Automatica - Metodi per svolgimento esercizi

Automatica - Formule ed Esercizi (1)

1. Caratterizzazione di un Sistema

   • Lineare: se x moltiplica u
   • Dinamico: y non dipende solo da u
   • Strettamente Proprio: y non dipende da u
   • SISO: se m=p=1
   • MIMO: se m>1 e p>1
   Ordine: N, numero di x diverse.
   • Tempo Continuo: x continuo.
   • Tempo Discreto: x cambia istantaneamente.
   • Lineare: se in forma: {Ax+Bu(x)}
   • Lineare: se in forma: {Cx+Du(y)}

2. Linearizzazione Sistema ad un Eq (x̅, ū)

   • Ponze: Δx = x - x̅
   • Δy = y - ȳ
   • Δu = u - ū
   Calcolare:

   Δẋ = f(x̅, ū) + ∂f _∂x ^{x̅, ū} (x) + ∂f _∂u ^{x̅, ū} (u)

   Δy = g(x̅, ū) + ∂g _∂x ^{x̅, ū} (y) + ∂g _∂u ^{x̅, ū} (y) u

   Sostituire e x e le parti del inteno {y; u} sostituire le x con x e le u con ū. Calcolare le derivate. È noto che f(x̅, ū) = g(x̅, ū) = 0. Si ottiene il mit lucoazionato.

3. Calcolo Equilibrio

   Dato u(t) = ū: α < e < R Prendere l'equazione in x̅(..) del inteno. Porre ẋ = 0 e sostituire α e u̅. Si ottiene 0 - αx, α → Isolare la x

   Equilibrio: (x̅, ū) (x, α)

4. Stabilita negli Equilibri

   Calcolare la matrice A del mit lucoazionato. Calcolare A(x̅, ū) con (x̅, ū) equilibrio di cui si vuole verificare le stabilita:

   • Se A(x̅, ū) < 0 → Eq as stabile
   • Se A(x̅, ū) > 0 → Eq non as stabile
   • Se A(x̅, ū) = 0 → Metodo grafico

Automatica - Formule ed Esercizi (1)

1. Caratterizzazione di un Sistema

   • Lineare: se x moltiplica
   • Dinamico: se y non dipende da (fenomeni statici)
   • Strettamente proprio: se y non dipende da (determinati propri)
   • SISO: se m=p=1 - MIMO: se m≠p+1
   • Ordine: M numero di x diverse
   • Tempo continuo: ⸓ CONTINUA
   • Tempo discreto: se cambia istantaneamente
   • Lineare: se in forma: {A+B(x) C+D(y)}

2. Linearizzazione sistema ad un EQ (̄,̄)

   Ponze: Δ = -̄ Δ = -̄ Δ = -̄

   Calcolare:

   ΔX = β(̄,̄) ^∂I _{∂|⋇=(̄,̄)} () ΔX+ ^∂I _{∂|(⋇,(̄,̄))} () Δ

   Δ = (̄,̄) ^∂I _{∂ x=̄} () () ΔX+ ^∂I _∂=̄ () () Δ

   Sostiture e le parti del intero { - (...) sostiture la con e la con .}

   Calcolare le derivate. È noto che f(̄,̄)-(̄,̄)=0. Si ottiene il nit linearizzato.

3. Calcolo Equilibrio

   Dato (t)=̄=∈ℝ

   Prenedere ' equazione in ̄(...) del intero.

   Ponze ̅⸓=0 sostiture o .

   Si ottiene 0 - α, ⇒ isolare la

   Equilibrio: (̅,̄) (,)

4. Stabilità negli Equilibri

   Calcolare le matrice A del nit linearizzato. Calcolare A(̄,̄) con (̄,̄) equilibrio di cui si nevole verificare le stabilità.

   • Se A(̄,̄)<0 ⇒ EQ AS stabile
   • Se A(̄,̄)>0 ⇒ EQ NON AS stabile
   • Se A(̄,̄)=0 ⇒ metodo grafico

5) Metodo grafico per stabilità di equilibri

1) Si è nel cono un cui A(x, ũ)=0.

2) Si studia P(x, ũ) ≝ P(x, α)₍₁₎ "con ẋ" una funzione in x.

3) Si calcolano i punti in cui f(x, α) si annulla e li si segna su un piano cartesiano.

Si calcola P(x, α) > 0 in modo da disegnare qualitativamente la funzione.

