Svolgimento Esercizi Analisi 2

ZZZ Z ZZ

x dxdydz = ( x dxdy)dz

E 0 C

z

ed utilizzando le coordinate polari per calcolare l’integrale doppio si ha

2 2π 3 2 2π 3

ZZZ Z Z Z Z Z Z

2 2

x dxdydz = ( ( ρ cos θ dρ)dθ)dz = dz cos θ dθ ρ dρ = 0

E 0 0 1 0 0 1

8. Il dominio E risulta dominio normale rispetto al piano (x, y) con

p p

2 2 2 2

{(x, | ∈ ≤ ≤ − } {(x, | ≤ ≤

E = y, z) (x, y) C, 0 z 4 x + y dove C = y) 1 x + y 4}

Dalle formule di riduzione risulta allora

√ 2 2

x +y

4− ZZ

ZZZ ZZ Z 1 p 2

2 2

−

z dz) dxdy =

m(E) = z dxdydz = ( (4 x + y ) dxdy

2

0 C

E C

e passando alle coordinate polari otteniamo 4

4

2π Z

Z

Z

1 2

2 −

− ρ(ρ 8ρ + 16) dρ

ρ(4 ρ) dρ) dθ = π cos θd

(

m(E) = 2 1

1

0 4

4

8 ρ 63

2 3

−

= π 8ρ ρ + = π

3 4 4

1 p

2 2 2 2

In alternativa, osservato che l’intersezione tra il cilindro x +y = 1 ed il cono x + y =

−

4 z è data da ( (

2 2 2 2

x + y = 1 x + y = 1

⇐⇒

p 2 2 −

x + y = 4 z z =3

potremo scrivere p 2 2

{(x, | ∈ ∈ } {(x, | ≤ ≤ −

E = y, z) z [0, 3], (x, y) C dove C = y) 1 x + y 4 z}

z z

Dalle formule di riduzione si ottiene allora

3 3

ZZZ Z ZZ Z 2

− −

m(E) = z dxdydz = ( z dxdy)dz = π z((4 z) 1) dz

E 0 C 0

z 3

3 3 4

Z 15 z z 63

2 2

− −

z(15 8z + z ) dz = π

= π z 8 + = π

2 3 4 4

0 0

Per quanto riguarda le coordinate (x , y , z ) del baricentro, osserviamo che per simme-

B B B

tria del dominio e della densità di massa risulta x = y = 0 mentre

B B

ZZZ ZZZ

1 4

2 2

z = z dxdydz = z dxdydz

B m(E) 63π

E E

48 .

