Relazione di laboratorio: taratura statica

P indica il numero di punti, ossia il numero di misurazioni effettuate.

Calcolati i parametri che definiscono la relazione lineare dello strumento, si

procede al calcolo dell’incertezza strumentale. Questa e data dalla somma in

quadratura dello scarto tipo di linearita , pari allo scarto tipo, e dell’incertezza del

misurando.

Calcolo dello scarto tipo di linearita

: 2

∑

[ − ( ∙ + )] [4]

=1

√

√

= =

−2 −2

4

A denominatore troviamo P-2, poiche gli elementi fissi all’interno della relazione

sono la sensibilita S e l’intercetta q, elementi che reggono la relazione della retta y

= Sx + q. Avere un numero di punti pari a 2, e la condizione limite per parlare di

un’unica retta.

Procediamo al calcolo dell’incertezza strumentale: [5]

2 2

√

= + ( ∙ )

Per verificare che il modello lineare sia adatto alla descrizione della relazione

input-output dello strumento, si calcola il coefficiente di determinazione R :

2

=1 2

∑

[ + − ̅]

[6]

2

= = =1 2

∑

[ − ̅]

Dove:

• SSR (Sum of Squares Regression), rappresenta la somma dei quadrati delle

differenze tra i valori predetti dal modello e la media dei valori osservati

della variabile dipendente.

• SST (Sum of Squares Total), rappresenta la somma dei quadrati delle

differenze tra i valori osservati della variabile dipendente e la sua media.

Il coefficiente di determinazione permette di valutare se e corretta o meno una

rappresentazione lineare, se:

• R ≃ 1, allora tutti i punti giacciono sulla retta.

2

• R ≃ 0, i punti sono distribuiti casualmente.

2

Un valore di R prossimo a uno e una condizione necessaria ma non sufficiente per

2

la verifica della bonta dell’approssimazione dei dati. In particolare, tale

coefficiente non e sempre in grado di darci informazioni direttamente utilizzabili

circa l’adeguatezza del modello scelto, si rivela necessario implementare lo studio

della distribuzione dei residui, la quale, deve risultare normale (Gaussiana).

5

Infine, definita la curva di taratura caratterizzante lo strumento e calcolata

l’incertezza strumentale estesa, ottenuta moltiplicando l’incertezza tipo per un

opportuno fattore di copertura k, e possibile individuare il campo di accettabilita

delle misure.

3. CORPO DEL LAVORO

3.1 Descrizione apparato sperimentale

Durante la taratura statica e stata condotta mediante la seguente strumentazione:

• Cella di carico, trasduttore di forza costituito da un piatto quadrato sopra

il quale si posiziona la massa che produce una deformazione nell’elemento

deformabile estensimetrico, quindi l’input nello strumento.

6

• Centralina di acquisizione HBM-SCOUT 55

Classe di precisione 0.1

o FS ±10V,

o

Funziona come circuito di amplificazione e condizionamento per i segnali

provenienti dalla cella di carico

• Pesiera in linea con l’OIML R111-1, ossia la norma dell’Organizzazione

Internazionale di Metrologia Legale che definisce i requisiti generali per le

celle di carico e la loro taratura. Le masse della pesiera sono di classe di

tolleranza M3; masse da 10g, 20g, 50g, 100g, 200g, 500g, 1000g

7

3.2 Dati di misura

A seguito dell’azzeramento della centralina Scout a cella di carico scarica, si

procede all’acquisizione di 3 serie di dati, ognuna formata da un ciclo dato da una

fase di incremento ed una di decremento.

Prima serie: +10, +20, +50, +100, +200, +500, +100

Seconda serie: +100, +100, +100, +100, +100, +100, +100, +100, +100, +100

Terza serie: +250, +250, +250, +250

PRIMA SERIE SECONDA SERIE TERZA SERIE

IN [g] OUT [V] IN [g] OUT [V] IN [g] OUT [V]

0 0,000 0 0,000 0 0,000

INCREMENTO

10 0,002 100 0,027 250 0,069

INCREMENTO 30 0,008 200 0,055 500 0,138

INCREMENTO

80 0,021 300 0,082 750 0,207

180 0,049 400 0,110 1000 0,278

380 0,105 500 0,138 750 0,207

DECREMENTO

880 0,239 600 0,164 500 0,139

980 0,263 700 0,192 250 0,069

1000 0,268 800 0,221 0 0,000

980 0,263 900 0,247

880 0,241 1000 0,275

DECREMENTO 380 0,106 900 0,248

180 0,051 800 0,221

80 0,024 700 0,194

DECREMENTO

30 0,010 600 0,166

10 0,004 500 0,139

0 0,001 400 0,112

300 0,084

200 0,056

100 0,029 Tabella 1

0 0,001

8

Si procede alla rappresentazione della relazione ingresso-uscita mediante grafico

dispersione x-y, dove sull’asse delle ascisse troviamo i valori in input [g], sull’asse

delle ordinate i valori in output [V].

