Taratura Statica: determinazione della curva di taratura dello strumento (potenziometro)

Y Y

( (

60 Uscita

Uscita 40 5,0

20

0 Curva di taratura Bande Inc. tipo

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 Bande Inc. tipo Bande Inc. estesa

-20 4,5 Bande Inc. Estesa

Ingresso ( X ) mm 10 Ingresso ( X ) mm 12,5

10

Taratura dello strumento con effetto di carico

Interpolazione dei dati raccolti per ottenere la curva di taratura con approssimazione di ordine:

ORDINE 2 ORDINE 3 ORDINE 4

(lineare) (polinomiale 2°grado) (polinomiale 3°grado)

salita4 salita4 salita4

10 10 10 3 2

y = 5E-07x - 0.0001x + 0.0412x - 0.0269

2

y = 6E-05x + 0.0261x + 0.1798 2

y = 0.04x - 0.2843 R = 0.9999

9 2

R = 0.9974

2

R = 0.988

8 8

8

7

6 6

6

lettura lettura

lettura 5

4 4

Y 4 Y

Y 3

2 2

2 0

0 1 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 -2

-2 X misurando

X misurando

X misurando discesa4

discesa4 discesa4

10 10 10 3 2

2 y = 5E-07x - 0.0001x + 0.0412x - 0.0265

y = 6E-05x + 0.026x + 0.1819

y = 0.04x - 0.2843 2

9 2 R = 0.9999

R = 0.9974

2

R = 0.9878

8 8

8

7

6 6

6

lettura

lettura lettura

5

4 4

Y 4

Y Y

3 2

2 2 0

0 1 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 0 -2

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

-2 X misurando

X misurando X misurando

salita5

salita5 discesa5

10

10 10 3 2

y = 5E-07x - 0.0001x + 0.0411x - 0.0277

2

y = 6E-05x + 0.026x + 0.1817 2

y = 0.04x - 0.2825 R = 0.9999

9 2

R = 0.9974

2

R = 0.9879 8

8 8

7

6 6

6

lettura

lettura lettura

5 4

4 Y 4

Y Y

3 2

2 2 0

0 1 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 0 -2

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

-2 X misurando

X misurando X misurando

discesa5 discesa5

discesa5 10 10

10 3 2

y = 5E-07x - 0.0001x + 0.0411x - 0.0277

2

y = 6E-05x + 0.0259x + 0.1797 2

y = 0.04x - 0.2881 R = 0.9999

9 2

R = 0.9974

2

R = 0.9878 8

8 8

7

6 6

6

lettura

lettura lettura

5 4

4 Y 4 Y

Y 3 2

2 2

0 0

1

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0

-2 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 -2

X misurando X misurando

X misurando 11

salita6

salita6

salita6 10

10

10 3 2

y = 5E-07x - 0.0001x + 0.0413x - 0.0272

2

y = 6E-05x + 0.026x + 0.1817 2

y = 0.04x - 0.2852 R = 0.9999

2

9 R = 0.9974

2

R = 0.9878 8

8 8

7 6

6 6

lettura

lettura lettura

5 4

4 Y 4 Y

Y 3

2 2

2

0 0

1

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

-2 -2

X misurando X misurando X misurando

discesa6 discesa6 discesa6

10 10 10 3 2

y = 5E-07x - 0.0001x + 0.0413x - 0.026

2

y = 6E-05x + 0.0259x + 0.184

y = 0.04x - 0.2835 2

R = 0.9999

9 2

R = 0.9974

2

R = 0.9877

8 8

8

7

6 6

6

lettura

lettura lettura

5 4

4 Y 4 Y

Y 3 2

2 2 0

1

0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 -2

-2 X misurando

X misurando

X misurando

Utilizzando la funzione REGR.LIN applicata a tutti gli ingressi e a tutte le uscite, otteniamo una

matrice di cinque righe e due colonne che ci fornisce una serie di dati relativi alla curva di taratura:

Spiegazione dei valori restituiti Valori restituiti

coefficiente angolare ordinata all'origine

della curva di taratura della curva di 0,039968 -0,28466

angolare taratura

/ / 0,000582 0,077685

2

R Eqm 0,987848 0,323756

/ n-p 4714,932 58

/ / 494,2093 6,079439

Curva di taratura (1°grado)