• Dove f(x, α) > 0 → FRECCIA >>
• Dove f(x, α) < 0 → FRECCIA σ > σ w_c

→ |L(s)| > α dB

|S(s)| |^{1 <~} 1.20 dB

4)

S/T della risposta σ(t)_{≤ α% e T}ass ≤ β_s

CASO: ρ_m(t) ∝ 95^o

S/T: α% = m

ϕ_mMAX ∝ 1

• 1 |1 | 1
• S⁻¹ ∣_→ 1

T_ASS = ϕ_mMAX = 100ϕ_mMAX ≤ β_s →

ϕ_mω_c = γ

(E_F = ϕ_m/100 = 0.46

ϕ_m^2%)

5)

Valutare la protezione con R_STAT(s)

L₁(s) = R_STAT(s)G(s)

Disegnere Diagramma di Bode e Valutarne le Stabilita.

6)

Se L₁(s) ∝ è stabile → R(s) − R_STAT(s) ≡ sistemi specifiche

7)

Se L₁(s) ∝ ≡ instabile → Progetto Regolatore Dinamico Aggingere Poli e Zeri

a L₁(s) modo che le specifiche risano Rispettate e L₁(poli/zeri) = L₁(s)

L₁(s) = ϕ^{180 − |ϕ|} 180 − (1 + arctan), (pezzi di L₁(s)) con Sω₁|

QUINDI: R_dIN(s) = L₁(s) ≡ R(s) − R_STAT(s) R_dIN(s)

NOTA BENE: Quando disegno Bode di L₁(s) di uno AS. Stabile e metronio da ed bassa Frequenza in acuingendo a L₁(s) (1_ωMAX ^dB _{= dB,}da ed alta Frequenza altio Perioda di L(s)|

18) DISCRETIZZAZIONE DI R(S)

È noto che S = \[\frac{\Delta − z^{−1}}{\alpha(1 − \alpha)z^{−1}}\] \[\frac{1}{T_s}\]

R(s) → R^*(z) = R \[\left(\frac{1 − z^{−1}}{\alpha(1 − \alpha)z^{−1}}\right)\] \[\frac{1}{T_s}\] = \[βz + \gamma\] (ESEMPIO)

QUINDI: S = \[βz + \gamma\] ⇒ R[Z] = R(\[βz + \gamma\])

• EUELRO ESPLICITO: Porre = 0
• EUELRO IMPLICITO: Porre = 1
• TUSTIN: Porre = 2

19) ASINTOTICA STABILITÀ DA DIAGRAMMA DI BODE

Sistema retroazionato negativamente.

CONDIZIONI DI APPLICABILITA:

1. LtS strattamente propria
2. P\[\leq\]0
3. Se diagramma di L(jw) attraversa uno solo delle linee φdb delle rette di bome

Sotto (1), (2), (3), il nit ad livello chiuoso è AS STABILE ⇔ \[ \begin{cases} \mu > 0 \\ \mu m > 0 \end{cases} \]

20) TRACCIAMENTO DIAGRAMMA DI NYQUIST DA BODE

AUTOMATICA - FORMULE ED ESERCIZI (3)

1. SCHEMI A BLOCCHI

• SERIE

M₂=M₂ S1 Y₁=M₂ S2 Y₂=Y

S1:  

˙X₁=A₁X₁+B₁M₁ Y₁=C₁X₁+D₁M₁

S2:  

˙X₂=A₂X₂+B₂M₂ Y₂=C₂X₂+D₂M₂

È NOTO CHE

M₂=Y₂=G₁X₁+D₁M=G₁X₁+D₁M

QUINDI:

SERIE:

˙X₁=A₁X₁+B₁M ˙X₂=A₂X₂+B₂(C₁X₁+D₁M) Y=G₂X₂+D₂(C₁X₁+D₁M)

G(S)_SERIE=G₁(S)G₂(S) Y(S)_SERIE=G₂(S)Y₁(S)

• PARALLELO

È NOTO CHE

Y=Y₁+Y₂ e M=M₁=M₂

QUINDI:

PARALLELO:

˙X₁=A₁X₁+B₁M ˙X₂=A₂X₂+B₂M Y=G₁X₁+D₁M+C₂X₂+D₂M

G(S)_PARALLELO=G₁(S)+G₂(S) y(S)=G(S)p M(S)