Teoria della produzione

SOLUZIONI

Esonero sulla "TEORIA DELLA PRODUZIONE"

12 Gennaio 1998

TURNO I

(i) Dipendono dalla somma degli esponenti

1. α + β < 1 decrescenti

α + β = 1 costanti

α + β > 1 crescenti

(ii) αx2SM T = - βx1

(iii) Problema: x + w xmin w1 1 2 2βαt.c. x x = y1 2

Sistema di soluzione αx w2 1- = -βx w1 2βαx x = y1 2

da cui, vedi Varian pp. 328-9, μ μ ¶¶ β βα wα+β α+β 12* = yx α+β1 β w1μ μ ¶¶ α α- -α wα+β α+β 12*x = y α+β2 β w1

(iv) Da cui * *, w ) = w x + w xC(y, w1 2 1 2 21

(v) Nel breve periodo, solo una equazione del sistema diventa rilevante: quella dell'isoquanto βαx x = y21

da cui Ā !1/αy*bp =x1 βx2

Quindi *bp, w ) = w x + w xC(y, w1 2 1 2 21

Quello che di

solito chiamiamo F = w x .2 2 3(vi) La funzione di profitto nel lungo periodo e’ ∗ ∗x + w xπ = py − w1 21 2Si veda Varian #"µ µ¶ ¶β α−αα βα+β α+β α 1α+β α+β+ w ywπ = py − α+β1 2β βPer trovare la curva d’offerta dobbiamo derivare il profitto per y :("µ # )µ¶ ¶β α−α α 1dπ βα+β α+β α 1−α−βα+β α+β: p − y+ w = 0w α+β1 2dy β β α + βche equivale a porre la condizione p = CMA e risolvere per y. Infatti il primo termine e’ il prezzo e il secondo e’ il costo marginale. Risolvendo dunque per y :  α+β1−α−β p  ½·³ ¸ ¾y = ´ ´³β

dell'industria. Perché è la quantità totale prodotta che determina il prezzo attraverso la curva di domanda inversa. - c(y(y , y ) = p (y + y ) y ). Es: π 1 1 2 1 2 1 1(ii) Si veda la soluzione sulla dispensa "oligopolio".

SOLUZIONI Esonero sulla "TEORIA DELLA PRODUZIONE" 12 Gennaio 1998 TURNO II+ tx = t ( x + x ) = ty quindi rendimenti di scala costanti. tx1. 1 2 1 2 Infatti la funzione di produzione è a perfetti sostituti dove(ii) aP M1 = -SM T = - P M b2(iii) Per min costi si deve fare il sistema wa 1≥ -- b w< 2ax + bx = y1 2 Se w /w > a/b, l'isoquanto è meno pendente della retta di isocosto. La retta di isocosto più bassa 1 2 , il quale infatti è tangente all'isoquanto sull'asse delle ordinate, quindi la soluzione è che si usa solo x2 costa meno ed ha, fra l'altro, produttività maggiore. Formalmente  /w positivo se a/b < w1

2∗ vale tutto il vin.bil. se a/b = w /w=x 1 22  0 se a/b > w /w1 25

Inserendo la scelta nella funzione isoquanto, si ha a0 + bx = y, da cui2y∗ =x2 b(iv)  /w0 se a/b < w1 2∗x = se a/b = w /wvale tutto il vin.bil. 1 21  se a/b > w /wpositivo 1 2quindi. affinche’ sia scelto x deve essere w /w < a/b. Inserendo la scelta nella funzione isoquanto, si1 1 2+ b0 = y, da cuiha ax1 y∗ =x1 a(v) Nel lungo periodo tutti gli inputs sono liberi, dunque se a/b < wy/b /ww2 1 2∗ [y/b − (a/b) x ] se a/b = w /wwC (y, w , w ) = 2 1 1 21 2  y/a se a/b > w /ww1 1 2NB. Nel caso di eguaglianza possiamo porre a = w , b = w , quindi la funzione di costo si riduce a1 2x = [y − w x ] .w2 2 1 1 ∗/w , si ha x > x = y, non si puo’ utilizzare(vi) Se, nel breve periodo, nel caso in cui a/b < w1 2 2 2 x ,la retta di isocosto piu’ bassa, ma una sua parallela piu’ alta che incontra l’asse delle

