Variabili aleatorie

Funzione di ripartizione e valore atteso di una variabile aleatoria

Possiamo associare la variabile aleatoria "somma dei risultati ottenuti" che associa rispettivamente i numeri 2, 3, 4, . . . 12 a 11 eventi che costituiscono una partizione dell'insieme dei risultati possibili, secondo il seguente schema:

per la quale si ha EX = 72/102 = 2/2

Alcune importanti variabili aleatorie discrete

2.1 Variabile aleatoria bernoulliana

Dato un evento A, l'insieme Ω dei risultati possibili può essere sempre partizionato come Ω = A ∪ A'

Denominando convenzionalmente l'evento A come "successo", e il suo complemento come "fallimento", e indicando con p la probabilità di osservare un successo, una variabile aleatoria X si chiama bernoulliana se associa il valore 1 all'evento A e 0 al suo complemento. La sua distribuzione può essere rappresentata dall'equazione x(1-x)-(1-p)P(X=x) = pEX^2 ed ha valore atteso = p e varianza σ = p(1-p).

2. Variabile aleatoria binomiale

Supponiamo di aver partizionato l'insieme Ω di un esperimento statistico in un successo e un fallimento. Supponiamo di ripetere n volte tale esperimento in modo che eventi relativi a prove differenti siano indipendenti. Si chiama binomiale la variabile aleatoria X che registra il numero x dei successi in n prove indipendenti. La sua distribuzione di probabilità può essere rappresentata dalla seguente equazione " #n x n-x-P(X=x) = p(1-p)^x

Naturalmente, quando

n = 1, la binomiale è una bernoulliana. Il valore atteso di una binomiale è dato da E[X] = np mentre la sua varianza è pari a σ^2 = np(1-p).

3. Variabile aleatoria ipergeometrica

Supponiamo di aver a che fare con un'urna che contiene N palline di cui B bianche, ed N-B rosse. Se estraiamo con ripetizione un campione di n palline dall'urna, le estrazioni sono indipendenti e la probabilità che il campione ne contenga k si calcola facilmente mediante la distribuzione binomiale:

P(X = k) = (n choose k) * (N-B choose n-k) / (N choose n)

Ma se le palline vengono estratte senza ripetizione allora il loro numero X è una variabile aleatoria ipergeometrica con distribuzione:

P(X = k) = (B choose k) * ((N-B) choose (n-k)) / (N choose n)

Tuttavia, quanto più la frazione di B e il suo valore atteso è dato da E[B] = n/N assume un valore molto piccolo, tanto più le probabilità ipergeometriche possono essere approssimate da probabilità binomiali:

P(X = k) ≈ (n choose k) * (p^k) * ((1-p)^(n-k))

#"" # "−BB N k n−kBn Bk n−k$ % −∼P (X = k) = 1 .N N Nkn3

Variabili aleatorie con supporto infinito nu-merabile3.1 Variabile aleatoria geometrica

Supponiamo di aver partizionato l’insieme Ω di un esperimento statistico inun successo e un fallimento. Supponiamo di ripetere n volte tale esperimentoin modo che eventi relativi a prove differenti siano indipendenti. Si chiamageometrica la variabile aleatoria X che registra il numero di prove indipen-denti x necessario per avere un successo. La sua distribuzione di probabilitàpuò essere rappresentata dalla seguente equazionex−1−P (X = x) = p(1 p)EXIl valore atteso di una geometrica è dato da = 1/p, mentre la sua varianza2 2−è pari a σ = (1 p)/p .X3.2 Variabile aleatoria di PoissonSe il numero n delle prove bernoulliane è molto alto e la probabilità di unsuccesso p è cosı̀ piccola che ∼np λallora la probabilità binomiale di avere k successi

Può essere approssimato nel seguente modo:

“# −λ kn λek n−k− ∼pP (X = k) = (1 p)k k!4”