Analisi Matematica 2 Testi d'esame

1) Data la funzione di due variabili:

f(x, y) = √(3xy)²

• a) determinare l’insieme di definizione e rappresentarlo graficamente
• b) stabilire se è continua nell’origine
• c) stabilire se è differenziabile nell’origine

giustificando ogni affermazione.

2) In un riferimento cartesiano O_xyz di ℝ³ sia T il solido ottenuto per rotazione attorno all’asse x dell’insieme E del piano x y dato da:

E((x, y)| 1/2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ e^|x−1|).

Si determini il volume di T.

3) Trovare l'insieme di definizione A della forma:

ω = (sin y + (y−1)/√(x+1)) dχ + (x cos y + 2√x+1) dy

e dimostrare che ω è esatta in A. Trovare la primitiva F(x, y) tale che F(0,2) = 3.

4) Determinare e disegnare l’insieme di definizione della seguente funzione:

f(x, y)=log_x+1 [(1 − x²/4 − y²/16)].

calcolare poi la derivata secondo la direzione dell’asse delle y nel punto P(1,0).

5) Sia data la serie di potenze:

∞ Σ (k+1)^j+1 (a_k) x^k ,

k=0

dove i coefficienti a_k sono dati dalla relazione:

e^x = ∞ Σ a_k [3(k+1)³/(k+2)!] x^k.

k=0

Posto j=0, calcolare raggio di convergenza e insieme di convergenza puntuale. Posto j=1, calcolare solamente il raggio di convergenza.

6) Risolvere il seguente problema di Cauchy:

{ y″ + 4y′ + 5y = 2e^−x } { y(0) = 1; y′(0) = −4λ2². }

Determinare poi i valori di λ per cui risulti y(π/2) = e^−π.

1) Determinare massimo e minimo assoluti della seguente funzione motivando il perché dell’esistenza:

f(x, y) = x² + y² - 2x - 2y - 3

nel dominio D del piano x y dato da:

D(x, y) ∈ ℝ²| x² + y² ≤ 4

2) Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫_Γ ye^x/_{√ x² + y²} dxdy

dove Γ è il dominio dato da:

1 ≤ x² + y² ≤ 4 con y ≥ x ≥ 0 ∪ 1 ≤ x² + y² ≤ 4 con y ≥ -√3x e x ≤ 0.

3) Risolvere ∀x < 0 il seguente problema di Cauchy:

{ y' = (y + 1)/x³

{ y(-1) = λ

Determinare poi il valore di λ per cui l'integrale y(x, λ) verifichi la condizione:

lim_x→0^- y(x, λ) = 2.

1) Trovare l’intervallo di convergenza ed un intervallo di convergenza uniforme della serie:

∑_k=0^∞ log(k+1)/(k+1) (x-2)^k

2) Data la seguente funzione:

f(x, y) = log_2-x(1 - y²/4 - x²/16)

determinare:

• L'insieme di definizione precisandone la natura
• La derivata secondo la direzione dell’asse y in P(0,1)
• Dopo aver calcolato il segno della funzione in P'(3/2, 0) e P'(-1, 0) dire se è applicabile il teorema di esistenza degli zeri.

3) Trovare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

y'' + 2y' + y = e^-x/(1 + x²).

E1.

Studiare il carattere della seguente serie e trovare l'intervallo di totale convergenza.

^∞∑_n=1 (-1)ⁿ (x-2)ⁿ / 2k(2k-1)

E2.

Trovare l'insieme di definizione A della forma:

ω = _{-y dx}/^x-y + _{y log(x-y) dy}/^x-y

Dimostrare che ω è esatta in A e trovare la primitiva F(x,y) tale che F(2,1)=2

D1.

Definizione di equazioni differenziali omeogene e non omeogene.

Struttura dell’integrale generale di un'equazione diff. lineare omogenea e non omogenea.

D2.

Def. di dominio normale rispetto all'asse x e rispetto all'asse y

Def. di dominio regolare rispetto ad un asse coordinato e di dominio regolare.

Formule di Green-Gauss in R² (enunciato e prima parte della dimostrazione).

Appello del 10-4-2013

E1.

Studiare la serie di potenze

^∞∑_k=1 (x-2)^k / 5k(3k-1)

E2.

Eq. differenziali λ > 0

y^'' + λ y^' + y = cos 2 λx

D1.

Definizione di:

• Forma differenziale lineare
• Dominio regolare
• Curva regolare
• Formula di Green-Gauss con dimostrazione parziale

D2.

lim p(α) = ℓ

p → ∞

lim f (p) = - ∞

p → ∞

lim f(α) = + ∞

p → p₀

lim f(p) = - ∞

p → p₀