Studio di funzioni, massimi, minimi e flessi

Analisi della funzione

La derivata prima ha tre zeri. La funzione ha tre punti stazionari:

• x = 3 punto di massimo
• x = 0 punto di flesso orizzontale
• x = 1 punto di minimo

Dominio:

La funzione è razionale fratta: ⁶/_8S0 → S²∩S⁴n⁴∪4; 2∪2;∞;∞¹

Derivata:

9 6 82 69′ 2 4 2 6

Segno e zeri della derivata:

I02 42 6I 0 P 3→m@ 2 4 0 S 2∧ S 4

Quadro dei segni:

f ∞; 4 e in 4; 3 è strettamente crescente inf 3; 2 e in 2; è strettamente decrescente in ∞-3 è punto di massimo relativo

Dominio:

La funzione è razionale intera, ed è definita in tutto Rn∞;∞ 0 2

Il grafico della funzione è una parabola con vertice in (1,2), e intersezioni a e ribaltata in corrispondenza di questi due punti.

Scriviamo la funzione nella forma definita per casi:

2 4 , P0∨ I2@ 2 4 , 0 20 02 0 4 4, P0∨ I2

Derivata prima ′ m 4 4, 0 2

Segno e zeri della derivata 0?4 4 0 1→m

funzione0Ricordiamo che in la derivata non è definita. Classifichiamo questo punto di non derivabilità:9 4 0lim ′ lim 03x 3 2`→ `→ y_ _Il limite si presenta in forma indeterminata. 119 4lim ′ lim 3x 3 2`→ `→ y_ _1 9 4⋅ lim3 x 3 2`→ y_ lim ∞#?⋅ lim →A → 0# z{c a`→ alim ∞#y ?x{ {c`→ |_ è punto di cuspideb`→ b Derivabilità e parametri, h}~ P 1 S ∧ S 1Il ramo di è definito per1,Per la continuità in deve essere: lim lim`→# `→#a b1lim lim ln 1`→# `→#a b 1 1→ 1 1→• € •1dei due rami:Derivata prima2 1 2 1⎧ ⎧, l} P1 , l} P1→? ?1 1⎨ ⎨, l} 1 , l} 1⎩ ⎩1,Per la derivabilità in deve essere: lim ′ lim ′`→# `→#a b 12+2 +1 1lim = lim+`→# `→#a b• + •• € + ‚ =‚‚+€ • a bRisolviamo il sistema delle due equazioni nei parametri

1. incogniti e :• = €+• = +2 = +2• + ••€ + ‚ →m →mT =‚ +2 +1= +2 +1 +2 = +2‚+€ • = +2 = +2→m@ +2+2 +2 = +2 +2+2 +4 = +2+2→„= =0= +2 =0→T→m → m= −2+2 +1 =0→m+3 +2 = 0 = −2= −1≠ −1
2. Per quanto visto nel domino deve essere:
3. L’espressione di f(x) è perciò la seguente: −1 , l} ≤1=A +ln + 1, l} >1 13

DOMINIO

La funzione è irrazionale ad esponente pari, essa risulta definita in R quando il radicando è non negativo:

4 I0→ 2P P2n 2; 2

Derivata primax49 1x49 1 ⋅ ⋅ ⋅ 2? 2√4x49 ? √449 ? √44 29 ? √4 2 29′ √4

Segno e zeri della derivata nell’intervallo dato2 2 x I 0A √4 x1PxP22 I0 P P√2 √2… @ P P√2 √2→ →A T @x4 ∀ ∈ n : ∞; 2 ∪ 2; ∞x 0 ? 1 P P 21P P21PxP2

Ricordiamo che una funzione irrazionale pari

è sempre positiva nel suo dominio.

Per la derivata prima di questa funzione, il dominio n non comprende gli estremi -2 e +2.

[ ^] ^√2 è punto di massimo1 1 √3è punto di minimo relativofl2 2 0flx=2è punto di minimo relativofl è di minimo assoluto 14

DOMINIO

La funzione è logaritmica, il suo dominio è l’insieme dei valori reali che rendono positivo l’argomento:0n 0; ∞

Derivata prima9 ⋅ ln 19 1 ⋅ ln ⋅? 9 ln 1?

Segno e zeri della derivata nell’intervallo datokg 1I0m 1P P}kg I −1m 1P P}@kg I kg } d#1P P} 1I }T1P P}

La derivata ha uno zero in #’ ]′ ^

Da notare che: ∉ 1; }#’ ] ^

Valori che la funzione assume negli estremi:1 1 ⋅ ln 1 1⋅0 0→ 1 è punto di minimo} } ⋅ ln } }⋅1 }→ 1 è punto di massimo 15

Punti di Flesso

Ricordiamo che un punto di flesso è un punto in cui la funzione cambia concavità.Se in la funzione

non è derivabile, non è possibile applicare il teorema precedente, ma nel punto puòesserci ugualmente un flesso.

