Automatica - Metodi per svolgimento esercizi

Automatica - Formule ed Esercizi (1)

1. Caratterizzazione di un Sistema

   • Lineare: x moltiplica u
   • Dinamico: y non dipende da u (determinati statici)
   • Strettamente proprio: y non dipende da u (determinati propri)
   • SISO: m = p; MIMO: m = p + 1

   Ordine: N numero di x diverse.

   Tempo continuo: x continua.

   Tempo discreto: x cambia istantaneamente

   Lineare: in forma: {A_x, B_u(x)} {C_x, D_u(y)}

2. Linearizzazione Sistema ad un Eq (x, ū)

   Pone: Δx = x - x̄ Δy = y - ȳ Δu = u - ū

   Calcolare:

   Δẋ = β(x̄, ū) + (∂l/∂x)_{x = x̄}(X)Δx + (∂l/∂u)_{u = ū}(X)Δu

   Δy = ℓ(x̄, ū) + (∂l/∂x)_{x = x̄}(Y)Δx + (∂l/∂u)_{u = ū}(Y)Δu

   Sostituire x e y le parti del sistema {y, ẋ} sostituire x con x̄ e le u con ū.

   Calcolare le derivate. È noto che f(x̄, ū) - g(x̄, ū) = 0. Si ottiene il mit linearizzato.

3. Calcolo Equilibrio

   Dato U(t) = ū = α < ℝ

   Prendere l'equazione in ẋ (...) del sistema

   Porre ẋ = 0 e sostituire α e u̅.

   Si ottiene 0 - l(x, α) _{ISOLARE LA X}

   Equilibrio (x̄, ū) (x, α)

4. Stabilità Negli Equilibri

   Calcolare la matrice A del mit linearizzato.

   Calcolare A(x̄, ū) con (x̄, ū) equilibrio di cui si vuole verificare le stabilità.

   • Se A(x̄, ū) < 0 ⇒ EQ AS STABILE
   • Se A(x̄, ū) > 0 ⇒ EQ NON AS STABILE
   • Se A(x̄, ū) = 0 ⇒ METODO GRAFICO

5) Metodo Grafico per Stabilità di Equilibri

Si è un nel caso in cui _A(x,u)=0.

Si studia P(x,α)=P(x,α) (le rette sono funzioni in x.

Si calcolano i punti in cui P(x,α) si annulla e lì si segnano su un piano cartesiano;

Si sà px(x)>0 in modo da disegnare qualitativamente la funzione.

Dove P(x,α)0 ➔ ↗

Se intorno ad un punto S ha ➔ σ