Esercizi per esame di Economia

Problema del rapporto prezzi tra ostriche e legna

Lx = 100 chili di legna (31)

Ox = 10 ostriche (32)

Lx = 10 chili di legna (33)

Supponendo che scambino in base all'Edgeworth box quale sarà il rapporto (p_O/p_L) tra i prezzi di ostriche e legna?

Esercizio 3.2: Aumento del prezzo della legna

Supponiamo che, nello scenario dell’esercizio precedente, il Doge di Venezia voglia far salire il prezzo della legna. Quale di queste azioni gli consigliereste?

• Regalare ostriche al Marchese Si No
• Regalare legna al Conte Si No
• Regalare ostriche al Conte Si No
• Togliere ostriche al Conte per darle al Marchese Si No
• Togliere legna al Marchese per darla al Conte Si No
• Togliere ostriche al Marchese per darle al Conte Si No

Traccia per la soluzione. Se usiamo la 25, che nel nostro caso diventa:

L_OL_OO_Op = 0,1x^- + 0,9x^- (34)

L_LO_LL_Lp = 0,9x^- + 0,1x^- (35)

E sostituendo i valori si trova: p_L = 9.1 (36)

p_O = 91 (37)

e quindi p_O/p_L = 10. Quanto al secondo esercizio sia > 0 la quantità regalata o trasferita.

Se per esempio il Doge toglie legna al Marchese per darle al Conte i nuovi prezzi, p^- saranno:

O_Op^- = 0,1x^- + 0,9x^- = p (38)

L_Lp^- = 0,9(x^- + ε) + 0,1(x^-) = p + 0,8 (39)

e quindi il prezzo relativo della legna P_L/P_O diminuirà. Gli altri casi si studiano in maniera analoga.

Teoria della produzione

Teoria

Una azienda compra n risorse o materie prime sul mercato in quantità x₁, ..., x_i, ..., x_n a prezzo q e le trasforma in m beni y₁, ..., y_j, ..., y_m che rivende a prezzi p_j. Se per produrre il bene j impiega x risorse la quantità prodotta sarà data dalla funzione y_j = f(x_1,j, ..., x_n,j). L’azienda vuole massimizzare gli utili, dovrà quindi risolvere il problema:

max Σ (p_j f(x_1,j, ..., x_n,j) - Σ q_i x_i,j) (40)

Se può farsi anticipare quantità infinite di denaro. Se invece può investire in risorse al massimo m il problema diventa:

max Σ (p_j f(x_1,j, ..., x_n,j) - Σ q_i x_i,j) (41) P ≤ m Σ q_i x_i,j

Esercizi che potreste trovare in un esame

Esercizio 4.1: Produzione di Zio Paperone

Le cantine di Zio Paperone producono due tipi di vino: il Metawine, etanolo industriale con tracce di uva, e Paprolo, con uva leggermente annacquata da etanolo. Se x_M (x_P) e y_M (y_P) sono rispettivamente l’etanolo, x, e l’uva, y, usati per produrre Metawine, m (e Paprolo, p) e le funzioni di produzione di Metawine e Paprolo sono rispettivamente:

M(x, y) = 10lnx + lny (42)

P(x, y) = lnx + 3lny (43)

Se i prezzi di vendita di Metawine, p_M e Paprolo p_P sono:

p_M = 1 euro al litro (44)

p_P = 15 euro al litro (45)

mentre il costo delle materie prime è:

p_x = 1 euro al litro (46)

p_y = 20 euro al kilo (47)

Calcolare le quantità x_M, x_P, y_M, y_P che massimizzeranno i ricavi di Zio Paperone.

