Formulario Statisca descrittiva Probabilità e variabili aleatorie

FORMULARIO

STATISTICA DESCRITTIVA

• frequenza relativa: f_j = m_j/n
• frequenza percentuale: p_j = f_j 100
• frequenza assoluta: n_j = f_j n
• frequenze cumulate assolute: N_j
• frequenze cumulate relative: F_j = N_j/n

densità: frequenza è quella frequenza che si avrebbe se le classi avessero tutte la stessa ampiezza.

ampiezza: estremo superiore meno estremo inferiore

h_i = f_i/a_i

h_c = p_i/a_i

MEDIA ARITMETICA PER DISTRIBUZIONI DI DATI

x̄ = (x₁ + x₂ + ... + x_n)/n

x̄ = (1/n) Σ x_i

x̄ = (1/n_i) Σ x_i

MEDIA ARITMETICA PER LE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA

x̄ = (1/n) Σx_if_i

x̄ = (1/n_i) Σ x_if_i

MEDIA ARITMETICA DI UN CARATTERE SUBDIVISO IN CLASSI

x̄ = (1/n̄) Σ (n_j/a_i)

Media aritmetica ponderata

x̄ = Σ_i x_i p_i / Σ_i p_i ∙ p_oi

Proprietà della sommatoria

• a) Σ_i=1^k c = kc
• b) Σ_i=1^k ca_i = c Σ_i=1^k a_i
• c) Σ_i=1^k (a_i + b_i) = Σ_i=1^k a_i + Σ_i=1^k b_i
• d) Σ_i=1^k a_i / b_i = a₁ / b₁ + a₂ / b₂ + ... + a_k / b_k
• e) Σ_i=1^k a_ib_i = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_kb_k

Proprietà della media aritmetica

• a) x̄ = Σ_i=1ⁿ x_i / n
• b) Σ_i=1ⁿ (x_i − x̄ ) = 0
• c) Σ_i=1ⁿ (x_i − c)² è minimo per c = x̄
• d) x̄ = 1/n Σ_i=1ⁿ x_i M(+) (+) frequento del sottoinsieme disgiunto
• e) γ = bx + β

Formica della media generale (suddiviso in sottoinsiemi il collettivo)

x̄ = 1/n (x̄₁(h) + x₂ (m−h))

* Coefficiente di Variazione (C.V.)

per risolvere i problemi della varianza e della deviazione standard.

C.V = ^S/_X̄ x 100

* Campo di Variazione

0 <= G² <= 10

* Altri Indici di Variabilità

 → Scostamenti Semplici Medi

Scostamento semplice dalla media aritmetica.

S_x = ¹/_n ∑_i=1ⁿ |x_i - X̄|

nel caso di distribuzione di frequento

S_x = ¹/_M ∑_j=1^k |x_j - X̄| m_j = ∑_j=1^k |x_j - X̄| f_j

Scostamento semplice dalla mediana

S_me = ¹/_n ∑_i=1^m |x_j - Me|

nel caso di distribuzione di frequento

S_me = ¹/_M ∑_j=1^k |x_j - Me| m_j = ∑_i=1^k |x_j - Me| f_j

* Indici Percentuali di Variabilità

^S_x/_X̄ x 100 e ^S_me/_X̄ x 100

* Campo di Variazione è molto approssimato

R = X_n - X₁

se il carattere è suddiviso in classi

R = ¹/_n - 1

* Differenza Intequartile

W = Q₃ - Q₁

in questo modo si escludono valori anomali.

PROBABILITA

La negazione

di A (complemento di A):

A = {ω ∈ Ω / ω ∉ A}

L'intersezione

A ∩ B (gli eventi A e B si verificano contemporaneamente):

= {ω ∈ Ω / ω ∈ A e ω ∈ B}

L'unione

A ∪ B (almeno uno degli eventi A e B si verifica):

= {ω ∈ Ω / ω ∈ A o ω ∈ B, o ω ∈ se o A, sia o B}

Proprieta distributiva

3 eventi A, B, C.

