Appunti su svolgimento esercizi Analisi2

SOLUZIONE

=

, ,

ESEMPIO RISOLUTIVO

P(t) il metado

può

H usara

in laso si

questo

saniglianza

della

t)

u(x = uxx

n

= 2

+

+ -

, p)

L(u(X

+)) t))

L(u v(X P

0) r(X P)

(x u(X p

P 0

+ =

= . .

-

.

= -

, , ,

,

,

d

+))

(x

(Me p2w(X p)

p) u(x0) p2m(X

0)

L m(x

p

+ =

= - . - ,

, ,

, !

tet) et)

t)) ((Ax L(t

L(f(x Ax (Pri

A X

·

=

. . =

= . ·

, un

↳ Costanti

e

sono fuori

portano

si

t)) L(0)

L(ux P)

(0 vy(0

0

= =

= ,

,

Adesso volari trasformate

sostituiamo tutti trovati dalle

i varie e

l'EDO P)

(X

traniano rispetto v

a ,

P)

w(X 3.

E AX

p2. 1

Nxx

a

- = .

, (P 1)2

+

P)

(0 bardo

poiché al

le

0

~ condizioni 0

> sono

= -

x , ? P)-a del

v(X sará

2. che

Calcolo soluzione da P tipo

OMOGENEA Nxx :

,

F è secondo

lo derivato

= r QXx

. di derivata derivata

a

er seconda

prima

PARTICOLARE

SOL ↑

g(x) (x c

qx 0

axx

xq + +

=

= =

~

AX

p2q a2axx

* 1)2

(p

- = +

cX #

q = 24

? ((x) /

p A isdare

devo la

[p D c

=

- . 2

+

X

A 1

C sostituisto qui *

= . ~

. ?

= X

(P 1) p

+ s la

A soluzione

questo mia

q X

= . ~

pz

(P =

1) particolare

+ Fo

p) A

~(X

adesso 1 e + X .

.

=

, 1) 2 p2

(P

A .

+ in

deriviamo seguito

sostituiandes

rispetto x

a a o

x =

e

Px

p) - =+

(X A

Grea

~ A

+

= - pa

, (P =

(P 1)

?. p2

1) * e)

+

+ X 0

=

esplicationa t

· A

L 2

= . 1)

P3(p +

ho la

che antibrasformaz

adesso generale tutte costanti deno

le

soluzione e

t)

P)

v(X u(x

trovare

ver

, ,

B

( I

-

1

f)

u(X A A

e X

a . .

= .

t

, p2(P 2

1)

P3(P 1)

+ +

w ~

S

e * (etje)

(

(c

L" A A

e .

.

. =

. =

P3(P 2

1)

+ semplici

Conviene riportare

1

fratti tala

modo

applicare do

i in

a è (vedere

la funzioni algebriche l'entitrasformato

noto

di

di

somma Lui

tobelle)

velle semplici f

quindi frotti

in

scompaniamo

prima (3) 1)

p3(P

(-2) (n) G)

3)

( +

-

E + C

1 E

D

+ + 1)

= 1)2

(P

p3 (P

p3(P 1)2 + +

+ 2.

↑2 (p 1) = 1)

p3(p

= p3

A 1)

P(p D

1) E

(

B (P

+

+ + +

+ + .

+ - + .

1 = 1)

(p

p3

1)

P3(p +

.

+ (p2

1) 1)B 1)

p2(p2 (p4 P3E

p3)

P(p2

A 2P D

2p C

1 2p

+

+ +

+

= +

+ -

+

+ + + + .

(4 PE

(p

P)

pz) (p3 = (P4

2p3 22 1) - P3)

A B C

2P D

u + +

+

+

+ +

+ +

= .