Traccia per la soluzione: Si tratta di massimizzare la funzione:

1 (10lnx + lny ) + 15 (lnx + 3lny ) - 1 (x + x ) - 20(y + y ) (48)

Un semplice calcolo con le derivate parziali dà:

x_M = 10 (49)

x_P = 15 (50)

y_M = 1/20 (51)

y_P = 9/4 (52)

Competizione a la Cournot

Monopolio

Si consideri prima il caso di un monopolista, Stanislao, il quale produce un bene, per esempio turaccioli, a un costo c e li rivende a un prezzo p. Dato il prezzo la domanda di turaccioli sarà una funzione D(p). L’obiettivo di Stanislao è quindi massimizzare gli utili:

max D(p)(p - c) (53)

oppure, se D(p) è monotona decrescente e quindi invertibile con inversa p(D), può scegliere, essendo il solo produttore, la quantità D di turaccioli da mettere sul “mercato”, sapendo che a questa corrisponderà un prezzo p(D), in modo tale da massimizzare:

max D (p(D) - c) (54)

Ovviamente i due problemi sono equivalenti. La seconda formulazione si presta facilmente alla generalizzazione al caso dell’Oligopolio, ovvero un numero limitato di produttori.

Oligopolio

Si considerino n produttori di turaccioli ciascuno dei quali, chiamiamolo i, sceglie la quantità di turaccioli da produrre e vendere, q_i i quali, messi tutti insieme sul “mercato”, creeranno un’offerta q_i, perché siano venduti sarà necessario che il prezzo p induca una domanda D(p) = q_i.

Si possono immaginare due tipi di scenario: i produttori di turaccioli decidono quanto produrre simultaneamente e indipendentemente oppure, se i produttori sono due, uno di questi, il leader, sceglie una quantità q₁ poi il secondo sceglie q₂ dato q₁, in questo caso si parla di competizione alla Stackelberg. Per semplicità, supponiamo che, se il prezzo è p, la domanda sia D(p) = A - kp, e quindi p(D) = (A - D)/k.

Quantità simultanee

Supponiamo che ogni azienda metta sul mercato la quantità q_i e che le scelte siano simultanee, senza comunicazione con le altre. Ognuna formulerà quindi una congettura sulla produzione dei concorrenti D_i(p) = q_j e troverà la q_i in funzione di D_i che massimizzerà gli utili. In formule:

max q_i(p(D_i + q_i) - c) = max q_i(A - D_i - q_i) - c (55)

Poniamo la derivata prima in q_i uguale a zero:

A - D_i - q_i - c = 0 (56)

e ricaviamo: q_i = (A - D_i - kc)/2 (57)

Si ottiene quindi un sistema di n equazioni lineari nelle n incognite q_i la cui unica soluzione è:

q_i = (A - kc)/(n + 1) (58)

e il prezzo corrispondente sarà:

p = 1/(n + 1)[(A - kc)/k] + c (59)

Si noti come, all’aumentare di n il prezzo tende al prezzo di costo.

Stackelberg

Si consideri ora il caso di una azienda, il follower, che entri nel mercato già occupato da un’altra, il leader, la quale aveva previsto il suo arrivo. Il follower osserva la quantità q_l prodotta dal leader e sceglie la propria q_f in modo da massimizzare gli utili:

max q_f(p(q_l + q_f) - c) = max q_f(A - q_l - q_f) - c (60)

Si ottiene, come sopra, q_f(q_l) in funzione di q_l:

q_f(q_l) = (A - q_l - kc)/2 (61)

Il leader, invece, sceglie q_l anticipando la reazione del follower, ossia:

max q_l(p(q_f(q_l) + q_l) - c) = max q_l((A - q_l)/2k - c/2) (62)

da cui segue che q_l = (A - kc)/2 (63)

e quindi q_f = (A - kc)/4 (64)

Esercizi che potreste trovare in un esame

Esercizio 5.1: Monopolio

Supponiamo che la domanda di turaccioli in funzione del prezzo sia data da D(p) = 50 - 2p (65) e che il costo di produzione di un turacciolo sia di 1 euro. Trovare prezzo e quantità ottimale per un monopolista che voglia massimizzare i ricavi.