e procedendo come sopra si ottiene z =

B 35 2 2 2 2

9. Osserviamo che l’intersezione tra i paraboloidi z = 3(x + y ) e z = 1 + x + y è data da

( ( 1

2 2 2 2

z = 3(x + y ) x + y = 2

⇐⇒ 32

2 2

z = 1 + x + y z =

Il dominio E risulta dunque dominio normale rispetto al piano (x, y) con 1

2 2 2 2 2 2

{(x, | ∈ ≤ ≤ } {(x, | ≤ }

E = y, z) (x, y) C, 3(x + y ) z 1 + x + y dove C = y) x + y 2

Dalle formule di riduzione risulta allora

2 2

1+x +y

ZZZ Z Z Z ZZ 2 2 2 2

−

V (E) = dxdydz = ( dz) dxdy = 1 + x + y 3(x + y ) dxdy

2 2

E C 3(x +y ) C

e passando alle coordinate polari otteniamo

1 1

2π √ √

Z Z Z

2 2

2 2 3

− −

V (E) = ( (1 + ρ 3ρ )ρ dρ) dθ = 2π ρ 2ρ dρ

0 0 0

1

√

2 4

ρ ρ π

2

−

= 2π =

2 2 4

0

∪

In alternativa, osservato che E = E E dove

1 2 z

2 2 }

{(x, | ∈ ∈ } {(x, | ≤

E = y, z) z [0, 1], (x, y) D con D = y) x + y

1 z z 3

e 3 z

2 2

{(x, | ∈ ∈ } {(x, | − ≤ ≤ },

E = y, z) z [1, ], (x, y) C con C = y) z 1 x + y

2 z z

2 3

dalle formule di riduzione otteniamo

ZZZ ZZZ

V (E) = V (E ) + V (E ) = dxdydz + dxdydz

1 2 E E

1 2 3

3 1

1 Z

ZZ Z

Z ZZ Z z

z

2 2 −

dz + π z + 1) dz

( dxdy)dz = π (

= ( dxdy)dz + 3 3

0 D 1 C 0 1

z

z 3

1

2 2

z z π

2

−

= π + π z = .

6 3 4

0 1

Campi vettoriali

−

sin x cos y cos x sin y

1. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = , , ,

2

z z z

a) Stabilire se il campo è irrotazionale nel suo dominio.

b) Stabilire se il campo è conservativo nel suo dominio ed in caso affermativo determinarne

un potenziale.

1

2x ,

2. Dato il campo vettoriale F (x, y) = , 2y +

2 2 2 2

(y + x ) (y + x )

a) Stabilire se il campo è irrotazionale sul suo dominio.

b) Stabilire se il campo è conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne

un potenziale. 2

− ∈

c) Calcolarne il lavoro lungo la curva di equazione cartesiana y = 1 x , x [−1, 1].

2

x

3. Dato il campo vettoriale F (x, y) = (2x log y, + 2y log y),

y

a) Stabilire se il campo è conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne

un potenziale. t 2t ∈

b) Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (e , e ), t [0, 1].

2

4. Dato il campo vettoriale F (x, y) = (2x sin y + cos x, x cos y + sin y), stabilire se il campo

è conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne un potenziale. Cal-

π

∈

colarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (π cos t, π sin t), t [0, ].

2

2 2 2 2 2

5. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = (xz , yz , z(x +y +z )), stabilire se il campo è con-

servativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne un potenziale. Calcolarne

∈

il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (cos t, sin t, t), t [0, 2π].

2 2

− −

2y z x y

2x , stabilire se il campo è

6. Dato il campo vettoriale F (x, y, z) = , , 2

z z z

conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne un potenziale.

π

−1), ∈ ].

Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (cos t, sin t, t [0, 2

2

y x 2 2 −

7. Dato il campo vettoriale F (x, y) = + x , y log(x 1) , stabilire se il campo è

2 −

x 1

conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne un potenziale.

∈

Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (3 + cos t, sin t), t [0, π].

8. Dato il campo vettoriale 2 2 2

− −

−

yz z + yx 2z y

x z

F (x, y, z) = ( , )

,

2

x x x

stabilire se risulta conservativo nel suo dominio ed in caso affermativo calcolarne un

∈

potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (1 + t, cos t, sin t), t [0, π].

9. Dato il campo vettoriale 2 −

log z y x log z x

F (x, y, z) = ( , ),

,

2

y y yz

stabilire se risulta conservativo nel suo dominio ed in caso affermativo calcolarne un

∈

potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (cos t, 1 + sin t, 1), t [0, π].

10. Dato il campo vettoriale −

log z y x log z x

F (x, y, z) = ( , , ),

2

y y yz

stabilire se risulta conservativo nel suo dominio ed in caso affermativo calcolarne un

∈

potenziale. Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (sin t, 2 + cos t, 1), t [0, π].

q

y xy

p

2

11. Dato il campo vettoriale F (x, y) = (1 + 3x + , 2 + 2y + ),

x

a) Stabilire se il campo è conservativo sul suo dominio ed in caso affermativo determinarne

un potenziale. 2 ∈

b) Calcolarne il lavoro lungo la curva ϕ(t) = (t + 1, t + 2), t [0, 1].

Risoluzione

1 3

C {(x, ∈ | 6

1. (a) Il campo è definito e di classe nel suo dominio A = y, z) z = 0} ove

R

risulta irrotazionale essendo

∂F ∂F ∂F sin x ∂F cos y

∂F ∂F

1 2 1 2

3 3

− − ∀(x, ∈

=0= , = , = , y) A.

