n(1 - π) > 5. Nel nostro caso avremo:

nπ = 90 * 0,15 = 13,5 > 5 → OK! n(1 - π) = 90 * 0,85 = 76,5 > 5 → OK!

La forchetta entro la quale risulta compresa la proporzione di bottiglie con contenuto > 105 ml è:

π = 0,15 ± 1,96 √[0,15(1 - 0,15)/90] ≅ 0,15 ± 0,038 ≅ {0,15 - 0,07 = 8% ; 0,15 + 0,07 = 22%}

30 rnd. ± 1 nel

20 bottiglie TP=2

CAPRI

• 31,8 2
• 32 0
• 32,2 4
• 31,5 4
• 31,8 2

ischia

• 31,5 7
• 31,9 2
• 32,0 6
• 32,2 2
• 32,5 3

x̄ = 32,2 K = 2,152

S = 0,3

TN = x̄ ± K·S = 32,2 ± 0,965

2 K·S = 1,89

TP = 1,154

CP_k = 1,02

P{x < x̄} = P {Z < 32,2-32,2/ 0,3 } =

P{x > 33 } = P{Z > 33-32,2/ 0,3 } = 1-0,995983

= 0,347%

difettosità = 0,347% = 3470 ppm

x̄ = 31,8 K = 2,152

S = 0,36

TN = x̄ + K·S = 31,8 + 0,78

2 K·S = 1,56

TP = 1,2

P{x < x̄} = P {Z < 31-31,8/ 0,36 } =

1 P{Z < 2,5} = 9,921%

P{x > 33} = P {Z > 33-31,8/ 0,36 }

= 0,087%

difettosità = 0,71% = 7100 ppm

ESERCIZIO "Carte di controllo per variabili"

Un impianto chimico produce resine a scambio ionico per la depurazione delle acque. Il processo prevede l'attivazione della reazione chimica a circa 50°C. Ogni giorno, nel reattore dell'impianto, vengono sintetizzate 50 cariche di resina. Costruire la Carta di Controllo per variabili (media e range) rispetto a una tolleranza di progetto di 50°C +/- 5°C:

Misura della temperatura di attivazione di un campione di 4 cariche per giorno

• Lunedì: 52, 48, 53, 50
• Martedì: 52, 53, 49, 50
• Mercoledì: 48, 49, 47, 51
• Giovedì: 51, 53, 50, 49
• Venerdì: 51, 50, 50, 52

Per tenere sotto controllo il processo di produzione della resina, l'azienda decide di riportare giornalmente la misura della temperatura di attivazione di 3 cariche campionate. Le rilevazioni dei primi 8 giorni sono le seguenti:

Popolare la carta di controllo della media e del range e discuterne i risultati.

Prof. Alberto Bettanti

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Gestione della Qualità – Prof. Bettanti

Anche dal calcolo del C_pm il fornitore preferibile risulta Nocciola. N.B.: C_pk è sempre ≈ PCR (C_pk = PCR solo se il processo è centrato).

Calcolo difettosità Anacleto:

P{x < LIS} = P{x < 26,6} = P{z < 26,6 - x_A / S_A} = P{z < 26,6 - 27,05 / 0,187} = P{z < -2,41} =

• P{z > 2,41} = 1 - P{z ≤ 2,41} ≅ 1 - 0,992 = 0,008

P{x > LSS} = P{x > 33} = P{z > 27,6 - x_A / S_A} = P{z > 27,6 - 27,05 / 0,187} = P{z > 2,94} =

• 1 - P{z ≤ 2,94} ≅ 1 - 0,998 = 0,002

Difettosità Anacleto: 0,008 + 0,002 = 0,01 = 10 per mille = 10000 p.p.m.

Calcolo difettosità Nocciola:

P{x < LIS} = P{x < 26,6} = P{z < 26,6 - x_N / S_N} = P{z < 26,6 - 27,06 / 0,171} = P{z < -2,68} =

• P{z > 2,68} = 1 - P{z ≤ 2,68} ≅ 1 - 0,996 = 0,004

P{x > LSS} = P{x > 33} = P{z > 27,6 - x_N / S_N} = P{z > 27,6 - 27,06 / 0,171} = P{z > 3,15} =

• 1 - P{z ≤ 3,15} ≅ 1 - 0,999 = 0,001

Difettosità Nocciola: 0,004 + 0,001 = 0,01 = 5 per mille = 5000 p.p.m.

In questo caso, tutti gli indici calcolati indicano come fornitore preferibile Nocciola.

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