Tesina sulla trasformazione di coordinate tra due sistemi di riferimento

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

Superfici di riferimento

Geoide ed Ellissoide

La rappresentazione della superficie terrestre è un’operazione molto complessa poiché è

molto complicato trasporre la superficie fisica su una superficie piana. Si usa infatti una

superficie di riferimento che rappresenta la migliore approssimazione della terra. Essa deve

avere determinate caratteristiche:

Deve essere molto prossima alla superficie terrestre.

• Deve avere una rappresentazione matematica abbastanza semplice.

•

• Si deve poter stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti della superficie di

riferimento e quelli della superficie terrestre.

• Si deve poter istituire su di essa un geometria con cui poter fare calcoli geodetici in maniera

semplice.

Il modo più semplice per mappare la superficie terrestre è quello di proiettare ogni punto

sulla sulla superficie di riferimento tramite la direzione della verticale, che può essere figurata

con il filo a piombo.

La superficie che è normale in ogni suo punto alla direzione della verticale si chiama Geoide.

Questa superficie coincide con il livello medio della superficie marina qualora questa fosse

caratterizzata da temperatura e densità uniformi e fosse priva di perturbazioni legate a maree,

venti e correnti. Il Geoide viene descritto come la superficie equipotenziale del campo gravitazionale

terrestre in cui la direzione della verticale coincide con quella delle linee di forza del campo gravitazionale.

Il geoide è una buona approssimazione della superficie terrestre. Purtroppo esso non è

facilmente esprimibile dal punto di vista analitico, in quanto bisognerebbe conoscere il valore

della densità in ciascun punto della terra, il che non è possibile. 3

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

Per questo motivo viene spesso adottato l’Ellissoide di rotazione come superficie di

riferimento, che può essere espresso in maniera in maniera più semplice.

L’ellissoide è un solido biassiale di rotazione con semiasse equatoriale a e semiasse polare c,

con equazione, riferita al sistema ortogonale ellissocentrico ad esso associato, data da:

+

2 2 2

X Y Z

+ = 1

" " 2 2

a c −

a c

α =

Vengono definiti altri due parametri come lo schiacciamento: " a

−

2 2

a c

=

e l’eccentricità al quadrato: " 2

e 2

a 4

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

Datum

Il datum è un ellissoide con le sue caratteristiche geometriche e la sua posizione rispetto al

geoide, sul quale saranno basate tutte le misure che si vanno a svolgere. Queste misure

ricavate saranno confrontabili solo con altre misure appartenenti allo stesso datum.

Per definire un datum bisogna scegliere un ellissoide che rappresenti la nostra superficie di

riferimento (di cui si conoscono schiacciamento e semiasse maggiore) e che almeno per un

area circoscritta coincida con la superficie terrestre. Queste condizioni si ottengono

orientando l’ellissoide.

Per orientare l’ellissoide bisogna determinare un punto " detto di emanazione. Esso deve

P

0

avere le seguenti caratteristiche:

La normale all’ellissoide deve coincidere con la verticale.

• La direzione del meridiano ellissoidico deve coincidere con quella del meridiano

• astronomico.

• La quota ellissoidica deve coincidere con quella ortometrica (l’ondulazione del geoide deve

essere nulla in quel punto).

L’orientamento dell’ellissoide avviene a partire da " in cui si determinano tramite misure

P

0

φ λ α

astronomiche la latitudine " , longitudine" e l’azimut " di una geodetica uscente da " e

P

0 0 0 0

passant per un dei punti " , e le misure vengono assunte come riferite all’ellissoide.

P

i

ED50

L’European Datum del 1950 è un datum geodetico che definisce un sistema europeo definito

a dati astronomici del 1950. L’ellissoide di riferimento è quello internazionale di Hayford e

l’orientamento è medio europeo a Potsdam. Questo è dovuto al fatto che questo datum è stato

costruito quando tutti gli stati europei possedevano una rete geodetica propria e quindi si è

dovuto trovare un punto di emanazione tale da soddisfare le esigenze.

I parametri dell’ellissoide di Hayford sono:

a = 6378388 m

1

f = " 297 5

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

WGS84

Il World System del 1984 è un sistema di coordinate geografiche geodetico mondiale che si

basa su un ellissoide di riferimento elaborato nel 1984. Questo definisce un modello

matematico della terra da un punto di vista geometrico, geodetico e gravitazionale basato su

misure e tecnologie del 1984.

Esso nasce dalla necessità, sviluppatasi nel XIX secolo, di trovare un sistema che integri i

diversi sistemi geodetici nazionali. Ci furono degli studiosi, come Hayford, che teorizzarono

una superficie di riferimento per mappare globalmente la terra.

Il problema è diventato essenziale nel 1950 poiché c’era la necessità di comunicazione tra

diverse nazioni e l’utilizzo di diversi datum non lo permetteva. Bisognava inoltre creare delle

mappe globali per la navigazione e l’aviazione.

Il risultato fu una rappresentato da coordinate tridimensionali di punti sulla superficie

terrestre in un sistema di riferimento cartesiano geocentrico fisso rispetto alla terra.