+ +

+

. .

b)

P4(A E) c)

p3(zA (A 2)

p(B

=

D

B p 2B

+ +

+ +

+

+ + c

+

+ +

+

1 =

E I

E 1

= calcolare

metado

L'e semplice per

più

D = 3 un

ND

- -

A frotti

3 semplici

= i

B B 2

2 0nD

=

+ -

=

C d

= e2]

-

Px -E -Px

-

2 set

2 2 ps

e

13 . +

. =

+

riprendiano -

A -

a (P 1)

P2

. +

P )H(t

it

[3 2)

-*) )(t

+(t b)

H(t EH( -

(t i

)2

*

A + 3

2

o . ·

-

-

.

. - -

= - .

-)

(t - (t

)

*

- (t v)

+

e - ·

- - L'

lo trovare della

Adesso seguendo stesso procedimento in

dolliamo parte

VERDE [p2[p 1)2]

(

A

(X

1 -

-

- 2

L -

A

X

- .

.

=

1)2

p2(P +

+ frotti

① applico

Come semplici

i

prima E (p

F (p

f - +

+ +

1) 2

P2(P 1 1)

+ +

+ 1)z)

(P(p 1)

B(p c. (p 1)] pz

= (P

A + D

+

l + +

+ .

+

- 1)2

(P 1)

= P

+ + pz)

p) 1)

(pi Dpz

c(pi

B(p2

2p2

A +

2p

+

1 +

+

+

+ +

.

= +

AP3 BP2

2APT (P3 (P Dp2

2BP B

AP +

+

1 + + + +

+ +

= c) 2B)

P(A

D)

p3(A p2(2A B

c

B +

+

+ +

+ +

+

1 = +

E 2

D 1 2

2

= -1

1

2

C ~* (p

= = (p

+

+ +

A -2 1 1)

= + +

B 1

= [

" 52 2 (p[12]

.

A L

X + +

+

. . =

P 1

+ H(t)]

-

[ t

H(t) H(t)

+(t) t

t e

X 2 2e

+ +

A +

. -

. =

.

.

H(t)( t]

+

+ t e

A 2 2e

+ +

X +

-

-

COME LAPLACE

ANTITRASFORMATE

CALCOLARE LE Di

FRATTI SEMPLICI

SCOMPOSIZIONE

METODO funzione FCS) NCS)

Dato una = D(S) F(S))

1) Trovare radici (i

DCS) pali

di di

2) Scrivo il denominatore nella prodotto

di delle

forma codici

ES : S(S-pe)CS-P2) poli

Pn

DPe i

sono

... ...,

,

3) A

F(S)

Riscrivo DX

B C E

+

+

+ --- (S P3)

(s-p1) (S

S Pe) =

-

4) A(S Pn)(S B(S(S-P2))

N(S) Pz)

faccio denominatore Convene +

-

= -

~

un ....

-Pr)(S

S(S Pz)

-

5)

Considero la al stesso

numeratore

parte grado

cofficenti

i con

raggruppo e

considero sistema di equazioni

un

ES E

: ACS 2) A B

B(S 3) 0

+

+ +

(sz)

2 =

(3 + MD

ND

+

= (S 3)(s

(S 2)

3)(s 2)

2) + +

+

+ 2A

+ 3B

+ 2

=

E A DA

B 2

=

= -

- F(s) 2 2

> = -

- t

2B B

3 B 2 ND

+ (S

(S 2)

= 2 3)

=

- +

+ 37 2t

( E(st -

f(t)

6) 33 22 -

[c7213 22 +

-2 ze

= . + -

=

RICORDA

Se semplici

coefficienti

calcolo dei

il sistemino allo

il fratti fin

dei

per

risulta sostituzione

ver

complesso vederlo forma motriciale

puoi in

sempre

,

risolverlo Gauss

trasformazioni di

con

e METODO

ALTRO il calcolo coefficanti

complicato

risulta

esempio

Se dei frotte

ci dei

per

semplici metado

utilizzare quest'altro

passiona fore

A A

calcolare

B

2

ES passione

: ver

+ ~

x

(S (S 2)

3) (s (s

2) 3) +

+

+ lim

+ (S f(x)

3)

A

, +

= =

.

