Teoria e esempi variabili aleatorie

Un esperimento aleatorio è un esperimento che non

convoca è ripetibile a piacere.

• Spazio campione: Ω (insieme di tutti i possibili risultati),
• Classe degli eventi: S (insieme di tutti i possibili eventi),
• Un evento è un sottoinsieme dello spazio campione A⊆Ω
• Evento impossibile: Ω={∅, {1}, {2}, Ω}
• ∅ evento impossibile
• Leggi di probabilità: definisce agli elementi e non ai risultati.

Pr: 1.3: S→[0,1], ∀A∈S Pr(A)∈[0,1]

Pr({A’}) = lim_N→∞ ^N_A’/_N legge probabilistica

∀A∈S Pr(A) ≥ 0 sopra! Pr(2.2):1

∀A,B∈S A∩B= ∅ ⇒ Pr(A∪B)= Pr(A)+Pr(B)= Pr(A∪B)

A’= Ω-A ∀A∈S ⇒ Pr(A’)= 1-Pr(A)

∀A∈S ∅ ≤ Pr(A) ≤ 1

Pr(∅)=0

∀A,B∈S Pr(A∪B)= Pr(A)+Pr(B)-Pr(A∩B)

Per convenienza si scrive Pr(A∩B)= Pr(A,B)

A e B sono indipendenti se Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B)

Se A e B non sono indipendenti ⇒ Pr(A|B) si può calco

lare solo superficialmente

Pr(A|B)= def. Pr(A∩B)

_Pr(B)

⇒ Pr(A|B)= Pr(A∩B)/Pr(B)

Teorema di Bayes

∀A,B∈S

Pr_A(B|A)= Pr_B(B|A)^Pr_A

Pr(B)

3o. Che probabilità ho di avere un tris durante una partita di poker?

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - 2P(A)P(B)

µ = µ₀(1 - e^-sμ)

= 13-10 (

Teorema di probabilità totale

18/03/2014

Sia A∈S e B₁, B₂,... Bₙ una partizione dello spazio campione Ω.

∀Bi, Bj, i≠j ⇒ Bi∩Bj = ∅

P(A)= σP(A|Bi)P(Bi)

Nel teorema di Bayes ho bisogno di P(Bi|A) che non essendo a priori me la posso calcolare:

P⊂(B|A), P⊂(B|A)σ / P⊂Pr(A) = λPr(B|A) + Bj⊂(Pr(B|A)

dif.

Nota che A lo posso considerare come fatto a posta.

P(A|B) = C₁∩B₃ A∩B

Pr(A|B) =

Facciamo un esperimento e lanciamo una moneta con due facce {"HT"}, ("T", "C"), (

Le classi: configurazione la faccia volta ⊂3= Ω x Ω x Ω

In generale, Ω ⊂ Ω x Ω x Ω x Ω

Se lancio 10 volte una probabilità che sia 10 volte T o 10 volte C?

3.

x < x₀ ➔ F_x(x) = 0 ➔ f_x(x) = 0

x ∈ <x₀, x> ➔ F_x(x) = ¹⁄₂ ➔ f_x(x) = 0

x > x₁ ➔ F_x(x) = 1 ➔ f_x(x) = 0

➜ ma va bene

Impulso di Dirac

δ_∆(x) = {

• ¹⁄_∆ x ∈ [-^∆⁄₂, ^∆⁄₂]
• 0 altrove

lim_∆→0 f_∆(x) ➔ l'intervallo [-^∆⁄₂, ^∆⁄₂] ➔ 0 e il valore ¹⁄_∆ ➔ ∞

δ(x) = 0 x ≠ 0

∑_-∞^∞ f_∆(x) dx = 1

P(x)

f_∆(x) = ¹⁄₂ f_∆(x) + ¹⁄₂ (x - 1)

Proprietà di f_∆(x):

• ∀ x ∈ ℝ ➔ f_∆(x) ≥ 0
• lim_{x→ ∞} f_∆(x) = 0
• ∑_-∞^∞ f_∆(x) dx = 1

H(X) = ³/₄ log₂(²/₃) + ¹/₄ log₂ ¹/₄ log₂ ⁴/₂ log₂ = ¹/₂ + ³/₄ = 1,25

• L’entropia è il numero di bit che normalmente un
• servono per rappresentare un’informazione
• L’algoritmo per comprimere file usa l’entropia per lavorare

1.

A causa del traffico quando piove la probabilità che l'auto

arrivi in ritardo del 40%, se invece non piove del

5%. Sapendo che piove il 40%, in un giorno l'auto

arriva in ritardo, qual è la probabilità che stia piovendo?

Definisco X : pioggia e Y : ritardo

Si deve calcolare P(X | Y) = P(X ∩ Y) / P(Y) = 0.45 / 365 ⇒ 0.17

Applico il teorema della probabilità totale

P(X | Y) = P(X ∩ Y) / P(Y) = 0.45 \+ 0.2 + 0.05 \* 0.8 = 0.31

2.

Mario e Francesco sono fratelli gemelli. Mario sbaglia

una domanda con probabilità 0.1, Francesco con pro

babilità 0.4.

Si prende un fratello a caso, gli penso io domanda.

Se lui risponde c'è probabilità che sia stato Mario!?

Definisco M : Mario e F : Francesco

P(X ∈ M | ?) = 0.1

P(X ∈ F | ?) = 0.4

Devo calcolare P(X | 2).9 = 1.0

0.9

F_Y(y) = P(X ≤ y) = P(x + g(x) ≤ y)

A_y = {ω ∈ Ω : g(x(ω)) ≤ y}

⇒ F_Y(y) = P(A_y) = ∫_{{x:y-fX(x) dx} = ∫_-∞ f_X(x) dx = F_X (y)   x(y or y ≠

  •   y ≤ 0

  •   0 < y < 1

  •   y ≥ 1

f_Y(y) = F_Y(y):        se   y ≤ 0

0    0 < y < 1

1    y ≥ 1

η = ∫^+∞ y f_Y(y) dy = ∫¹ y 1/2 1/y dy =

» ½ [2 − ⅔] − 0 1/3

3) Sia X una variabile aleatoria con la sua relataria f_X(x) ≤ sia y = g(x) ≈ ² g(x) ≈

Se g'(x) ≠ 0 ∨ 0    g_Y(y) = ∑ f_X(x)

x₁, ... x_n ∈ | x_i :

P(y) = P(X ≤ x)

Supponiamo ... g(y) monotona decrescente

g'(x) ≤ 0

F_Y(y) = P({X ≤ X ≤ y}) = P(y ≥ g(x)) ≤ y

P({X ≤ x ≤ F_Y) F_X = X :

F_Y(y + Δy) = P({X ≤ X ≤ x}) = F_X (x > x) - F_X

f_Y(y) = F_Y(y) = &big=line y → 0

lim&sub2;_y→1> y

lim ∑Δx − ∑Δx = limit = ⌋

Adesso supponiamo di avere la variabile aleatoria monotona decrescente.

Tutto ciò si può applicare alle doppie variabili?

• 0 < F_xy(x,y) < 1
• lim_x→-∞ F_xy(x,y) = 0
• lim_y→+∞ F_xy(x,y) = (∀t∈ℝ | ∃y₀F_xy≤F_y) e siccome lim_y→+∞ F_y(y) = 1
• ⇒ lim_x→+∞ F_xy(x,y) = 1
• ∀(x_y,y₁), (x_y,y₂) ∈ℝ² con x₁