Teoria del consumatore

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F CR (w , p , m ) = α 0wF = Cm0 0F CC (w , p , m ) = (1 − α) 0pU (A) = U (F ) ³ ´¡ ¢ (1−α)αm m= α (1 − α)C C0 0w p³ ´¡ ¢ (1−α)α (1−α)α= mC0 0w pda cui U (A)Cm = ³ ´¡ ¢ (1−α)α (1−α)α0 0w pCV C = m − m(viii) Costruiamo un’allocazione fittizia G (corrispondente a quella che nelle dispense chiamo D; quicambio lettera per evitare confusioni con la posizione D in Slutsky) che esprime la tangenza fra la curvad’indifferenza finale U (D) e il vincolo di bilancio ai prezzi iniziali.Innanzituttoµ ¶ µ ¶ µ ¶³ ´α (1−α) (1−α)00 00 αm αm (1 − α)1−α 00αU (D) = R C = α = m(1 − α)D D 0 0 0 0w p w pEIl punto G ha i prezzi iniziali e un reddito m (dove E sta per

“equivalente”) che è soluzione dell’uguaglianzaU (D) = U (G). ( EmG ER (w, p, m ) = α wG = EmG EC (w, p, m ) = (1 − α) pU (C) = U (G) ³ ´¡ ¢ (1−α)αm m= α (1 − α)E Ew p³ ´¢¡ (1−α)α (1−α)α= mCw p22da cui U (D)E =m ³ ´¡ ¢ (1−α)α (1−α)αw p EV E = m − m16. (13/11/97-Turno V)

Sia il problema del consumatoremax u(x , x ) = ax + bx1 2 1 2t.c. p x + p x = m1 1 2 2

Siano i parametri : 0Gruppo A: a = 2, b = 1, m = 100, p = 5, p = 10, p = 30.1 2 10Gruppo B: a = 1, b = 1, m = 200, p = 5, p = 10, p = 20.1 2 10Gruppo C: a = 2, b = 1, m = 100, p = 2, p = 10, p = 10.1 2 1e SM S = −a/b(i)

(Punti 4) Calcolate le funzioni di domanda per i due beni (punto A).

(Punti 4) Supponiamo che il primo prezzo vari in p , calcolate le scelte ottime in questo caso (scelta1finale: punto C).

1. (iii) (Punti 4) Definite m come la quantità di moneta capace di comprare il paniere iniziale ai nuovi prezzi e calcolate la scelta ottima (punto B) relativa a questo vincolo di bilancio.
2. (iv) (Punti 3) Calcolate l'effetto totale della variazione del prezzo sulla scelta ottima (x, x) come somma di effetto sostituzione ed effetto reddito T ot. S n∆x = ∆x + ∆x
3. (v) (Punti 2) Di quali tipi di beni si tratta e perché?
4. (vi) (Punti 4) Calcolate e disegnate la curva prezzo-consumo
5. (vii) (Punti 4) Calcolate e disegnate la curva di Engel per x e, separatamente, per x in funzione di m = 100, 200, 300 ai prezzi iniziali (l'esercizio è per quegli studenti che non sanno calcolare la derivata della funzione di domanda rispetto al reddito). Commentate.

Soluzione

(i) Per trovare la funzione di domanda non si deve utilizzare il solito sistema. Bisogna soltanto verificare se il SM S, che coincide con -a/b, è pari, minore o uguale a -p/p.

