Testi d'esame con soluzioni - Analisi Matematica 1

Z Z Z

1 + 2 cos x 1 3 t 1 3 7t 3 1 cos x 7 3 cos x

− −

dx = dt = [ ]dt = ln ln + c

2 2

−

sin x(3 cos x) 2 t(2t + 1) 2 t 2t + 1 4 1 + cos x 8 1 + cos x

2

Z cos x + sin x cos x

5) Calcolare dx. Poniamo t = tan x ottenendo

2

− cos x + sin x cos x

2

Z Z Z

cos x + sin x cos x t +1 1 t

− | −

dx = dt = [ ]dt = ln sin x cos x| + c

2 2 2

− − −

cos x + sin x cos x (t + 1)(t 1) t 1 t +1

2 √

Z dx

√ √ 4

6) Calcolare . Poniamo t = x ottenendo

− −

4

4( x 2 x 3) 3 Z Z

Z Z 1 1

7t + 6 27 1

dx t

√ √ dt = [t + 2 + ]dt = [t + 2 + + ]dt

= 2 − − − −

− −

4 t 2t 3 (t 3)(t + 1) 4 t 3 4 t +1

4( x 2 x 3) √ √ √ √

x 27 1

4 4 4

−

| |

= x + x 3| + x + 1| + c

+2 ln ln

2 4 4

√

Z x +2 3

√

6) Calcolare dx. Poniamo t = x + 1 ottenendo

3

x x +1 3 −

Z Z

Z Z 6t 2 t 1

x +2 t(t + 1)

√ −

dt = [3t + ]dt = [3t + 2 ]dt

dx = 3 3 2 2

− − −

3 t 1 (t 1)(t + t + 1) t 1 t + t +1

x x +1

Z 2 2t + 1 4

−

= [3t + + ]dt

2t+1

2

− 2

t 1 t + t +1 ) +1

( √ 3 √

√

√ 3

3 2 x +1+1

2 2 1

3 √

− −

|

= (x + 1) x + 1 1| ln[(x + 1) 3 arctan( )+ c

+ 2 ln + (x + 1) + 1] + 2

3 3 3

2 3

∞ n + 1 2

X −n

(

7) Discutere la convergenza di ) . Converge dal criterio della radice n−esima:

−

n 1

n=2

√ −

n 1 2 2n

n+1 −

− −2

n − →

a = ( ) = [(1 ) ] e < 1

n n+1

2

n n +1 n +1

∞ 1 2

X n

−

7) Discutere la convergenza di (1 sin Converge dal criterio della radice n−esima:

) .

n

n=1 1

sin

1

√ n

1 1 − − −1

1 1

n

− − →

sin

a = (1 sin ) = [(1 sin ) ] e < 1

n n n

n n n

Z dx 2

t

2 2

√

8) Calcolare . Poniamo 4x + x = (2x + t) , ossia x = , ottenendo

1−4t

2

2x + 4x + x

−

Z Z Z

dx 1 2t 1 1

p p

2 2

√ − − |4 − −

=2 dt = [1 + ]dt = 4x + x 2x ln 4x + x 8x 1| + c

− −

1 4t 1 4t 4

2

2x + 4x + x ∞ 1

X

9) Discutere la convergenza di . Converge poiché 2 ln 2 > 1:

2 ln n

2

n=1

∞ ∞

1 1

X X

= < +∞

2 ln n 2 ln 2

2 n

n=1 n=1 3

Soluzioni II Appello - 15/6/2017

Analisi Matematica 1 (canale Dam-K)

−

2x 1

1) Studiare il grafico della funzione f (x) = .

2 − −

2x x 3

32 12 32 1 13

6 −1, } {f ∪

Dominio={x = > 0} = (−1, ) ( , +∞) Intersezione assi: ( , 0), (0, )

2

±∞

Asintoti verticali: lim f (x) = lim f (x) = Asintoti orizz.i/obl.: lim f (x) = 0

x→±∞

± ±

x→(−1) 32

x→

2 −4x+7

0 0 0

4x

−

f (x) = Segno di f (x): f < 0 sempre

2 2

−x−3)

(2x −

x 2

1) Studiare il grafico della funzione f (x) = .