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∪ B = A A B

Proprieta

Ω ∪ Ω = Ω

Ω ∩ Ω = ∅

Evento certo (si verifica sempre in quanto comprende tutti i possibili risultati dell'esperimento)

Ω = Ω (ne negazione dell'evento impossibile)

Evento impossibile (1 evento che nn puo mai verificarsi)

A ∩ A = B ∩ B = C ∩ C ecc. = ∅

Relazione di inclusione (l'inclusione non esclude la perfetta coincidenza tra due eventi)

A ∪ B = A => B C A (vincolo)

A ∪ C + C => A C C

p(y|x) = p(x,y) / p(x)

TRA LE V.C. DOPPIE C’È INDIPENDENZA SE:

p(x,y) = p(x)*p(y)

⟹

p(x|y) = p(x,y) / p(y) ⟺ p(x)*p(y) / p(y) = p(x)

e viceversa

VALORE ATTESO

E(x₁ + x₂) = E(x₁) + E(x₂)

E(x₁ - x₂) = E(x₁) - E(x₂)

COVARIANZA

∑xy = Cov(x,y) = E[(x-E(x)) (y-E(y))]

Si calcola come: ∑∑ (x-E(x)) (y-E(y)) p(x,y)

∑xy = E(x*y) - E(x)E(y)

Quando X e Y sono indipendenti la covarianza si annulla

VARIANZA

VAR(x + y) = VAR(x) + VAR(y) + 2 cov(x,y)

VAR(x - y) = VAR(x) + VAR(y) - 2 cov(x,y)

Se e v.c. sono tra loro indipendenti

⟹

VAR(x+y) = VAR(x) + VAR(y)

VAR(x-y) = VAR(x) + VAR(y)

Teorema di Chebyshev

(probabilità delle code)

P(|X - E(X)| <= kσ) >= 1/k²

Campionamento

Parametri della popolazione:

• media:

  μ = (1/N) ∑_i=1^N x_i

  μ = ∑_j=1^k x_jp(x_i) = E(X)

• varianza della popolazione:

  σ² = (1/N) ∑_i=1^N (x_i - μ)² = (1/N) ∑_i=1^N x_i² - μ²

  σ² = ∑_j=1^k (x_i-μ)² p(x_i) = ∑_j=1^k (x_j)² p(x_j) - μ²

Statistica - Media Campionaria

Media campionaria

X̄ = (x₁ + x₂) / m

X̄ = (1/m) ∑_i=1ⁿ x_i

Varianza campionaria

S²(X) = (1/n) ∑_i=1ⁿ (x_i - X̄)²

S(X) = √s²

MAX campionaria

x_(h) = max (x₁, x₂, ..., x_n)

MIN campionaria

x_(l) = min(x₁, x₂, ..., x_n)

Intervallo di variazione campionaria

R = X_(h) − X_(l)

VERIFICA DI IPOTESI

Impostare un sistema di ipotesi

• H₀: μ₁ = μ₂
• H₁: μ₁ ≠ μ₂
• H₁: μ₁ > μ₂
• H₁: μ₁ < μ₂

α: è la probabilità di commettere un errore del 1^o tipo.

β: è la probabilità di commettere un errore del secondo tipo.

β = P (Z < Z_β )

STATISTICA TEST

Il valore della stima puntuale calcolato sul campione standardizzato sotto ipotesi nulla (assumo vera H₀).

* Nel caso di una proporzione

Z = _{X̄ - μ} / ^G/_√n ~ N

Z = _{X̄ - X0} / ^{√(Σ(X - X̄)2)}/_√n ~ N

p-value:

è probabilità di assumere il valore della stima puntuale più esterno (nella direzione di H₁) di quello osservato sul campione e sotto ipotesi nulla rappresenta una misura della distanza tra X̄ e M in termini probabilistici.

Nel caso in cui G = X

Usando dati si usa una stima corretta sia della varianza che della media.