Le sue caratteristiche principali sono:

L’origine del sistema coincide con il centro di massa della terra.

• L’asse Z passante per il polo Nord.

•

• L’asse X passante per il meridiano di Greenwich.

• L’asse Y completante la terna destrorsa.

Semiasse maggiore a = 6378137 m

• 1

Schiacciamento f = "

• 298,257223 6

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

Sistemi di riferimento

Coordinate geografiche ellissoidiche

φ

La latitudine ellissoidica " di P è il complemento

dell’angolo che la normale n forma nel punto P con

la direzione dell’asse polare Z.

λ

La longitudine ellissoidica " di P è la sezione retta del

diedro che si forma tra il piano passante per l’asse

polare e contente P, e il piano di riferimento del

meridiano di Greenwich e l’asse polare.

Queste coordinate definisco la posizione planimetrica di P, ossia la proiezione della sua

posizione sull’ellissoide.

Trasformazione di coordinate

Trasformazione da coordinate ellissoidiche WGS84 a coordinate ellissoidiche ED50

La trasformazione di coordinate è quell’operazione che ci permette di passare da coordinate

geografiche a coordinate cartografiche e viceversa tramite opportuna formule inverse.

Nel caso trattato per effettuare questo passaggio si usano le formule di Molodenskij

semplificate.

Esse sono delle formule che si basano sulla rototraslazione tra i due sistemi di riferimento

definita da sette parametri che sono tre di rotazione, tre di traslazione e uno fattore di scala.

Per semplicità verranno usate le formule di Molodenskij semplificate, le quali non tengono

conto delle rotazioni tra sistemi di riferimento.

φ λ

Siano " latitudine e " longitudine delle coordinate WGS84 dei punti, si hanno le seguenti

formule: φ λ φ λ φ φ

−Δx − Δysin + Δz + + Δa)sin

sin cos sin cos (aΔf f 2

φ

Δ =

" '' ρ sin1''

λ λ

−Δx + Δy

sin cos

λ

Δ =

" '' φ

N cos sin1'' 7

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

φ λ

Δ Δ

" = sono le correzioni da applicare alle coordinate WGS84 per ottenere le coordinate

", ''

in ED50. Sono espresse in secondi.

Δx, Δy, Δz

" = sono le traslazioni tra i centri dei due ellissoidi..

a = 6378388 m = è il semiasse maggiore dell’ellissoide del sistema ED50.

1

f = " = è lo schiacciamento dell’ellissoide di Hayford del datum ED50.

297

Δa, Δf

" = sono rispettivamente la differenza tra semiassi maggiori e gli schiacciamenti tra

l’ellissoide WGS84 e di Hayford.

2

a(1− e )

ρ =

" = è il raggio di curvatura del meridiano.

3

φ

2 2

(1− e sin ) 2

a

=

" = è la gran normale.

N φ

2 2

1− e sin

Per l’ellissoide internazionale con orientamento medio europeo si assumono come parametri

di traslazione e scala i seguenti valori:

Dx Dy Dz Da Df

Programmi utilizzati

Netbeans

E’ un IDE, ossia un ambiente di sviluppo integrato scritto interamente in java. Esso permette

di creare programmi in linguaggio Java, usando cioè classi, oggetti e metodi.

Cartlab

Cartlab è un convertitore di coordinate, che effettua conversione tra i sistemi di coordinate

proprie del GPS (WGS 84) e il Sistema Nazionale Italiano nonché il sistema di coordinate del

Catasto Italiano. 8

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

Listato di Java

package cartografia;

import it.units.LibreriaFondamenti;

public class Cartografia {

//metodo che utilizza la prima formula di Molodensky per calcolare delta latitudine

public static double deltaLatitudine(double lat, double lon, double a, double da, double df,

double f, double e, double dx, double dy, double dz) {

//calcolo i seni e i coseni che mi serviranno

double senLat = Math.sin(lat);

double senLon = Math.sin(lon);

double cosLat = Math.cos(lat);

double cosLon = Math.cos(lon);

double senQuadro = Math.pow(senLat, 2);

// calcolo il raggio del meridiano

double ro = (a * (1 - e)) / Math.pow(1 - e * senQuadro, (3 / 2));

//spezzo la formula in 5 termini distinti e li calcolo

double termine1 = -(dx * senLat * cosLon);

double termine2 = -(dy * senLat * senLon);

double termine3 = (dz * cosLat);

double termine4 = ((a * df) + (f * da)) * Math.sin(2 * lat);

double termine5 = ro * 0.00000408;

//uso il termini per calcolarmi delta latitudine

double delta = (termine1 + termine2 + termine3 + termine4) / termine5;

return delta;

}

//metodo che usa la seconda formula di Molodensky per il calcolo di delta longitudine

public static double deltaLongitudine(double lat, double lon, double a, double e, double dx,

double dy) {

// mi calcolo i seni e coseni che servono

double senLat = Math.sin(lat);

double senLon = Math.sin(lon); 9

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

double cosLat = Math.cos(lat);

double cosLon = Math.cos(lon);

double senQuadro = Math.pow(senLat, 2);

//calcolo la gran normale

double n = a / (Math.s