10

8 salita 4

6 discesa 4

lettura salita 5

4 discesa 5

Y salita 6

2 discesa 6

0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

-2 X misurando 12

2 è prossimo all’unità, l’approssimazione della curva di tendenza ad una retta

Anche se il valore di R

in questo caso non sembra accettabile. Infatti, le letture sono distribuite con simmetria al di sopra

della retta per gli ingressi compresi tra 0 mm e 75 mm, mentre si trovano al di sotto per ingressi

compresi tra 125 mm e 175 mm. Ciò suggerisce un andamento delle letture secondo una cubica.

lineare.

Inoltre, al fondoscala 225 mm i dati si discostano notevolmente dall’andamento È

opportuno procedere al calcolo della curva di taratura di un ordine superiore, almeno il terzo

(2°grado), o addirittura il quarto (3°grado).

Curva di taratura (2°grado) Curva di taratura ( 3° grado )

10

10

9 8

8 salita 4

7 salita 4 6 discesa 4

lettura 6 lettura

discesa 4 salita 5

5 4

salita 5 discesa 5

4

Y Y

discesa 5

3 salita 6

2

2 discesa 6

salita 6

1 0

discesa 6

0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 -2

X m isurando X misurando

10 10

9 9

8 8

7 7

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

0 0

0 50 100 150 200 0 50 100 150 200

I primi due grafici sono stati ottenuti interpolando tutte le 60 misurazioni in un foglio di lavoro di

Microsoft Excel. Utilizzando il programma Matlab 7 è stato possibile determinare l’equazione della

polinomiale di grado superiore al primo. Abbiamo così realizzato gli ulteriori due grafici dove i

mentre l’asterisco verde identifica i valori calcolati sulla

cerchietti blu sono le letture sperimentali,

curva di taratura. Per eseguire tali operazioni in Matlab 7, una volta introdotti i due vettori colonna

X e Y di 60 elementi ciascuno, X con la sequenza dei 10 valori dei millimetri in ingresso ripetuti

per 6 volte e Y con le 60 corrispondenti letture, è necessario utilizzare è le seguenti funzioni:

p=polyfit(X,Y,n);

f=polyval(p,X);

table = [X Y f Y-f]

plot(X,Y,'o', X, f,'+') 13

polyfit

- è la funzione che ricevuti in ingresso due vettori, variabile indipendente e variabile

dipendente, calcola gli n coefficienti del polinomio di grado n associato.

polyval

- è la funzione che ricevuto un vettore di ingressi X e il vettore dei coefficienti di un

polinomio p, valuta il valore assunto dal polinomio per X.

table

- permette di raccogliere in una tabella i valori X, Y e i corrispondenti valori di f, cioè il

valore della curva interpolante in corrispondenza dello stesso misurando, e Y-f, cioè i residui.

plot

- permettere di ottenere un grafico dei valori misurati con la curva di taratura e le letture

sperimentali.

Coefficienti calcolati per la polinomiale di terzo ordine:

p = 0.00006215285859 0.02598364601010 0.18148919696970

-5 2

y = 6∙ 10

Polinomio relativo: x + 0.0260 x + 0.1815

Coefficienti calcolati per la polinomiale di quarto ordine:

p = 0.00000052849668 -0.00011621477078 0.04121095659156 -0.02660637062937

-7 3 2

y = 5∙ 10

Polinomio relativo: x - 0.0001 x + 0.0412 x -0.0266

Tabella dei residui relativi alla curva interpolante di 2°ordine

discesa 4 discesa 5 discesa 6

misurando X Salita4 (V) salita 5 (V) salita 6 (V)

(V) (V) (V)

(mm)