ordinate in 2pertanto i costi non sono minimizzati. *x < x = y, non siSe invece, sempre nel breve periodo e alle stesse condizioni di prezzo, si ha 2 2raggiunge tangenza alcuna e quindi possiamo dire o "che non c'e' soluzione" oppure "siamo costretti a"circ;y = x .produrre meno output" e precisamente 2(vii) * (y, w , w )π(y) = py - C 1 2ovvero  y/b /w > 1se wpy - w2 1 2* x ) /w = 1py - (y - w se wπ (y, w , w ) = 1 1 1 21 2  y/a /w < 1py - w se w1 1 2* (p, w , w ) , essendovi rendimenti di scala costanti, si pone di nuovo il problema dellePer calcolare y 1 2pendenze relative fra retta di isoprofitto e prezzo relativo. Il sistema di soluzione e'wiP M =i pax + bx = y1 2ma l'input rilevante e' solo uno, secondo il rapporto fra i prezzi./w > a/b l'input scelto e' solo x . La questione diventa seSe w1 2 2 w2≥P M2 p<≡ b. La

funzione di offerta diventa quindi:

se P > w/p∞ se P > 2w/p[0, ∞) se P < 2w/p

Se w/w < a/b l'input scelto è solo x. La questione diventa se wP ≥ bp<≡ b. La funzione di offerta diventa quindi:

se P > w/p∞ se P > w/p[0, ∞) se P < w/p

(i) Nei modelli di monopolio i profitti dipendono soltanto dalla quantità prodotta dell'impresa in questione, che è poi unica. Es. π = p(y)y - c(y)

In oligopolio invece, i profitti dipendono dalla quantità prodotta da tutte le imprese dell'industria. Perché è la quantità totale prodotta che determina il prezzo attraverso la curva di domanda inversa. π = p(y1 + y2)y - c(y1, y2)

(ii) Si veda la soluzione sulla dispensa "oligopolio".

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Esonero sulla "TEORIA DELLA

PRODUZIONE”12 Gennaio 1998

TURNO III, decrescenti rispetto al solo x, e quindi(i) Rendimenti di scala sono: costanti rispetto al solo x1.

1 2decrescenti in y. √ ≤ tyatx + b tx1 2

(ii) √a2 x2SMT = − b

(iii) Sistema √xa2 w2 1= −− b w2√ax + b x = y1 2

Dalla prima √ bw1x =2 2aw2e dunque µ ¶2bw1∗x =2 2aw2

Sostituendo nell’isoquanto bw1ax + b = y1 2aw2da cui p 2b by y w1∗ ∗− −= x =x1 2 2a a a 2a w27

Come effetto della funzione di produzione quasi-lineare l’input 2 e’ indipendente dalla quantita’ dioutput che si desidera produrre, ovvero viene utilizzato in quantita’ fissa (e’ il costo fisso!), mentre l’input1 e’ funzione dell’output che si desidera produrre (e’ il costo variabile).

(iv) "µ #µ ¶ ¶22b bwy w1 1−, w ) = w + wC(y, w1 2 1 22a 2a w 2aw2 22 2 2 2w b bw w1 1 1= y − +2 2a 2a w 4a w2 22 2 2

2w 2b bw w1 1 1= y − +2 2a 4a w 4a w2 22 2w b w1 1= y − 2a 4a w2

Chiamiamo il secondo termine, che e’ una costante G.

troviamo(v) Dall’equazione dell’isoquanto risolta per x1 pby∗ −x , = xBP 21 a a(vi) 2 2bw w1 1y +π (y; p, w , w ) = py −1 2 2a 4a w2

Derivando rispetto ad y, ovvero, dalla condizione prezzo = CMA (CMA ≡ w /a) si ha1ww1 1che equivale ad a =p = a p , la quale

Ma questa e’ la regola della funzione di produzione lineare a rendimenti costanti. Se la P M1

rappresenta la pendenza della funzione di produzione (la quale qui e’ pari ad a), e’ pari all’inclinazione

della retta di isoprofitto, ogni punto y e’ equilibrio. Ovvero la condizione prezzo = CMA ci dice per quali

prezzi c’e’ e