S 3

&

(x) - - /3)

lim (S 2

.

= 2

--

.

5-mo(stv) (3) (S

lim (S 2)

S-S-3 +

. lim /2)

B 2

(s

= 2

=

+ . 3)CSy2)

(s

St 2

- +

LA PLACE

TRASFORMATE Di NOTE

trasformate

Alcune proprietà delle

↑ ((eiwt in +

7 )(e i w j)

- + in

(wt)] ] +

((e

L[im 2

(P) (s)

- 7 - =

=

= .

i

2

-

riscritte

iw)

2i(p ↑

T in

2 + in W

= - = =

-

-in p p2 p2 we

+ wa +

+

([eiweint) j)

((eiwty

(wt))

L(cos =w

((e + =

+

=

= Pipi

-(pin priw) = P2 we

+

L(AM](P) ([1] ([t]

! z

m 2 ex

= > =

= 0

m = - ...

Sn +1

dim Seedt [est]

([u] (s)

induzione n

ver 0

= 5

o +

-

= O

Sestudtt detesto t

L(tM](s) = Midt

.

g St

n M1 le]

N ... termi

. soronno n

. prima di

arrivare

f F ad S

?

we

2 s w

C

si Q w2

S2 +

set

Cos we wa

!

-M M 1

+ la

moltiplica H(7) trasform

natura delle

si per per

ALLUNE ANTITRASFORMATE NOTE che %

do Stx(t)dt

no :

(3) =

(F) (52) *

l

L'"(

L Le =

+ (t) HE

t

H(t) +(t) : -

;

; = :

= 2)

*

(p) (c

L' e t

H(t) t

(" H(t)

e

= .

.

=

; +y (2)

(2)

L(e) )

H(t )(t

H(

f(t-) - -

. = -

=

= : I

(t(t)

(e H(t)

( = . 24

2 (2)

(et-H(-) -)H(t

(t

)

(t -

-

l )

E

( = - -

; ;

(s) E)e )

(t (t

(1 t)

- H(t

-

= -

.

2 (we

pe) pe)

(We sin(wt) (we)

2"

(1 las ;

= =

: +

+ sin(t-)

*. p2) )

we

(e

L" *

H(t- :

.

=

+

L(c) (x(-) H

A sin .

.

=

(2) Ein(t

L ) )

E)

*) - -

H(t

(t )

H(t cost

= -

-

- - ·

·

- -

e-

( )

[E(t

n)z) (sin(t

E) E)

1-1 Cos(t =

E)

H(t - - -

-

·

= -

(PC +

SOLUZIONI PARTICOLARI NOTE

t))

L(f(x PARTICOLARE

SOL .

, a) e

* (

e ((x (3x3)

Ax

1) + px

+ (2x

>q +

+

. = + 4x

.

=

- e tà

((x (3x3)

Ax (2x2

2) + +

a .

=

. P

AX

3) cX

q

) =

=

-

1)2

(P

+

4) C

= a =

C Costante

5) Ce

C

P S X

+

X

+ q = .

= Po

P -

6) (1

P (2

> a e

e x .

+ +

= .

= xz

7) Ax2 ?

(2

Co (1

) q +

+

= .

=

(P 1)2

+ PX

F -

8) T

e-

A C

= e

x

q = .

. .

P) -Px

F Px

-

(

(

Axe e -

9) Co Xea

e

+ Cr

= +

X

- = -

. .

q

p2 Ex

(2 -

2e 2p(

10) Q

e

A CXe

- =

22 a

=

- +

. p2 P

e-P

Ax(z-

ru) 2P e

espa

e- Co (X +C

+

- t =

p2 2

P

12) 2. A

PxB Xp CX

q

=> =

- - uz)

(2)(pi

(p2

+ +<