2 − −

x 2x 24 1

6 −4, {f ∪ )

Dominio={x = 6} > 0} = (−4, 2) (6, +∞) Intersezione assi: (2, 0), (0, 12

±∞

Asintoti verticali: lim f (x) = lim f (x) = Asintoti orizz.i/obl.: lim f (x) = 0

x→±∞

± ±

x→(−4) x→6

2 −4x+28

0 0 0

x

−

f (x) = Segno di f (x): f < 0 sempre

2 2

−2x−24)

(x 2

x

−

ln(1 + x sin x) + 1 e

√

2) Calcolare il limite lim .

4 −

1 + 2x 1

x→0 2 4

2

2 x

x sin x 6 2 6

x − −

− + O(x ) x + O(x )

x sin x

−

ln(1 + x sin x) + 1 e 2 2

√

lim = 2 lim 4

2x

4 −

1 + 2x 1

x→0 x→0

4 4 4

x x x

2 6 6 2 6

− − − −

x + O(x ) + O(x ) x + O(x ) 5

6 2 2 −

= lim =

4

x 6

x→0 x − −

e 1 + ln(1 x)

2) Calcolare il limite lim .

−

tan x x

x→0 2 3 2 3

x x x x

4 4

x x − − −

x + + + O(x ) x + O(x )

− − − −

e 1 + ln(1 x) e 1 + ln(1 x) 2 6 2 3

= lim = lim

lim 3 3

− − x x

tan x x sin x x cos x 5 5

− −

x→0 x→0 x→0 x + O(x ) x + + O(x )

6 2

1

−

= 2

π x +1

−

3) Calcolare il limite lim x + arctan(x + 1) .

2 x +2

x→+∞ π 1 1

− +

π x +1 π

2 2

2 (x+2) x +1

− −

lim x + arctan(x + 1) = lim = 1

1

2 x +2 2

−

x→+∞ x→0 2

x

1

x+2

π − arctan x

2 x+1

3) Calcolare il limite lim .

1

sin( )

x→+∞ x 1 1

π

x+2

π −

−

− arctan x π

2 2

2 (x+1) x +1

2 x+1 =

lim = lim +1

1 1 1 2

−

sin( ) cos( )

x→+∞ x→0 2

x x x

2

n ln n

ln(n!)

4) Calcolare il limite lim .

1 + ln(n!)

n→+∞ 2

n ln n

2

n ln n

ln(n!) 1 1 ln(n!)

2

−n −

ln n ln(n!)

lim =0

= lim (1 + ) = lim (1 + )

1 + ln(n!) ln(n!) ln(n!)

n→+∞ n→+∞ n→+∞

poiché 2 2

1 n ln n n ln n

1

− ln(n!) ≥ →

→

(1 + ) , = n +∞

ln(n!) e ln(n!) n ln n √

4 ln n

p p

−

1 + .

4) Calcolare il limite lim ln(n!) + 2 ln(n!) + 1

n→+∞ √

4

√ ln n

!

4 1

ln n

p p

− = lim 1+

lim 1 + ln(n!) + 2 ln(n!) + 1 p p

n→+∞

n→+∞ ln(n!) + 2 + ln(n!) + 1

√

4

√ √ ln n

√

√

 

ln(n!)+2+ ln(n!)+1 ln(n!)+2+ ln(n!)+1

!

1

= lim 1 + =1

 

p p

n→+∞ ln(n!) + 2 + ln(n!) + 1

poiché √ √

ln(n!)+2+ ln(n!)+1

!

1 →

1+ e

p p

ln(n!) + 2 + ln(n!) + 1

√ √ √

4 4 4

ln n ln n ln n 1

√ √

≤ ≤ →

= 0

p p p 4

2 ln n 2 ln n

ln(n!) + 2 + ln(n!) + 1 2 ln(n!)