DATI DI MISURA

PRIMA SERIE SECONDA SERIE TERZA SERIE

300

280

260

240

220

200

[mV] 180

160

USCITA 140

120

100

80

60

40

20

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

620

640

660

680

700

720

740

760

780

800

820

840

860

880

900

920

940

960

980

1000

1020

1040

1060

ENTRATA [g] Grafico 1

Seguendo le relazioni [3], o applicando la funzione Regressione lineare sul foglio

di calcolo sui dati acquisiti, si procede alla determinazione dei parametri della

relazione lineare: m (S) [V/g] 0,272781236

q [V] 0,969208019 Tabella 2

9

3.3 Analisi dei dati

3.3.1 Curva di Taratura

Quindi si ottiene la rappresentazione della curva di taratura f(x), e la si confronta

con i dati di misura. GRAFICO DI TARATURA

PRIMA SERIE SECONDA SERIE TERZA SERIE RETTA DI TARATURA

300

280

260

240

220

200

[mV] 180

160

USCITA 140

120

100

80

60

40

20

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

420

440

460

480

500

520

540

560

580

600

620

640

660

680

700

720

740

760

780

800

820

840

860

880

900

920

940

960

980

1000

1020

1040

1060

ENTRATA [g] Grafico 2

3.3.2 Valutazione dell’Incertezza

Determiniamo il minimo della sommatoria degli scarti in quadratura SSE,

mediante la funzion regressione lineare del foglio di calcolo, per poi calcolare lo

scarto tipo di linearita

.

SSE P-2 Slin

164,87 45 1,91 Tabella 3

10

L’incertezza strumentale secondo la relazione [5] tiene conto anche

dell’incertezza del misurando, per la determinazione di quest’ultima si procede

ricercando l’errore massimo all’interno di tabelle normate secondo l’OIML R111-

1, norma che definisce l’errore massimo dei campioni, tollerato per la taratura di

celle di carico. Si sceglie il caso piu critico considerando la classe M3

corrispondente alla massa piu grande adottata nell’operazione di taratura (500g),

per poi dividere questo valore per , di modo da trovare il valore di incertezza.

√3

Errore massimo, classe M3 ± 0,25 g

Incertezza ± 0,15 g Tabella 4

Procedo al calcolo dell’incertezza strumentale [5], che tiene conto dello scarto tipo

di linearita e dell’incertezza del campione di misura, essendo due grandezze che

fanno riferimento, la prima all’output e la seconda all’input, si rivela necessario

portare l’incertezza del misurando all’output, moltiplicandola per la sensibilita

statica. S [mV] i [g] i [mV]

lin c s

1,91 0,15 1,91 Tabella 5

Il risultato conferma un’ipotesi che poteva essere formulata a priori: l’incertezza

del campione di misura, rispetto allo scarto tipo di linearita e trascurabile,

portando a coincidere quest’ultimo con l’incertezza strumentale.

11

Data l’incertezza strumentale, procediamo cercando l’incertezza estesa. Tramite

la tabella della distribuzione t-student cerchiamo il fattore moltiplicativo k.

Entriamo in tabella conoscendo il numero di gradi di liberta ν e il livello di

confidenza che si desidera avere.

ν LC k

46 95% 2,013 Tabella 6

[7]

( 95%)

= ∙ = 3,85

3.3.3 Confronto curve di taratura considerando l’incertezza

Trovata l’incertezza estesa [7], tracciamo 4 nuove curve di taratura, che seguono

rispettivamente la relazione f(x)+i e f(x)-i ; f(x)+i e f(x)-i .

tipo tipo est est

CONFRONTO CURVE DI TARATURA

60,00

55,00

50,00

45,00

40,00 RETTA IDEALE

35,00

[mV] RETTA + INCERTEZZA ESTESA

30,00

USCITE RETTA - INCERTEZZA ESTESA

25,00

20,00 RETTA + INCERTEZZA TIPO

15,00 RETTA - INCERTEZZA TIPO

10,00

5,00

0,00

-5 15 35 55 75 95 115 135 155 175 195 215 235

-5,00 ENTRATE [g] Grafico 3

12

3.3.4 Verifica dell’ipotesi di linearità

Si procede ora allo studio della validita del modello adottato, mediante il calcolo

del coefficiente di determinazione R tramite la funzione regressione lineare [6]

2

del foglio di calcolo, e la valutazione della distribuzione degli scarti.

R Tabella 7

2 0,999612045

Il coefficiente di determinazione e prossimo a 1, quindi il modello lineare potrebbe

essere una rappresentazione corretta, ma per avere la conferma e necessario

analizzare la distribuzione degli scarti.

Calcolo gli scarti [8]

= − ( ∙ + )

e lo scarto, e il risultato di misura,

( ∙ + ) è l’output della relazione

lineare.

Plottando gli scarti si ottiene la seguente dispersione:

ANALISI DEI RESIDUI

5

4

3

2 PRIMA SERIE

1

[mV] 0 SECONDA SERIE

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050

RESIDUI -1 TERZA SERIE

-2

-3

-4

-5

-6

-7 ENTRATE [g] Grafico 4

13

I residui sono molto dispersi lungo l’asse delle ascisse, questo fa supporre ad una

dispersione Gaussiana. Tale supposizione è verificabile graficamente.

Si procede normalizzando i residui, rappresentandoli su un grafico a istogramma

e confrontandoli con una curva gaussiana.

Analisi dei residui

16

14

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5