Tecnica delle costruzioni. Risoluzione di un telaio a nodi fissi.

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F4,70 4,70Fig. 1 – Telaio piano da risolvere 9607.564255.50 4255.504255.50 4255.50D IC3,00 8949.225572.19 5572.19 1913.581913.58B HE3658.61 3658.613,20 H/3 A GF956.79 956.794,70 4,70Fig. 2 diagramma del momento flettente scala delle lunghezze 1:100scala del momento 1cm=7500 daNm1Corso di Tecnica delle Costruzioni A.A. 2008/200911126.248848.76 D I11126.24C 8848.7610706.022638.04 2638.049268.98 EB H10706.02 9268.98896.99 896.99GFAFig. 3 – Diagramma del Taglio 2638.04 IDC8848.768848.76 22252.48 8848.76EB H1741.05 1741.05 GA F18117.74 18117.7443664.52Fig. 4 – Diagramma dello sforzo Normale scala delle lunghezze 1:100scala del Taglio 1cm=7500 daNscala dello sforzo Normale 1cm=15000 daN2Corso di Tecnica delle Costruzioni A.A. 2008/2009Verifica degli equilibri globali:q=4250 daN/m q=4250 daN/mC ID q=4250 daN/mq=4250 daN/mB HE Azioni NODO-ASTAAzioni ASTA-NODOA GFL=4.70m L=4.70mFig. 5 - schema per la verifica dell’equilibrio globaleEquazioni di equilibrio: ∑ =

⇔ − =R 0 T T 0
Traslazione orizzontale: x AB GH
∑ = ⇔ + + − =R 0 N N N 4 qL 0
Traslazione verticale: y AB FE GH( )∑ = ⇔ − − − + =A 2M 0 M M N L N 2 L 4 qL 0
Rotazione intorno al punto A: AB GH EF GH− =896 . 99 896 . 99 0 + + − ⋅ ⋅ =18117 . 74 43664 . 52 18117 . 74 4 4250 4 . 7 0 − − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =2956 . 79 956 . 79 43664 . 52 4 . 70 18117 . 74 2 4 . 70 4 4250 4 . 70 0
Le verifiche sono soddisfatte. scala lunghezze 1:1003
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Verifica dell’equilibrio alla traslazione orizzontale de traversi dei due impalcati:
C D I2638.04 2638.04
2638.04 2638.04
B HE896.99 896.99
Fig. 6 azioni taglianti sui due traversi.
Equazioni di equilibrio per i traversi:
− = − = T T 0 2638.04 2638.04 0
⇒CB IH − − + = − − + =T T T T 0 896.99 896.99 2638.04 2638.04 0
AB GH BC HI
Verifica

dell’equilibrio al nodo B: M_BCN + M + M_BCN + M_BE + M_MB + M_BET + M_BET + M_BA + M_BAM + M_BA+ = 0

 

 

Le verifiche sono soddisfatte.

4Corso di Tecnica delle Costruzioni A.A. 2009/2010

2. SCHEMA SEMPLIFICATO DI TRAVE CONTINUA SU TRE APPOGGI

PER I TRAVERSI DEL TELAIO

q=4250daN/m

C D I30x60 30x60

Fig. 7 schema semplificato

Lo schema in figura è simmetrico sia per la geometria che per il carico, è possibile dunque effettuare la seguente riduzione: q=4250daN/m C D schema isostatico equivalente

Applicando il metodo delle forze, si riporta di seguito lo schema isostatico equivalente:

q=4250daN/m XDD

L’equazione di congruenza è: ϕ = 0

Dϕ ϕ+ =Xq 0DD D

Considerando positive le rotazioni orarie, si ottiene:

3 2X L qL qL− = =⇒D X0 =11735.31 daNm

DEI EI3 24 8

Si ha pure che M

0.C scala lunghezze 1:1005

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Taglio e Momento del tratto CD:

q=4250daN/m

Equazioni indefinite dell'equilibrio del concio MD elementare:

dT/dx = -q

d^2M/dx^2 = -q

qL dxy = 9987.5daN^2

integrando le due equazioni differenziali, si ottiene:

M(x) = -qx^2/2 + Tx + C1

T(x) = -qx + C2

Fissate le condizioni al contorno possiamo determinare le due costanti:

T(0) = C2 = 7490.63daN

M(0) = C1 = 0

Le due leggi di variazione sono:

M(x) = -4250x^2/2 + 7490.63x

T(x) = -4250x + 7490.63

Per il calcolo delle ascisse di momento nullo:

x^2 - 4250x + 7490.63 = 0

x1 = 3.525m

Per il calcolo dell'ascissa di momento massimo:

T(x) = 7490.63daN

T = M(x) = 6601

Il momento in mezzeria è: DC x 2^L / (4.7 + 4.70) = -M x 2125 / (7490.63 + 5867.67)

TDC = 12484.37 daN

scala delle lunghezze 1:100

scala del Taglio 1cm = 7500 daN

scala del Momento 1cm = 7500 daNm

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Diagramma del Momento flettente: MD = 11735.31 daNm