Z dx x

dx. ottenendo

5) Calcolare Poniamo t = tan 2

−

5 3 cos x

Z Z

dx dt 1 1 x

dx = = arctan(2t) + c = arctan(2 tan( )) + c

2

−

5 3 cos x 1 + 4t 2 2 2

Z dx x

5) Calcolare dx. Poniamo t = tan ottenendo

2

5 + 3 cos x

Z Z

dx dt 1 t 1 1 x

dx = = arctan( ) + c = arctan( tan( )) + c

2

5 + 3 cos x 4+ t 2 2 2 2 2

2

Z dx 2 −1

t

2 2

√

6) Calcolare . Poniamo x + x + 1 = (x + t) , ossia x = e dx =

1−2t

2

x x + x +1

2 −1

t−t dt. Abbiamo che

2 2

(1−2t) −

Z Z Z

dx 2 1 1 t 1

√ − | |

= dt = [ ]dt = ln + c

2 − −

t 1 t 1 t +1 t +1

2

x x + x +1 √ 2 − −

x + x + 1 x 1

√

| |

= ln + c

2 −

x + x + 1 x + 1

Z dx 2 −1

t

2 2

√

6) Calcolare Poniamo 4x + 2x + 1 = (2x + t) , ossia x =

. e

2(1−2t)

2

x 4x + 2x + 1

2 −1

t−t

dx = dt. Abbiamo che

2

(1−2t) −

Z Z Z 1 1 t 1

dx 2

√ − | |

dt = [ ]dt = ln + c

= 2 − −

t 1 t 1 t +1 t +1

2

x 4x + 2x + 1 √ 2 − −

4x + 2x + 1 2x 1

√

| |

= ln + c

2 −

4x + 2x + 1 2x + 1

∞ sin n

X

7) Discutere la convergenza semplice o assoluta della seria Converge assolutamente

.

2

n

n=1

dal criterio del confronto: ∞

∞ 1

sin n X

X |≤

| < +∞

2 2

n n

n=1

n=1 ∞ −

1 cos n

X

7) Discutere la convergenza semplice o assoluta della seria . Converge assolu-

3

n

n=1

tamente dal criterio del confronto:

∞ ∞

− 1

1 cos n

X X

| |≤ 2 < +∞

3 3

n n

n=1

n=1 3

Soluzioni III Appello - 4/7/2017

Analisi Matematica 1 (canale Dam-K)

p

3 2

− −

1) Studiare il grafico della funzione f (x) = (x 2)(x 4) . √

3

{f −2

Dominio=R > 0} = (2, +∞) Intersezione assi: (2, 0), (4, 0), (0, 4)

Asintoti verticali: no 2

−10x −

f (x) + 32x 32 10

− −

Asintoti orizz.i/obl.: lim = 1, lim [f (x) x] = lim =

2

x 3x 3

x→±∞ x→±∞ x→±∞

1

2 −

− 0 0

0 83

13 − −

− ∪

(x 4) (3x 8) Segno di f (x): f > 0 in (−∞,

f (x) = (x 2) ) (4, +∞)

3 3 p

3 2

− −

1) Studiare il grafico della funzione f (x) = 4(2x 1)(x 1) . √

1

1 3

−

{f , +∞) Intersezione assi: ( , 0), (1, 0), (0,

Dominio=R > 0} = ( 4)

2 2

Asintoti verticali: no 2

−20x −

+ 16x 4 5

f (x) − −

= 2, lim [f (x) 2x] = lim =

Asintoti orizz.i/obl.: lim 2

x 12x 3

x→±∞ x→±∞

x→±∞

1 2 1

− − −

0 0 0

43 23 ∪

− − −

f (x) = 2 ) (1, +∞)

(2x 1) (x 1) (3x 2) Segno di f (x): f > 0 in (−∞,

3 3 3 √

2

1−sin x cos( 2x)

−

5 5 .

2) Calcolare il limite lim 2

−

(1 cos x)

x→0

√ √ 4

3 x

x 5 2 2 6

2 2 −1+x −

1−(x− +O(x )) +O(x )

1−sin x cos( 2x) 1−sin x−cos( 2x)

− − −

5 5 5 1 5 1

6 6

lim = 20 lim = 20 lim

2 4 4

−

(1 cos x) x x

x→0 x→0 x→0

4 4 4

4 x x x

x

2 6 2 6 6 6

−

+O(x )−1+x +O(x ) +O(x ) +O(x )

1−x + − − −

1 5 1 10 5 1

5 10

3 6 6 6

= 20 lim = 20 lim = lim = ln 5

4