Teoria del consumatore II parte

MICROECONOMIA

Prof. M. Augusta MICELI

ESONERO

9 Aprile 1997

I TURNO

Sia il problema del consumatore una scelta fra consumo e relax

max U (C, R) = CR

t.c. pC + wR = w R + M

I dati del problema sono: R = 16, M = 10, p = 1, SM S = -2C/R.

(i) Calcolate le funzioni di domanda per il consumo, il relax e la funzione di offerta di lavoro.

(ii) Nell'ipotesi che sia w = 4, calcolare le scelte ottime C , R , L (punto A).

(iii) Nell'ipotesi sia w = 5, calcolare le relative scelte ottime (avendo definito, se utile m )(punto D).

(iv) Definite m come la quantita' di moneta capace di comprare il paniere iniziale ai nuovi prezzi e calcolare la scelta ottima (punto B) relativa a questo vincolo di bilancio. Create poi l'allocazione fittizia relativa all'effetto direddito ordinario (punto C) (attenzione alle definizioni di "reddito"!). Calcolate l'effetto totale della variazione del prezzo sulla scelta ottima (C, R) come somma

di effetto sostituzione, effetto reddito ed effetto reddito didotazione T ot. S m Dot.∆x = ∆x − ∆x + ∆x(v) Calcolate la scelta ottima in seguito all’aumento di salario per il solo lavoro straordinario. (Suggerimento:considerare la scelta ottima al salario w = 4, relativa al punto (ii), come dotazione e calcolate la nuova sceltaottima.) Qual’e’ il nuovo vincolo di bilancio? Qual’e’ il numero di ore lavorate? Sapete spiegare perche’ inquesto caso le ore lavorate aumentano comunque e, in generale, in misura maggiore? (Comparate l’allocazionedi cui al punto (iii) con l’allocazione al punto (v)).

ESONERO9 Aprile 1997II TURNOSia il problema del consumatore una scelta intertemporale fra consumo oggi e consumo domani di un bene,grano, che si puo’ immagazzinare, ma che viene divorato dai topi ad un tasso del 25%. La funzione di utilita’ e’U (c , c ) = c c . La merce non si puo’ vendere, pertanto ha lo

stesso prezzo o valore nei due periodi: p = p = 1.1 2 1 2 1 2La dotazione e’ ω = 500, ω = 100. Inoltre SM S = −c /c1 2 2 1.(i) Scrivete il vincolo di bilancio corretto e calcolate le funzioni di domanda per il bene nei due periodi.(ii) Supponiamo adesso che la merce abbia un mercato, e pertanto non sia necessario immagazzinarla. E’possibile venderla sul mercato ai prezzi p = 1, p = 3. Esiste inoltre un mercato finanziario dove si puo’ prendere1 2e dare a prestito ad un tasso del 20%. Definite il tasso reale, scrivete il nuovo vincolo di bilancio e calcolate lescelte ottime in questo caso.0(iii) Definite m come la quantita’ di moneta capace di comprare il paniere iniziale ai nuovi prezzi e calcolare lascelta ottima (punto B) relativa a questo vincolo di bilancio. Create poi l’allocazione fittizia relativa all’effetto direddito ordinario (punto C) (attenzione alle definizioni di ”reddito”!.). Calcolate l’effettototale della variazione₁ del prezzo sulla scelta ottima (c , c ) come somma di effetto sostituzione, effetto reddito ed effetto reddito di₁ 2dotazione T ot. S m Dot.∆x = ∆x − ∆x + ∆x(iv) Se esiste sul mercato un bene d’investimento (azione) con prezzo b = 10, b = 50, quante unita’ ne posso₁ 2comprare nel primo periodo, anche indebitandomi? (Suggerimento: considerate il valore della intera dotazione in valore presente) Qual’e’ il nuovo vincolo di bilancio derivante dall’acquisto del bene d’investimento? (Attenzione al tasso reale) Conviene o meno acquistarlo? Perche’ ?(v) Comparate l’utilita’ totale derivante dal paniere ottimo al punto (iii) con il paniere ottimo al punto (iv).III TURNOSia il problema del consumatore una scelta fra consumo e relax2max U (C, R) = CR_t.c. pC + wR = w R + M_R = 14, M = 10, p = 1, SM S = −2C/R.I dati del problema sono:(i) Calcolare le funzioni di domanda per il consumo, il relax e

la funzione di offerta di lavoro.∗

(ii) Nell’ipotesi che sia w = 4, tracciare il vincolo di bilancio e calcolare le scelte ottime C ,∗ ∗R , L (punto A).

(iii) Viene imposta una tassa proporzionale sul salario τ = 0.2. Calcolare le relative scelte ottime (definendo00m )(punto D).

(iv) Definire m e creare l’allocazione fittizia passante per la scelta ottima (punto B). Creare poi l’allocazionefittizia avente l’effetto di reddito ordinario (punto C) (attenzione alle definizioni di ”reddito”!.). Calcolatel’effetto totale della variazione del prezzo sulla scelta ottima (C, R) come somma di effetto sostituzione, effettoreddito ed effetto reddito di dotazione T ot. S m Dot.∆x = ∆x − ∆x + ∆x

(v) Come incentivo, viene offerto un salario senza imposizione fiscale per il solo lavoro straordinario. (Sug-gerimento: considerare la scelta ottima al salario netto da tasse relativo al punto (iii) come dotazione e

calcolatela nuova scelta ottima, considerando la dotazione residua di ore disponibili.) Qual'è il nuovo vincolo di bilancio? Qual'è il numero di ore lavorate? Sapete spiegare perché in questo caso le ore lavorate aumentano comunque, in generale, in misura maggiore?