Traccia per la soluzione. Basta sostituire i dati nella 53 e 54, poi massimizzare e si trova q = 24 e p = 13.

Esercizio 5.2: Oligopolio, Quantità simultanee

Supponiamo ora che ci siano due concorrenti che abbiano lo stesso costo di produzione, 1 euro. Quali saranno le quantità prodotte, q₁ e q₂ nel gioco di Cournot?

Traccia per la soluzione. Le equazioni rilevanti sono 58 e 59, sostituendo i dati si trova q₁ = q₂ = 16 e p = 9.

Esercizio 5.3: Oligopolio, Stackelberg

Supponiamo, invece, di essere nel caso di competizione alla Stackelberg, trovare la quantità q_l prodotta dal leader e quella q_f prodotta dal follower.

Traccia per la soluzione. Le equazioni rilevanti sono 63 e 64, sostituendo i dati si trova q_l = 24 e q_f = 12.

Teoria dei Giochi

Esercizi

Trovate tutti gli equilibrii di Nash in strategie pure nei seguenti giochi. Chi sa un briciolo di calcolo delle probabilità trovi anche quelli misti.

Trovare gli equilibrii in strategie pure, chi vuole anche miste, nel seguente gioco al variare di X.

Esercizi per la lode che avete trovato nell’esame

Esercizio 7.1: Analisi di mercato del villaggio di Dampaul

Il villaggio di Dampaul conta 100 abitanti, tutti ultranovantenni dediti all'alcool. Costoro hanno identica funzione di utilità data da:

U(x, y, m) = 100x² + 100y² - 2x - 4xy - 3y + m (70)

dove x è il consumo settimanale di Barolo in litri, y quello di Medoc e m indica il denaro. (Si supponga che x, y < 10.) La ditta DelPonte importa solo Barolo, a un costo c_x, di 20 euro al litro. La ditta DuPont produce solo Medoc al costo c_y di 10 euro al litro. Decidono indipendentemente quanto vino importare o produrre con il meccanismo simile a quello visto nel gioco di Cournot (Duopolio).

Ad un certo punto il Sindaco del paese, il corrottissimo Paul Chenapan, propone alla ditta Dupont di imporre una tassa sui vini italiani che farà salire il costo di importazione del Barolo a 30 euro al litro, in cambio però la Dupont dovrà nominare Direttore Generale il nipote del Sindaco, Pierre Vaurien, scelta che costerà alla ditta 30.000 euro settimanali tra stipendio e danni che il personaggio farà in azienda. Supponendo che l’amministratore delegato della Dupont sia mosso solo da sete di guadagni, dovrebbe accettare l’o↵erta?

• Si
• Indifferente
• No

Traccia per la soluzione. Se p_x e p_y sono i prezzi di Barolo e Medoc rispettivamente, usare la teoria dei consumi e la massimizzazione dell’utilità per trovare p_x(x, y) e p_y(x, y). Calcolare quindi le quantità ottimali, x e y da immettere sul mercato per massimizzare gli utili come nel gioco di Cournot. Vedere poi come variano quantità e utili al variare di c_x.

Soluzione

Seguendo il suggerimento cerchiamo le condizioni per la massimizzazione dell’utilità, che ha la forma della 5, usando la 7 troviamo:

p_x = 100 - 4x - 4y (71)

p_y = 100 - 4x - 6y (72)

Le condizioni di massimizzazione degli utili in funzione della quantità sono, rispettivamente:

max (p_x - c_x)x = (100 - 4x - 4y - c_x)x (73)

max (p_y - c_y) = (100 - 4x - 6y - c_y)y (74)

Derivando si trova:

100 - 8x - 4y - c_x = 0 (75)

100 - 4x - 12y - c_y = 0 (76)

ovvero:

100 - c_x = 8x + 4y (77)

100 - c_y = 4x + 12y (78)