Velocità di una goccia di pioggia

Velocità di una goccia di pioggia

L'attrito

fisica

esercizi

La caduta di un grave, quando si voglia considerare la resistenza del mezzo, cioè l’aria, è un fenomeno abbastanza complesso dovuto ad una forza di attrito F_v, che dipende dalla natura del mezzo, dalla velocità e dalla forma del corpo. In generale, per velocità subsoniche (inferiori a 340 m/s), vale l’equazione:

F_v = C₁ v + C₂ v² (1)

dove C₁ e C₂ sono delle opportune costanti. Nel caso di velocità molto piccole e per corpi sferici si utilizza la legge di Stokes:

F_v = 6 π η r v (2)

dove η è la viscosità dell’aria ed r il raggio della sfera che cade. Per velocità più elevate è necessaria la presenza del termine che dipende da v² e dunque:

F_v = 6 π η r v + (½)k ρ_a π r² v² (3)

dove k è un numero, detto coefficiente di forma, che viene determinato sperimentalmente (k ≅ 0,4 per corpi sferici) e ρ_a è la densità dell’aria.

Poiché l’errore percentuale è soltanto dell’ordine del 3% possiamo concludere che, nel caso specifico da noi considerato, è possibile trattare il problema con l’equazione approssimata:

a = g – (½) B v²

Volendo, tale equazione può essere completamente risolta con il calcolo differenziale senza dover ricorrere a metodi numerici. Per concludere la trattazione di questo problema, calcoliamo la cosi detta velocità critica v_c che si ottiene uguagliando tra loro i termini dipendenti da v che compaiono nell’equazione (3):

v_c = ^{2.6 π η r}/_{k ρa π r²} = ^{12 η}/_{k ρa r} (7)

Sostituendo nella (7) i valori numerici noti di η, k, e ρ_a otteniamo:

v_c = ^{4,33×10⁻⁴}/_r m/s (8)