SOLUZIONE

ESONEROI TURNO(i) ³ ´_w R + M2 2 m∗R (w, m) = =3 w 3 w_w mR + M∗C (w, m) = =3 3_dove abbiamo definito m = w R + M. L'offerta di lavoro e' m2∗ ∗L (w, m) = 16 − R (w, m) = 16 − 3 w(ii) w = 4, m = 4(16) + 10 = 74

Punto A: ½ 2 2m 74∗R (w, m) = = = 12.333 w 3 4A = 74∗C (w, m) = = 24.663 ed eventualmente ∗L (w, m) = 16 − 12.33 = 3.670 00(iii) w = 5, m = 5(16) + 10 = 90

Punto D: ½ 2 90∗ 0 00R (w , m ) = = 123 5D = 90∗ 0 00C (w , m ) = = 303 e ∗ 0 00L (w , m ) = 16 − 12 = 40 ∗ 0 ∗(iv) m = C (w, m) + w R (w, m) = 24.66 + 5(12.33) = 86.31

Punto B: ( 023

2 172.62m 86.31∗ 0 0R (w , m ) = = = = 11.510w 3 5 15B = 0m 86.31∗ 0 0(w , m ) = = = 28.77C 3 3e ∗ 0 0L (w , m ) = 16 − 11.51 = 4.49

Si deve prolungare il vincolo di bilancio iniziale fino all’asse delle ascisse, e fare ruotare il vincolo Punto C.di bilancio facendo perno in quel punto. Per trovare il punto dobbiamo risolvere il vincolo di bilancio iniziale per R e considerare C = 0. Si ha _w m 4(16) + M 74R + MR = = = = = 18.5w 4 4 4

Questo punto serve solo per fare il grafico. Per i calcoli e’ sufficiente calcolare la scelta ottima in funzione di 0 , m) . Si ha(w ½ 23 23m 74∗ 0R (w , m) = = = 9.860w 5C = 74∗ 0C (w , m) = = 24.663ed eventualmente ∗ 0L (w , m) = 16 − 9.86 = 6.143∗ ∗Calcoliamo le due equazioni di Slutsky per C e RT ot. S m Dot.∆x = ∆x − ∆x + ∆x[D − A] = (B − A) − (B − C) + (D − C)∗ 0 00 ∗ ∗ 0 0 ∗

0(w , m ) - R (w, m) = [R (w , m ) - R (w, m)] - [R (w , m ) - R (w , m)] +R * 0 00 * 0[R (w , m ) - R (w , m)][12 - 12.33] = (11.51 - 12.33) - (11.51 - 9.86) + (12 - 9.86)

Per il consumo * 0 00 * ** 0 0 * ** 0 0 * 0C (w , m ) - C (w, m) = [C (w , m ) - C (w, m)] - [C (w , m ) - C (w , m)] +* 0 00 * 0[C (w , m ) - C (w , m)][30 - 24.66] = (28.77 - 24.66) - (28.77 - 24.66) + (30 - 24.66)

(v) Il vincolo di bilancio è 0 * 0 *R = C (w, m) + w R (w, m)C + w 0Ma il membro di destra, che diventa il nostro nuovo reddito, è esattamente m . Pertanto il punto di ottimo inquesto caso è proprio il punto B. Sappiamo inoltre che la differenza (B - A) esprime esattamente l'effetto sostituzione che sappiamo essere sempre negativo. Pertanto se al crescere del salario, in

questo caso, diminuiscono le ore di relax, aumenterà necessariamente l'offerta di ore lavoro.

SOLUZIONE ESONERO 9 Aprile 1997II TURNO

(i) Il vincolo di bilancio è p p2 2p c + = p ω + (1)c ω1 1 2 1 1 21+ r 1+ r

Qual'è la pendenza della retta di bilancio? Dobbiamo risolvere la (1) per c in funzione di c. Si ha2 1p 2c = p ω + - p cω2 1 1 2 1 11+ rh ip1+rc = ω + ω - p cp 22 1 1 2 1 1p 1+rh i h i2 p p= (1 + r) -ω + ω (1 + r) c1 11 2 1p p2 2

Nella equazione qui sopra, il primo termine fra parentesi quadra indica l'intercetta sull'asse delle ordinate e il secondo la pendenza della retta di bilancio. Il sistema da risolvere èh i( pc = - (1 + r)- 12c p1 2p pp c + c = p ω + ω2 21 1 2 1 1 21+r 1+rdi due equazioni nelle incognite c, c,dove -c /c = SM S. Si ha1 2 2 1 p1c = (1 + r)c (2)2 1p2 4che sostituisco nel vincolo di bilancio. Ottengo p22p c = p

^ω + ^ω₁ 1 1 1 21+ re quindi m∗c =1 2p 1pdove m = p ^ω + ^ω , ovvero e’ il membro di destra del vincolo di bilancio. Sostituendo in (2) trovo21 1 21+r (1 + r) m∗ =c (3)2 p 22Notate che la (3) e’ una normale funzione di domanda Cobb-Douglas, dove il prezzo del secondo bene è p /(1+r).2Sostituendo i dati del problema (p = p = 1, r = −.25, ω = 500, ω = 100)otteniamo le scelte ottime rela-1 2 1 2tive al Innanzituttopunto A. 100m = 500 + = 633.33.75( m∗c (p , p , r, m) = = 316.661 21 2p1A = (1+r) m∗c (p , p , r, m) = = .75 (316.66) = 237.51 22 p 220 0(ii) I nuovi dati sono: p = 1, p = 3, r = +0.21 2 0p 3200 = p ω + ω = 500 + 100 = 750m 1 1 201 + r 1.2Le coordinate del sonopunto D  ³ ´ 0∗ 0 00, p , r , mp = 375c 11 2³ ´D =  0∗ 0 00c , p , r , m