Formule delle principali variabili aleatorie

VA DISCRETE

• VA di Bernoulli se X ~ _{0 1} ^{p q}

  E(X) = p

  Var(X) = pq

• X ~ Bin(n,p)

  P(X = k) = _nC_k p^k q^n-k

  X = "n di successi se n prove indipendenti con P(C) = p in singola prova"

  E(X) = np

  Var(X) = npq

• X di Poisson con parametro μ ≥ 0 → n di accadimenti nell'unità di tempo/volume/peso/lunghezza etc., sapendo che il numero medio è μ

  P(X = k) = e^{-μ μk}/_k!

  E(X) = μ

  Var(X) = μ

  P(X ≥ 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)

  P(X ≤ 5) = _Σ ⁵ _k=0 e^{-μ μk}/_k!

• X ~ Hyp(r,b,n)

  "n. di palline rosse estratte da un'urna contenente r rosse e b bianche tra n estratte SENZA rimessa

  n. di successi su n estrazioni senza rimessa"

  P(X = k) = 0 ≤ k ≤ min(r,n) = _{(^rCk) (^bCn-k)}/_(^r+bCn) = _{C(r,k) C(b,n-k)}/_C(r+b,n)

• X ~ Geom(p)

  "tempo di attesa del primo successo, sapendo che prob. di successo in singola prova = p e le prove sono indipendenti"

  t = k → occorrono k prove per ottenere il primo successo

  P(t = k) = p q^k-1

  "tempo" = n. di prove per ottenere primo successo

VA DISCRETE

VA di Bernoulli se X∼ (0 1)

E(X) = p Var(X) = pq

X ∼ Bin (n,p) P(X = k) = (n k) p^k q^n-k

X= "n di successi se n prove indipendenti con PCE: p in singola prova"

E(X) = np Var(X) = npq

X di Poisson con parametro μ > 0 = "n di accaduti nel unita di tempo/volume/area/lunghezza etc., sapendo che il numero medio è μ

P(X = k) = e^−μ μ^k / k!

E(X) = μ Var(X) = μ

P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1)

p(X ≤ 5) = Σ (k = 0 alla 4) e^−μ μ^k / k!

X ∼ Hyp (r,b,n) = "n. di palline rosse estratte da un'urna contente r rosse e b bianche tra n estratte SENZA rimesa

"n. di successi se n estrazione senza rimesa"

P(X = k) = {0 ≤ k ≤ min(r,n)} = (r k) (b n-k) / (r+b n)

= C(r,k) ∙ C(b,n-k) / C(r+b,n)

T ∼ Geom (p)

"tempo di attesa del primo successo, sapendo che prob. di successo in singola prova = p" e le prove sono indipendenti

T = k ⇒ occorrono k prove per ottenere il primo successo

P(T = k) = pq^k−1

'tempo' = n. di prove per ottenere primo successo