Poiché ¹/₂ m se a/b > p/p₁ ¹/₂p₁ p* m - x se a/b = p/p₂=x ²/₁ p p₂ se a/b < p/p₁ Poiché ⁰ se a/b > p/p₁ ¹/₂pm* - x se a/b = p/p₂=x ²/₂ se a/b < p/p₁ Scelta Iniziale (Punto A): bisogna paragonare il SMS al rapporto fra i prezzi iniziali ¹/₂ Bx (p , p , m) A : Bx (p , p , m) Scelta finale (Punto C): bisogna paragonare il SMS al rapporto fra i prezzi finali ¹/₂ Cx (p , p , m) C : Cx (p , p , m) Si definisce m = p x + p x e si calcola l'allocazione fittizia (punto B) ¹/₂ 0 0 Cx (p , p , m ) B : 0 0 Cx (p , p , m ) Per i = 1, 2 ¡ ¢ ¡ ¢ C A B A C Bx - x = x - x - x+ xi i i i i i Studiare i segni. Disegnate lo spostamento della scelta ottima al variare di m nel piano (x , m) e la sceltaottima1 1di x al variare di m nel piano (x , m) .2 2 , c ) = c + c e dotazioni ω = 20, ω = 40.17. (Varian) Un agente ha funzione di utilità U (c(14/10/98) 1 2 1 2 1 2Nel periodo 1, egli scopre da un antiquario un vaso, in vendita per $12, che è sicuro si possa rivendereper $20 nel periodo 2. Il vaso non dà alcun beneficio in termini di consumo, ma non ha nessun costo distoccaggio. Nel piano (c , c ) :1 2(i) Indicate la dotazione iniziale e la retta di bilancio che indica i panieri comprabili se non compra il vasoe non può né dare, né prendere a prestito (ovvero r = 0). Indicate il paniere disponibile se compra il vasoe lo rivende nel periodo successivo, impiegando il ricavato per acquistare beni di consumo nel periodo 2.Se egli non può né dare né prendere a prestito, deciderà di investire nell’acquisto del vaso?(ii) Se acquista il vaso e può prendere e dare a prestito al r = 50%, quale ottima1 1di x al variare di m nel piano (x , m) .2 2 , c ) = c + c e dotazioni ω = 20, ω = 40.17. (Varian) Un agente ha funzione di utilità U (c(14/10/98) 1 2 1 2 1 2Nel periodo 1, egli scopre da un antiquario un vaso, in vendita per $12, che è sicuro si possa rivendereper $20 nel periodo 2. Il vaso non dà alcun beneficio in termini di consumo, ma non ha nessun costo distoccaggio. Nel piano (c , c ) :1 2(i) Indicate la dotazione iniziale e la retta di bilancio che indica i panieri comprabili se non compra il vasoe non può né dare, né prendere a prestito (ovvero r = 0). Indicate il paniere disponibile se compra il vasoe lo rivende nel periodo successivo, impiegando il ricavato per acquistare beni di consumo nel periodo 2.Se egli non può né dare né prendere a prestito, deciderà di investire nell’acquisto del vaso?(ii) Se acquista il vaso e può prendere e dare a prestito al r = 50%, quale

sarà il vincolo di bilancio? Qualela curva di indifferenza relativa al paniere ottimo?

(iii) Siano i consumi dei due periodi sono perfetti complementi, U (x , x ) = min {c , c } . Se NON è1 2 1 2possibile dare e prendere a prestito, sarà preferibile investire o meno nel vaso? E se si può dare e prenderea prestito al r = 50%, sarà preferibile investire o meno nel vaso? E se r = 100%?

Soluzione[Varian] (i) Chiamiamo Ω = (20, 40) , la dotazione e V = (20 − 12, 40 + 20) la dotazione che includel’acquisto e la vendita del vaso. Se l’individuo NON può né dare né prendere a prestito può consumare inogni periodo semplicemente la dotazione. Pertanto la preferenza fra i due panieri rappresentati dalle duedotazioni può essere valutata semplicemente mediante la funzione di utilità. Si haU (Ω) = 20 + 40 = 60; U (V ) = 8 + 60 = 68Pertanto U (V ) > U (Ω) e l’individuo acquisterà il vaso.

Il vincolo di bilancio sarà c₁ + c₂ = 8 + 1/(1 + r), dove r è il tasso di interesse.

Il problema di ottimo sarà risolto per S*M*S ≥ -(1 + r)*c₁ + c₂ ≤ 60 + 8/(1 + r).

Tuttavia, S*M*S ≡ -1, quindi le curve di indifferenza sono meno pendenti del vincolo di bilancio.

Dal solito procedimento di ottimo o graficamente si ottiene c₁* = 0.1*c₂* = 0.72*c₂*, c* = 72.