0 0.2847 0.2847 0.2847 0.2847 0.2847 0.2848

25 0.1865 0.1893 0.1902 0.1839 0.1864 0.1916

50 0.0799 0.0784 0.0822 0.0713 0.0817 0.0795

75 -0.0736 -0.0744 -0.0758 -0.0784 -0.0722 -0.0746

100 -0.2287 -0.2354 -0.2285 -0.2286 -0.2283 -0.2305

125 -0.3420 -0.3403 -0.3475 -0.3570 -0.3471 -0.3499

150 -0.3764 -0.3806 -0.3773 -0.3841 -0.3791 -0.3770

175 -0.2696 -0.2740 -0.2681 -0.2733 -0.2661 -0.2836

200 0.0552 0.0476 0.0487 0.0470 0.0556 0.0546

225 0.6996 0.7018 0.6962 0.6982 0.7068 0.7007

Tabella dei residui relativi alla curva interpolante di 3°ordine

discesa 4 discesa 5 discesa 6

misurando X Salita4 (V) salita 5 (V) salita 6 (V)

(V) (V) (V)

(mm)

0 -0.1814 -0.1814 -0.1814 -0.1814 -0.1814 -0.1814

25 0.0311 0.0339 0.0348 0.0285 0.0311 0.0363

50 0.1576 0.1561 0.1599 0.1490 0.1594 0.1572

75 0.1595 0.1587 0.1572 0.1547 0.1609 0.1585

100 0.0821 0.0754 0.0823 0.0822 0.0825 0.0803

125 -0.0312 -0.0295 -0.0367 -0.0463 -0.0363 -0.0392

150 -0.1433 -0.1475 -0.1442 -0.1511 -0.1460 -0.1439

175 -0.1919 -0.1963 -0.1904 -0.1957 -0.1884 -0.2059

200 -0.1002 -0.1078 -0.1067 -0.1083 -0.0997 -0.1008

225 0.2335 0.2356 0.2301 0.2321 0.2407 0.2346 14

Tabella dei residui relativi alla curva interpolante di 4°ordine

discesa 4 discesa 5 discesa 6

misurando X Salita4 (V) salita 5 (V) salita 6 (V)

(V) (V) (V)

(mm)

0 0.0267 0.0267 0.0267 0.0267 0.0267 0.0267

25 -0.0383 -0.0354 -0.0345 -0.0408 -0.0383 -0.0331

50 -0.0158 -0.0173 -0.0135 -0.0244 -0.0140 -0.0162

75 0.0059 0.0051 0.0036 0.0011 0.0073 0.0049

100 0.0226 0.0159 0.0228 0.0227 0.0230 0.0208

125 0.0283 0.0299 0.0228 0.0132 0.0231 0.0203

150 0.0103 0.0061 0.0093 0.0025 0.0076 0.0097

175 -0.0185 -0.0229 -0.0170 -0.0222 -0.0150 -0.0325

200 -0.0308 -0.0384 -0.0373 -0.0390 -0.0304 -0.0314

225 0.0254 0.0275 0.0220 0.0240 0.0326 0.0265

1 residui al 2°grado

0.8 residui al 3°grado

residui al 4°grado

residui = 0

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4 0 50 100 150 200 250

2 , l’errore

Sempre sfruttando Matlab è possibile calcolare il coefficiente R quadratico medio e

l’errore medio standard delle tre diverse curve di taratura: 

2  

R = 0.9878 Eqm1 = 0.1048 Errore medio standard = 0.3238 V

Em



2  

R = 0.9974 Eqm2 = 0.0228 Errore medio standard = 0.1510V

Em



2 -4

 

R = 0.9999 Eqm3 = 6.29∙10 Errore medio standard = 0.0251 V

Em

Decidiamo di proseguire i calcoli facendo riferimento solo alla curva di taratura di 4°ordine che

presenta, che presenta, come è giusto aspettarsi, errore minore rispetto alle altre due.

r 1

mm

   

L’incertezza del campione di riferimento è come nel caso ideale 0.2887 mm

Ic 2 3 2 3

convertire l’incertezza del campione di riferimento da mm a V, cioè in

A questo punto è necessario

modo che la sua unità di misura sia la stessa di quella dell’uscita.

 ∙ 0.0399

= 0.2887 mm V/mm = 0.0115 V

EIc 15

   

L’incertezza di misura composta,  

 

2 2

relativa alla curva di taratura di 4°ordine u c EIc Em

risulta:    

  

2 2 V

u 0

.

0251 0

.

0115 0

.

027