Formule delle principali variabili aleatorie

Va discrete

Variabile aleatoria di Bernoulli

VA di Bernoulli se X ~ _{0 1} ^{p q}

E(X) = p

Var(X) = pq

Distribuzione binomiale

X ~ Bin(n,p)

P(X = k) = _nC_k p^k q^n-k

X = "n di successi se n prove indipendenti con P(C) = p in singola prova"

E(X) = np

Var(X) = npq

Distribuzione di Poisson

X di Poisson con parametro μ ≥ 0 → n di accadimenti nell'unità di tempo/volume/peso/lunghezza etc., sapendo che il numero medio è μ

P(X = k) = e^-μ μ^k/_k!

E(X) = μ

Var(X) = μ

P(X ≥ 2) = 1 - P(X

P(X ≤ 5) = _Σ ⁵ _k=0 e^-μ μ^k/_k!

Distribuzione ipergeometrica

X ~ Hyp(r,b,n)

"n. di palline rosse estratte da un'urna contenente r rosse e b bianche tra n estratte senza rimessa

n. di successi su n estrazioni senza rimessa"

P(X = k) = 0 ≤ k ≤ min(r,n) = _{(^rCk) (^bCn-k)}/_(^r+bCn) = _{C(r,k) C(b,n-k)}/_C(r+b,n)

Distribuzione geometrica

X ~ Geom(p)

"tempo di attesa del primo successo, sapendo che prob. di successo in singola prova = p e le prove sono indipendenti"

t = k → occorrono k prove per ottenere il primo successo

P(t = k) = p q^k-1

"tempo" = n. di prove per ottenere primo successo

Va discrete

Variabile aleatoria di Bernoulli

VA di Bernoulli se X∼ (0 1)

E(X) = p Var(X) = pq

Distribuzione binomiale

X ∼ Bin(n,p)

P(X = k) = (n k) p^k q^n-k

X= "n di successi se n prove indipendenti con PCE: p in singola prova"

E(X) = np Var(X) = npq

Distribuzione di Poisson

X di Poisson con parametro μ > 0 = "n di accaduti nell'unità di tempo/volume/area/lunghezza etc., sapendo che il numero medio è μ

P(X = k) = e^−μ μ^k / k!

E(X) = μ Var(X) = μ

P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)

p(X ≤ 5) = Σ (k = 0 alla 4) e^−μ μ^k / k!

Distribuzione ipergeometrica

X ∼ Hyp(r,b,n) = "n. di palline rosse estratte da un'urna contenente r rosse e b bianche tra n estratte senza rimessa"

n. di successi se n estrazioni senza rimessa"

P(X = k) = {0 ≤ k ≤ min(r,n)} = (r k) (b n-k) / (r+b n)= C(r,k) ∙ C(b,n-k) / C(r+b,n)

Distribuzione geometrica

T ∼ Geom(p)

"tempo di attesa del primo successo, sapendo che prob. di successo in singola prova = p" e le prove sono indipendenti

T = k ⇒ occorrono k prove per ottenere il primo successo

P(T = k) = pq^k−1

'tempo' = n. di prove per ottenere primo successo