D IC

Fig. 8 diagramma completo dedotto per simmetria

Diagramma del Taglio: TDI = 12484.37 daN

TCD = 7490.63 daN

DC ITID = 7490.63 daN

TDC = 12484.37 daN

Fig. 9 diagramma completo del taglio

scala delle lunghezze 1:100

scala del Taglio 1cm = 7500 daN

scala del Momento 1cm = 7500 daNm

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Calcolo delle Reazioni Vincolari, attraverso l'equilibrio alla traslazione verticale di ciascun nodo:

TCD = 7490.63 daN

TDC = 12484.37 daN

DI = ID = 7490.63 daN

T = R = T = TC = CD = 7490.63 daN

D = DC + DI = 24968.74 daN

ID = 7490.63 daN

Fig. 10 - le reazioni vincolari

Controllo dell'Equilibrio

della trave alla Traslazione Verticale: ∑ = VF 0i( ) ( )+ + − = R R R q 2 L 0C D I( )+ + − = 7490.63 24968.74 7490.63 39950 daN 0 (Equilibrio verificato)

Controllo dell'Equilibrio della trave alla Rotazione intorno al punto C: ∑ = C( )M 0i [ ] ( )− − ⋅ + ⋅ ⋅ = R L R L q L L2 2 0D I− − + = 117353.078 70411.922 187765 0 (Equilibrio verificato)

Calcolo delle rotazioni delle sezioni in corrispondenza degli appoggi:  3qLM Lϕ ϕ−= − + = + ⋅ = −3DC 6.81 10C IEI EI6 24 3M L qLϕ = − =DC 0D 3 EI 24 EI 8

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Deformata della trave: D IC F.T.F.T. F.T.Fig. 11 deformata qualitativa della trave

Confronto tra alcuni risultati (schema semplificato di trave su tre appoggi - traverso in schema atelaio) M M T T T TM C D I CD DC DI ID daNm daN

Schema semplificato 0 11735.31 0 7490.63 12484.37 12484.37 7490.63

Traverso 1° piano 5572.19 8949.22 5572.19 9268.98

10706.02 10706.02 9268.98

Traverso 2° piano

4255.50 9607.56 4255.50 8848.76 11126.24 11126.24 8848.76

Osservando i valori in tabella, per ciascuno dei tre schemi a confronto, si evidenzia la inesattezza ottenuta dalla semplificazione di un traverso di un telaio, in uno schema di trave continua su più appoggi. Si riscontra infatti per la funzione Momento una sovrastima della caratteristica flettente in corrispondenza dell’appoggio centrale, rispetto ai due momenti sui traversi e, l’annullamento della stessa funzione M(x) in corrispondenza dei due appoggi estremali della trave. In pratica non si tiene conto che le fibre superiori risultano tese. Per quanto riguarda la caratteristica tagliante T(x), nello schema di trave appoggiata i tagli a dx e a sx dell’appoggio centrale risultano sovrastimati, mentre quelli in corrispondenza degli appoggi di estremità risultano sottostimati.

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3. TELAIO PIANO A NODI SPOSTABILI

al 1° piano: T1 = IC + DF + 2T2 + HF + B + ET Equilibrio del traverso al piano terra: T0 = T1 + A + GF Equilibrio del traverso al 1° piano: T1 = T0 + 2T2 + 2A + B + ET Equilibrio del traverso al 2° piano: T2 = T1 + 2T2 + HF + B + ET Equilibrio del traverso al 3° piano: T3 = T2 + 2T2 + HF + B + ET Equilibrio del traverso al 4° piano: T4 = T3 + 2T2 + HF + B + ET Per risolvere il sistema di equazioni, si utilizzano le formule di Grinter: T2 = (T1 + T0 + A + B + ET) / 2 T1 = (T0 + 2T2 + 2A + B + ET) / 2 T0 = (T1 + IC + DF + 2T2 + HF + B + ET) / 2 Sostituendo i valori noti, si ottengono i seguenti risultati: T2 = (3556 + T0 + A + B + ET) / 2 T1 = (T0 + 2T2 + 2A + B + ET) / 2 T0 = (T1 + 1778 + 3,00 + 2T2 + 3,20 + B + ET) / 2 Si procede quindi a risolvere il sistema di equazioni per ottenere i valori dei taglianti di piano.

al 1° piano: =F + F = 5334 daN

Siccome tutti i ritti del telaio possono essere riconducibili a schemi di trave incastrata-incastrata,1ρ =essi saranno caratterizzati dallo stesso coefficiente di ripartizione a taglio:

Valore dei tagli alle estremità dei ritti:5334ρ =T T /3=T =T =T = = daN 1778 daNAB FE GH 1 1 33556ρ =T TT =T =T = = /3= daN 1185 . 33daNBC ED HI 2 2

Valore dei momenti alle estremità: ⋅ 1778 3 . 20 = M =M =M =(T H )/2= daN 2844 . 8 daNm·AB FE GH AB 1  