Esercizi per esame di Economia

L

x = 100 chili di legna (31)

c O

x = 10 ostriche (32)

m

L

x = 10 chili di legna (33)

m

supponendo che scambino in base all Edgeworth box quale sarà il rapporto (p /p ) tra

O L

i prezzi di ostriche e legna?

12.4 23 1 91

10

Esercizio 3.2. Supponiamo che, nello scenario dell’ esercizio precedente, il Doge di Vene-

zia voglia far salire il prezzo della legna. Quale di queste azioni gli consigliereste e quale

sconsigliereste?

Regalare ostriche al Marchese Si No

Regalare legna al Conte Si No

Regalare ostriche al Conte Si No

Togliere ostriche al Conte per darle al Marchese Si No

Togliere legna al Marchese per darla al Conte Si No

Togliere ostriche al Marchese per darle al Conte Si No

Traccia per la soluzione. Se usiamo la 25, che nel nostro caso diventa:

L O L O O O

p = ↵ x̄ + ↵ x̄ = 0, 1x̄ + 0, 9x̄ (34)

L c c m m c m

O L O L L L

p = ↵ x̄ + ↵ x̄ = 0, 9x̄ + 0, 1x̄ (35)

O c c m m c m

e sostituiamo i valori si trova: p = 9.1 (36)

L

p = 91 (37)

O

e quindi p /p = 10. Quanto al secondo esercizio sia > 0 la quantità regalata o

O L

trasferita.

Se per esempio il Doge toglie legna al Marchese per darle al Conte i nuovi prezzi, p̃

saranno: O O

p̃ = 0, 1x̄ + 0, 9x̄ = p (38)

L L

c m

L L

p̃ = 0, 9(x̄ + )+ 0, 1(x̄ ) = p + 0, 8 (39)

O O

c m

e quindi il prezzo relativo della legna P /P diminuirà . Gli altri casi si studiano in

L O

maniera analoga. 8

4 Produzione

4.1 Teoria

Una azienda compra n risorse o materie prime sul mercato in quantità x , . . . , x , . . . , x

1 i n

a prezzo q e le trasforma in m beni y , . . . , y , . . . , y che rivende a prezzi p . Se per

i 1 j m j

produrre il bene j impiega x risorse la quantità prodotta sarà data dall funzione y =

i,j j

f (x , . . . , x ). L’ azienda vuole massimizzare gli utili, dovrà quindi risolvere il problema:

j 1,j n,j X X

max ( p f (x , . . . , x ) q x ) (40)

j j 1,j n,j i i,j

x i,j j i,j

se può farsi anticipare quantità infinite di denaro. Se invece puó investire in risorse al

massimo m il problema diventa: X X

max ( p f (x , . . . , x ) q x ) (41)

j j 1,j n,j i i,j

P m

q x

i i,j

i,j j i,j

4.2 Esercizi che potreste trovare in un esame

Esercizio 4.1. Le cantine di Zio Paperone producono due tipi di vino: il Metawine , eta-

nolo industriale con tracce di uva, e Paprolo , con uva leggermente annacquata da etanolo.

Se x (x ) e y (y ) sono rispettivamente l’ etanolo, x, e l’ uva, y, usati per produr-

M P M P

re Metawine, m (e Paprolo, p) e le funzione di produzione di Metawine e Paprolo sono

rispettivamente: M (x, y) = 10lnx + lny (42)

M M

P (x, y) = lnx + 3lny (43)

P P

se i prezzi di vendita di Metawine, p e Paprolo p sono

M P

p = 1euro al litro (44)

M

p = 15euro al litro (45)

P

mentre il costo delle materie prime è

p = 1euro al litro (46)

x

p = 20euro al kilo (47)

y

calcolare le quantità x , x , y , y che massimizzeranno i ricavi di Zio Paperone.