= =

2 2

∂y ∂x ∂z z ∂x ∂z z ∂y

(b) Poichè il dominio A non risulta semplicemente connesso, non possiamo dire che

essendo irrotazionale il campo è conservativo in A. Possiamo però dire che essendo irro-

+

tazionale il campo risulta conservativo nelle componenti semplicemente connesse A =

−

3 3

{(x, ∈ | {(x, ∈ |

y, z) z > 0} e A = y, z) z < 0}.

R R ±

Per determinare un potenziale U (x, y, z) di F (x, y, z) in A , osserviamo che tale funzione

dovrà soddisfare le condizioni −

sin x ∂U cos y ∂U cos x sin y

∂U = , = e = 2

∂x z ∂y z ∂z z

Dalla prima delle tre condizioni abbiamo che

Z sin x cos x

−

U (x, y, z) = dx = + C (y, z)

1

z z

e dalla seconda ∂U ∂C

cos y 1

= =

z ∂y ∂y

Dunque Z sin y

cos y

C (y, z) = dy = + C (z)

1 2

z z

da cui cos x sin y

−

U (x, y, z) = + + C (z).

2

z z

Dalla terza delle tre condizioni abbiamo infine che

− ∂U cos x sin y

cos x sin y 0

−

= + C (z)

= 2

2 2 2

z ∂z z z

0 ± ±

∈

da cui C (z) = 0 e quindi C (z) = c, c Un potenziale in A sarà allora U (x, y, z) =

R.

2

2

sin y−cos x ∈

+ c , c non necessariamente uguali. Ne segue che la funzione

R

± ±

z ( sin y−cos x + c , se z > 0

+

z

U (x, y, z) = sin y−cos x + c , se z < 0

−

z

∈

con c è un potenziale del campo F (x, y, z) in A e quindi il campo risulta conservativo

R

±

nel suo dominio. 1 2 2

C {(x, ∈ | 6 −x }

2. (a) Il campo è definito e di classe nel suo dominio D = y) y = ove

R

risulta irrotazionale essendo 4x

∂F ∂F

1 2

− ∀(x, ∈

= y) A.

=

2 3

∂y (y + x ) ∂x

(b) Il dominio D non risulta semplicemente connesso e dunque non possiamo affermare

che, essendo irrotazionale, il campo risulta conservativo in D. Possiamo però affermare

che essendo irrotazionale il campo risulta conservativo nelle componenti semplicemente

−

+ 2 2 2 2

{(x, ∈ | −x } {(x, ∈ | −x }.

connesse D = y) y > e D = y) y <

R R

±

Per determinare un potenziale U (x, y) di F (x, y) in D , osserviamo che tale funzione

dovrà soddisfare le condizioni 2x ∂U 1

∂U = e = 2y +

2 2 2 2

∂x (y + x ) ∂y (y + x )

Dalla prima delle due condizioni abbiamo che

Z 2x 1

−

U (x, y) = dx = + C(y)

2 2 2

(y + x ) y + x

e dalla seconda 1 ∂U 1 0

2y + = = + C (y)

2 2 2 2

(y + x ) ∂y (y + x )

0 ±

2 ∈

Dunque C (y) = 2y e quindi C(y) = y + c, c Un potenziale in D sarà allora

R.

± 1 2

− ∈

U (x, y) = + y + c , c non necessariamente uguali. Ne segue che la funzione

R

± ±

2

y+x ( 1 2 2

− −x

+ y + c , se y >

+

2

y+x

U (x, y) = 1 2 2

− −x

+ y + c , se y <

−

2

y+x

∈

con c è un potenziale del campo F (x, y) in D e quindi il campo risulta conservativo

R

±

nel suo dominio.

(c) Poichè il campo è convervativo in D ed il sostegno della curva è contenuto in D, e

+

⊂

precisamente ϕ([−1, 1])