Da cui la curva d'indifferenza sarà U(c₁, c₂) = min{c₁, c₂}, U(Ω) = 20, U(V) = 8, pertanto se non è possibile dare e prendere a prestito, NON acquisterà il vaso.

Se è possibile dare e prendere a prestito ad r = 50%, il vincolo di bilancio renderà raggiungibili i seguenti panieri: V B(Ω): c₁(1 + r) + c₂ = 20(1 + 0.5) + 40 ≡ 70.

Da cui c₁ = -c₂(1.5) + (70)2/1 e poiché la curva d'indifferenza più alta sarà raggiunta per c₁ = c₂, avremo c₁[1 + 1.5] = 70 ⇒ c₁ = 70/(2.5) = 28.

1. 28 ⇒ U (Ω) = 28
2. Se invece viene comprato il vasoV B(V ) : c (1 + r) + c = 8 (1 + 0.5) + 60 ≡ 721 2da cui c = −c (1.5) + (72)2 1e poichèla curva d’indifferenza più alta sarà raggiunta per c = c , avremo1 2c [1 + 1.5] = 72 ⇒ c = 72/(2.5) = 28.8 ⇒ U (V ) = 28.8
3. Dunque conviene comprare il vaso. SI
4. Se r = 100% ripetendo il ragionamento,V B(Ω) : c (1 + r) + c = 20 (1 + 1) + 40 ≡ 801 2se non viene comprato il vasoc [1 + (1 + r)] = 80 ⇒ c = 80/3 = 26.66 ⇒ U (Ω) = 26.66
5. Se invece viene comprato il vasoV B(V ) : c (1 + r) + c = 8 (1 + 1) + 60 ≡ 761 2c [1 + (1 + r)] = 76 ⇒ c = 76/3 = 25.33 ⇒ U (V ) = 25.33
6. l’utilità è minore, pertanto NON conviene comprare il vaso. NO
7. 1−αα18. (15/6/98) (i) Definire la scelta di un investitore con funzione di utilità u(x , x ) = x x e reddito m,1 2 1 2fra l’acquisto di un numero di azioni Eni e/o Olivetti ai prezzi p , p .1 2

0 0(ii) In un periodo successivo i prezzi di entrambe le azioni sono variati in p e p e il governo impone una1 2tassa del τ = 12.5% su ogni eventuale plusvalenza. Definire la nuova dotazione e quindi il nuovo vincolodi bilancio, e la nuova scelta.

(iii) Che cosa possiamo dire in merito agli effetti reddito e sostituzione?

0 0- Parametri A: α = 0.25, m = 10mil, p = 8000, p = 2000, p = 7500, p = 2500.

1 2 1 20 0- Parametri B: α = 0.5, m = 5mil, p = 5000, p = 3000, p = 5700, p = 2500.

1 2 1 20 0- Parametri C: α = 0.4, m = 30mil, p = 12000, p = 10000, p = 13000, p = 9000.

1 2 1 2Soluzione

Il problema dell’investitore e 1−ααmax u(x , x ) = x x1 2 1 2t.c. p x + p x = m1 1 2 2Da notare: (i) non c’è dotazione nel secondo periodo; (ii) non c’è forma d’investimento alternativa, ovveronon si può scambiare o indebitarsi al tasso d’interesse certo. Il solo rendimento è dato da (p /p ) .2 125Scelta iniziale

(A): ½ mA (p , p , ω ) = αx 1 2 11 pA : 1 mAx (p , p , ω ) = (1 − α)1 2 12 p2

Il governo impone una tassa percentuale sui guadagni in conto capitale pari al 12.5%.

Il guadagno in conto capitale è definito come l’incremento del prezzo0p − p11π = p1

Possiamo dunque dire che µ ¶0p − p 110 1 + = p= p (1 + π)p 1 11 p1

Nel caso di tassazione sui guadagni in conto capitale si determina un nuovo prezzo al netto della tassa epari a 00 = p [1 + π (1 − τ )]p 11 0 . Stesso per il prezzo del secondo bene.

L’analisi prosegue nel modo standard al nuovo p 1Dunque, nel secondo periodo, l’agente si ritrova con le azi