M P M P

Traccia per la soluzione. Si tratta di massimizzare la funzione:

1 (10lnx + lny ) + 15 (lnx + 3lny ) 1 (x + x ) 20(y + y ) (48)

M M P P M P M P

9

un semplice calcolo con le derivate parziali da:

x = 10 (49)

M

x = 15 (50)

P

y = 1/20 (51)

M

y = 9/4 (52)

P

5 Competizione à la Cournot

5.1 Monopolio

Si consideri prima il caso di un monopolista, Stanislao, il quale produce un bene, per

esempio turaccioli, a un costo c e li rivende a un prezzo p. Dato il prezzo la domanda di

turaccioli sarà una funzione , non necessariamente decrescente ricordate i beni di Gi↵en!,

D(p). L’ obbiettivo di Stanislao è quindi massimizzare gli utili:

max D(p)(p c) (53)

p

oppure, se D(p) e’ monotona decrescente e quindi invertibile con inversa p(D), puo’

scegliere, essendo il solo produttore, la quantità D di turaccioli da mettere sul ”mercato”

, sapendo che a questa corrisponderà un prezzo p(D), in modo tale da massimizzare:

max D (p(D) c) (54)

D

ovviamente i due problemi sono equivalenti.

La seconda formulazione si presta facilmente alla generalizzazione al caso dell’ Oligo-

polio, ovvero un numero limitato di produttori.

5.2 Oligopolio

Si considerino n produttori di turaccioli ciascuno dei quali, chiamiamolo i, sceglie la quan-

tità di turaccioli da produrre e vendere , q i quali , messi tutti insieme sul ”mercato”,

i

P

creeranno una o↵erta q , perché siano venduti sarà necessario che il prezzo p induca

i

P i

una domanda D(p) = q .

i

i

Si possono immaginare due tipi di scenario: i produttori di turaccioli decidono quanto

produrre simultaneamente e indipendentemente oppure, se i produttori sono due, uno di

questi , il leader, sceglie una quantità q poi il secondo sceglie q dato il q , in questo caso

1 2 1

si parla di competizione alla Stackelberg. Per semplicità supponimo che, se il prezzo è p,

la domanda sia D(p) = A kp , e quindi p(D) = (A D)/k .

10

5.2.1 Quantità simultanee

Supponiamo che ogni azienda metta sul mercato la quantità q e che le scelte siano si-

i

multanee, senza comunicazione con le altre. Ognuna formulerà quindi una congettura

P

sulla produzione dei concorrenti D (p) = q e troverá la q in funzione di D che

i j i i

j6 = i

massimizzerà gli utili. In formule: A D q

i i

max q (p(D + q ) c) = max q ( c) (55)

i i i i k

q q

i i

poniamo la derivata prima in q uguale a zero:

i

A D q

i i c q /c = 0 (56)

i

k

e ricaviamo: q = (A D kc)/2 (57)

i i

Si ottiene quindi un sistema di n equazioni lineari nelle n incognite q la cui unica

i

soluzione è: q = (A kc)/(n + 1) (58)

i

e il prezzo corrispondente sarà:

p = 1/(n + 1)[(A kc)/k] + c (59)

Si noti come, all’ aumentare di n il prezzo tenda al prezzo di costo.

5.2.2 Stackelberg

Si consideri ora il caso di una azienda, il follower, che entri nel mercato già occupato da

un’altra , il leader, la quale aveva previsto il suo arrivo. Il follower osserva la quantità q l

prodotta dal leader e sceglie la propria qf in modo da massimizzare gli utili:

A q q

l f

max q (p(q + q ) c) = max q ( c) (60)

f f l f k

q q

f f

e ottiene, come sopra, q (q ) in funzione di q :

f l l

q (q ) = (A q kc)/2 (61)

f l l

il leader, invece, sceglie q anticipando la reazione del follower, ossia

l A ((A q kc)/2) q

l l

max q (p(q (q )+q ) c) = max q ( c) = max q ((A q )/2k c/2)

l f l l l l l

k

q q q

l l l (62)

11

da cui segue che A kc

q = (63)

l 2

e quindi A kc

q = (64)

f 4

5.3 Esercizi che potreste trovare in un esame

Esercizio 5.1 (Monopolio). Supponiamo che la domanda di turaccioli in funzione del

prezzo sia data da D(p) = 50 2p (65)

e che il costo di produzione di un turacciolo sia di 1 euro. Trovare prezzo e quantità ottimale

per un monopolista che voglia massimizzare i ricavi.

Traccia per la soluzione. Basta sostituire i dati nella 53 e 54 , poi massimizzare e si

trova q = 24 e p = 13.

