Relazione Laboratorio - Taratura Dinamica con Ingresso a Gradino - Strumento I Ordine

Taratura dinamica di una termocoppia con ingresso a gradino

Sommario

L'oggetto dell'esperienza di laboratorio 5 consisteva nella taratura dinamica di una termocoppia mediante l'utilizzo di un ingresso a gradino. In particolare, attraverso la taratura dinamica si vuole determinare la prontezza della termocoppia.

Innanzitutto, si procede modellando la termocoppia come uno strumento del 1° ordine. Quindi si ottiene la seguente equazione differenziale che descrive il comportamento della termocoppia. Utilizzando condizioni al contorno note, si procede a risolvere il problema di Cauchy trovando una funzione che dipenderà dai parametri e.

Per la determinazione della costante si procede in 4 modi differenti per effettuare valutazioni sulle eventuali differenze. L'obiettivo è trovare una costante di tempo in modo che la curva analitica approssimi nella miglior maniera possibile la serie di dati sperimentali. I risultati delle 4 valutazioni sono i seguenti:

Considerando il metodo di calcolo della costante di tempo, si ha che la soluzione più accurata è quella del metodo 4, ovvero \( \tau = 2.668 \).

Teoria minima

Lo scopo del laboratorio è determinare la prontezza di uno strumento del primo ordine, perciò utilizziamo una termocoppia che è un esempio di questa categoria di strumenti. Si ha quindi un'equazione differenziale che descrive il comportamento dello strumento:

\( y(t) \cdot \tau + y = K \cdot x(t) \)

Dove \( y(t) \) è l'uscita dello strumento, \( x(t) \) è l'ingresso di temperatura rilevato dallo strumento e K generalmente è una funzione del tempo, la sensibilità statica dello strumento, la costante di tempo dello strumento (caratteristica da determinare).

Ingresso

In particolare, si applica alla termocoppia un ingresso a gradino del tipo:

• Temperatura = 0°C se \( t \leq 0 \)
• Temperatura = 1°C se \( t > 0 \)

Si ha quindi che ad un determinato istante di tempo la temperatura che rileva la termocoppia passa da 0°C a 1°C (quindi l'ingresso in \( x(t) \) ha una discontinuità di tipo salto).

Per semplificare i procedimenti analitici poniamo \( K = 1 \), facendo ciò non si applica nessuna approssimazione, semplicemente si centra l'attenzione sul fenomeno da studiare. Si costruisce il problema di Cauchy nel seguente modo:

• \( y(t) \cdot \tau + y = 1 \cdot u(t) \)
• \( y(0) = 0 \)
• \( y(+\infty) = 1 \)

Dove le ultime due espressioni sono le condizioni al contorno. La funzione soluzione del problema di Cauchy è la seguente:

\( y(t) = 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \)

Questa è la funzione che descrive il comportamento ideale di uno strumento del primo ordine. Si nota subito la dipendenza da due parametri: la sensibilità statica, determinata attraverso la taratura di sensibilità statica, e la costante di tempo caratteristica dello strumento, che fornisce informazioni sulla prontezza dello strumento. Di fianco la figura (1) mostra la dipendenza da \(\tau\) dell'esponenziale: minore è \(\tau\), più rapido è il sistema nel raggiungere il valore di regime.