DOMINIO

La funzione è razionale intera ed è definita in tutto Rn ∞; ∞

Derivata prima9 2 39 4 4 3?

Derivata seconda9 12 4?? 4 1

Zeri della derivata seconda 12 4 0→ → _12 √3

Segno della derivata seconda12 4 01 1∨√3 √3 16] ^??] ^ ∞; ; ∞

–• – •# #√ √f (x) ha la concavità verso l’alto in e in;– •# #√ √f (x) ha la concavità verso il basso in_ #√ sono due punti di flesso _ #√

Per determinare se sono flessi obliqui, sostituisco nella derivata prima:1 1 1% & 4% & 4% & 3S0? √3 √3 √31 1% & 43 4% & 3S0? √3 √3

Si tratta di flessi obliqui. 17

DOMINIO

La funzione è esponenziale con esponente razionale fratto. il suo dominio è l’insieme dei valori reali

cherendono non nullo il denominatore dell’esponente2≠ 0→ ≠ −2n =] − ∞; .2 ∪] − 2; +∞

Derivata prima −1{d#= } ⋅ n — ˜? {c +2+2− −1{d#= } ⋅? {c +2+2− −1{d# ⋅= }? {c +2 3{d#= } ⋅? {c +2

Segno e zeri della derivata 3{d#} ⋅ > 0, ∀ ∈ n{c +2

La funzione è strettamente crescente in tutto il suo dominio.

Derivata seconda 3{d#= } ⋅? {c +2 3 1{d# {d#= n ⋅ + } ⋅ 3n)} * ) *?? {c {c+2 +23 3 +2{d# {d#= } ⋅ ⋅ + } ⋅ −6?? {c {c+2 +2 +29 6{d# {d#= } ⋅ ⋅ −} ⋅?? {c {c+2 +23 3{d#= } ⋅ ⋅) − 2*?? {c +2 +23 3−2 −4{d#= } ⋅ ⋅) *?? {c +2 +23 −1 − 2{d#= } ⋅ ⋅) *?? {c +2 +2 #= 0 → −1 − 2 = 0 → =−?? candidato punto di flessoper lo studio del sgeno possiamo raggruppare i fattori sempre positivi:{d#3 −1 − 2 3}{d# {c= } ⋅

1. ⋅ = ⋅ −1 − 2?? {c +2 +2 +2 180?? 12 01 →Tm 2S 2 S 2]′′ ^] ^# è punto di flesso obliquo 19
2. DOMINIO
   La funzione è razionale fratta con un valore assoluto. Il dominio è l’insieme dei valori che rendono il denominatore non nullo:
   |1 1| S 0 1S1 S2| 1| S 1 → 1 S _1 → →mm 1S 1 S 0n ∞; .0 ∪ 0; 2 ∪ 2; ∞
3. 4 5⎧ , l} I1∧ S22 4 5⎨ , l} 1∧ S0⎩ 1
4. La funzione è continua in ?4 5 2 2lim 1`→#a 4 5 2lim 22 1`→#bSi!La funzione è continua in x=1
5. Derivata prima2 4 2 4 5 1⎧ , l} I1∧ S2⎪ 2′ 2 4 ⋅ 4 5⎨ , l} 1∧ S0⎪⎩ 2 2 4 5⎧ , l} I1∧ S2⎪ 2′ 2 4 4 5⎨ , l} 1∧ S0⎪⎩ 2 4 4 4 5⎧ l} I1∧ S2⎪ 2′ 5⎨ l} 1∧ S0⎪⎩ 8 8 2 4 5⎧ l} I1∧ S2⎪ 2′ 5⎨ l} 1∧ S0⎪⎩ 4 3⎧ , l} I1∧ S22′ 5⎨ 1 , l} 1∧ S0⎩ 201
6. La funzione è derivabile in ?5lim lim %1 & 4?d`→# `→#a a 4 3lim lim 0?

2c→# →#b b 1La funzione non è derivabile in 1Il grafico di f(x) presenta un punto angoloso inZeri e Segno della derivata primaI0? 4 3 1P P34 3P0I 0 4 3I0 →@ →m→@A 2 1∧ S22 1∧ S21∧ ≠21∧ ≠3∨ 1→ ™}~š: → 3m 21∧ ≠I0? 5 P √5 ∨ I √5I0 →@ → P √5T 1∧ ≠01∧ ≠0 √5 ∨ √5→ ™}~š: → √5@ 1∧ ≠0]′ ^] ^Derivata seconda 4 3⎧ , l} 2I1∧ ≠⎪ 2? 5⎨ 1 , l} 1∧ ≠0⎪