Variabili aleatorie e probabilità

Esercizio 2.2.a1

Uno studente esegue un test di 10 domande a risposta multipla, dove ogni domanda è associata a tre risposte, una sola delle quali è corretta. Supponendo che lo studente risponda a caso, si determini la probabilità:

(a) che tutte le risposte siano errate

(b) che 8 domande siano corrette

(c) che almeno 8 siano corrette

(d) che non più della metà siano corrette

Soluzioni:

(a) P(tutte errate) = (2/3)^10 = 0.017

(b) P(8 corrette) = 10C8 * (1/3)^8 * (2/3)^2 = 0.0038

(c) P(almeno 8 corrette) = P(8 corrette) + P(9 corrette) + P(10 corrette) = 0.003 + 0.0003 + 0.00003 = 0.00333

(d) P(non più della metà corrette) = P(0 corrette) + P(1 corretta) + ... + P(5 corrette) = 0.923

Esercizio 2

In una città, lo scorso mese di gennaio, il 23% dei giorni ha piovuto. Si determini la probabilità che durante il mese di gennaio dell'anno in corso:

(a) piova solo 4 giorni

(b) piova almeno 3 giorni

Soluzioni:

(a) P(piova solo 4 giorni) = 0.23^4 * (1 - 0.23)^(31-4) = 0.0764

(b) P(piova almeno 3 giorni) = 1 - P(non piova) - P(piova solo 1 giorno) - P(piova solo 2 giorni) = 0.984

Esercizio 3

La probabilità che una fotocopiatrice si inceppi è pari a 0.01. Calcolare:

(a) la probabilità che

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1. (a) La probabilità che una fotocopiatrice non si inceppi mai in 10 lavori è 0.90.

(b) La probabilità che una fotocopiatrice si inceppi una sola volta in 20 lavori è 0.17.

(c) La probabilità che una fotocopiatrice si inceppi non più di una volta in 30 lavori è 0.96.

(d) La probabilità che una fotocopiatrice si inceppi più di una volta in 30 lavori è 0.044.

2. Parte dei dipendenti di un'azienda aderisce ad uno sciopero. All'interno dell'azienda c'è un ufficio di 10 dipendenti che riuscirà ad espletare una importante pratica solo se almeno la metà del personale si presenterà al lavoro. Calcolare la probabilità con cui la pratica verrà espletata, se allo sciopero aderisce:

(a) il 15% dei dipendenti dell'azienda, la probabilità è 0.99.

(b) il 50% dei dipendenti dell'azienda, la probabilità è 0.38.

5. Un'urna A contiene...

1. 7 palline, di cui 4 rosse, mentre un'urna B contiene 10 palline di cui 3 rosse. Si lancia una moneta e, se esce testa, si campionano con ripetizione 3 palline dall'urna A, mentre se esce croce si campionano con ripetizione 3 palline dall'urna B. Si calcoli la probabilità:
   1. di osservare 2 palline rosse tra le tre palline estratte
   2. di aver eseguito il campionamento dall'urna A, se si sono osservate 2 palline rosse
2. Dei 10 membri di un consiglio di amministrazione, solo la metà è favorevole ad una proposta dell'amministratore delegato. Alla riunione del CdA si presenta solo la metà dei consiglieri. Si calcoli la probabilità che la proposta:
   1. sia approvata all'unanimità dai presenti alla riunione
   2. sia approvata con la maggioranza dei presenti alla riunione
   3. non sia approvata dai presenti alla riunione

riunioneSoluzioni55 50( )( )(a) = 0.0040105( )∑ 5 5( )( )5 k 5−k(b) = 0.3968 + 0.0992 + 0.0040 = 0.510k=3 ( )5−(c) 1 0.5 = 0.57. Tre le dieci aziende di un piccolo comune, tre hanno evaso il fisco. Ven-gono scelte a caso due aziende da ispezionare. Si calcoli la probabilitàche entrambe(a) evadano il fisco(b) siano in regolaSoluzioni32 70( )( ) = 0.07(a) 102( )3 7( )( )0 2(b) = 0.4710( )28. Nel magazzino di un negozio vi sono 1000 cellulari di cui l’1% è difet-toso. Se un giorno ne vengono venduti 10, si calcoli la probabilità(a) di averne venduto uno difettoso(b) di averli venduti tutti senza difettiSoluzioni ( )990 10( )( ) ≈ ×10 99 1(a) 0.01 0.99 = 0.091000( ) 110990 10( )( ) ≈ 1010 0(b) 0.99 = 0.901000( )10 3