Esercizio 5.2 (Oligopolio,Quantità simultanee). Supponiamo ora che ci siano due concor-

renti che abbiano lo stesso costo di produzione , 1 euro. Quali saranno le quantità prodotte,

q e q nel gioco di Cournot?

1 2

Traccia per la soluzione. Le equazioni rilevanti sono 58 e 59, sostituendo i dati si trova

q = q = 16 e p = 9.

1 2

Esercizio 5.3 (Oligopolio, Stackelberg). Supponiamo, invece, di essere nel caso di com-

petizione alla Stackelberg, trovare la quantità q prodotta dal leader e quella q prodotta dal

l f

follower.

Traccia per la soluzione. Le equazioni rilevanti sono 63 e 64, sostituendo i dati si trova

q = 24 e q = 12. .

l f

6 Teoria dei Giochi

6.1 Esercizi

Trovate tutti gli equilibrii di Nash in strategie pure nei seguenti giochi. Chi sa un briciolo

di calcolo delle probabilità trovi anche quelli misti.

a b c d

0 1

a 10; 10 0; 9 3; 9 1; 9

B C

b 9; 0 10; 10 0; 8 8; 8

B C (66)

@ A

c 9; 3 8; 0 2; 2 9; 7

d 9; 1 8; 8 7; 9 4; 4

12

L C R M

T 3, 1 0, 0 0, 4 0.75 (67)

M 0, 0 1, 3 0, 4 0.75

B 0.9, 5 0.9, 5 0, 4 0.9, 5

0 1

D E F C

B A 1, 0 0, 1 1, 0

B C (68)

@ A

B 0, 1 1, 0 1, 0

C 0, 1 0, 1 1, 1

Trovare gli equilibrii in strategie pure , chi vuole anche miste, nel seguente gioco al

variare di X. L C

T X, X 0, 0 (69)

M 0, 0 1, 1

7 Esercizi per la Lode che avete trovato nell’esame

Esercizio 7.1. Il villaggio di Dampaul conta 100 abitanti, tutti ultranovantenni dediti

all’alcool. Costoro hanno identica funzione di utilità data da:

2 2

U (x, y, m) = 100x + 100y 2x 4xy 3y + m (70)

dove x e’ il consumo settimanale di Barolo in litri, y quello di Medoc e m indica il

denaro. (Si supponga che x, y < 10.) La ditta DelPonte importa solo Barolo, a un costo

c , di 20 euro al litro. La ditta DuPont produce solo Medoc al costo c di 10 euro al litro.

x y

Decidono indipendentemente quanto vino importare o produrre con il meccanismo simile

a quello visto nel gioco di Cournot (Duopolio). Ad un certo punto il Sindaco del paese,

il corrottissimo Paul Chenapan, propone alla ditta Dupont di imporre una tassa sui vini

italiani che farà salire il costo di importazione del Barolo a 30 euro al litro, in cambio però

la Dupont dovrà nominare Direttore Generale il nipote del Sindaco, Pierre Vaurien, scelta

che costerà alla ditta 30.000 euro settimanali tra stipendio e danni che il personaggio farà

in azienda. Supponendo che l’ amministratore delegato della Dupont sia mosso solo da sete

di guadagni, dovrebbe accettare l’ o↵erta?

SI ... Indi↵erente ... NO

Traccia per la soluzione. Se p e p sono i prezzi di Barolo e Medoc rispettivamente,

x y

usare la teoria dei consumi e la massimizzazione dell’ utilità per trovare p (x, y) e p (x, y).

x y

Calcolare quindi le quantità ottimali, x e y da immettere sul mercato per massimizzare gli

utili come nel gioco di Cournot. Vedere poi, come variano quantità e utili al variare di c .

x

13

Soluzione. Seguendo il suggerimento cerchiamo le condizioni per la massimizzazione dell’

utilità , che ha la forma della 5, usando la 7 troviamo:

p = 100 4x 4y (71)

x

p = 100 4x 6y (72)

y

Le condizioni di massimizzazione degli utili in funzione della quantità sono, rispettiva-

mente: max (p c )x = (100 4x 4y c )x (73)

x x x

x

max (p c ) = (100 4x 6y c )y (74)

y y y

y

derivando si trova: 100 8x 4y c = 0 (75)

x

100 4x 12y c = 0 (76)

y

ovvero: 100 c = 8x + 4y (77)

x

100