Studio di funzione

Studio di funzione f(x) = √x²

1. Dominio

   D(f) = {x | x ≥ 0} = (-∞, -1] ∪ [1, +∞)

2. Punti di discontinuità e periodicità

   f(x+n) = √(x+n)² = √x² = |x| = f(x)

3. Segno e zeri

   f(x) = √x² ≥ 0 ∀ x ∈ Dom f

   f(x) = 0 per x = ±1

4. Limiti agli estremi del dominio

   D(f) = (-∞, -1] ∪ [1, +∞)

   lim x→+∞ f(x) = +∞ = lim x→-∞ f(x)

5. Asintoti

   Preferire cercare asintoti obliqui

   lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ √x²/x = ±1 = m

   lim x→+∞ [f(x) - mx] = lim x→+∞ [√x² - x] = lim x→+∞ -1/√x² + x = 0

   La retta y = x è asintoto obliquo per punti

   La retta y = x è asintoto obliquo per x→-∞

Studio di funzione f(x) = √(x² - 1)

1. Dominio

   (f) = {x ∈ ℝ | x ≥ 0} = (-∞, -1] ∪ [1, +∞)

2. Punti di discontinuità e periodicità

   f(-x) = √((-x)² - 1) = √(x² - 1) = f(x)

3. Zeri e segno

   f(x) = √(x² - 1) ≥ 0 ∀ x ∈ (f)

   f(x) = 0 per x = ±1

4. Limiti agli estremi del dominio

   (f) = (-∞, -1] ∪ [1, +∞)

   lim x→+∞ f(x) = +∞ = lim x→-∞ f(x)

5. Asintoti

   Valutiamo eventuali asintoti obliqui

   lim x→+∞ [f(x)/x] = lim x→+∞ [√(x² - 1)/x] = 1 = m

   lim x→-∞ [f(x) - mx] = lim x→+∞ [f(x) - x] = lim x→+∞ [√(x² - 1) - x] = lim x→+∞ [1/(√(x² + x))] = 0

   La retta y = x è asintoto obliquo, per punti la retta y = x è asintoto obliquo per x→-∞

Derivata prima

D [√(x²-1)] = D((x²-1)^1/2) = (1/2)(x²-1)^-1/2 * 2x = x / √(x²-1)

Punti di non derivabilità

(dominio di f') x ≠ ±1

lim x→±1^± f'(x) = +∞ → tangente verticale

Zeri derivata

f'(x) = x / √(x²-1) ≠ 0 ∀ x ∈ D(f')

Segno derivata

f'(x) > 0 ∀ x ∈ (1;+∞) → sempre crescente in (1;+∞)

Derivata seconda

f''(x) = (√(x²-1) - x * x / √(x²-1)) / (x²-1) = 1 / (x²-1) (√(x²-1) - x²/√(x²-1)) = -1 / (x²-1)^3/2

f''(x) f(x) = 1 + ln x / x²

Δ: x > 0

né pari né dispari

segno x² > 0 ∀ x ∈ Δ 1 + ln x = 0 x = e^-1

f(x) > 0 per x > e^-1; f(x) -1

lim x→0⁺ 1 + ln x / x² = 0

lim x→0⁺ 1 + ln x / x² = +∞

Asintoti

x = 0 asintoto verticale

y = 0 asintoto orizzontale

Derivata e zeri

f'(x) = ¹/_x⁵ x² - 2x (1 + 2 ln x) = - ^{1 - 2 ln x}/_x³ = - ^{(1 + 2 ln x)}/_x³

D : x > 0

zeri f'(x) = 0 1 + 2 ln x = 0 x = e^-1/₂

x = e^-1/₂ p.d. max¹/_e > ¹/_e

Derivata seconda

f''(x) = -^e/_x⁶ x³ + (1 + 2 ln x) . 3x² = 1 + 6 ln x

D : x > 0

zeri f''(x) = 0 ln x = -¹/₆ x = e^-1/₆

x = e^-1/₆ p.d. flesso

Funzione f(x) = x e^x / (1 + e^x)

D: ℝ

segno f(x) > 0 per x > α

f(x) f(x) = 0 per x = α

Limiti

lim_x→+∞ x e^x / e^x = +∞

lim_x→0 x e^x / e^x + 1 , lim_x→-∞ x e^x = lim_x→-∞ e^x / x² = 0

Asintoti

m = lim_x→+∞ (x e^x / e^x + 1 )

q = lim_x→+∞ (x e^x / e^x + 1 − x) = 0

y = x asintoto obliquo per x → +∞

y = 0 asintoto orizzontale per x → -∞

Derivata f'(x)

f'(x) = (e^x + x ⋅ e^x) (1 + e^x) − e^x ⋅ e^x = e^x (x + 1) (1 + e^x) − e^2x ⋅ e^x(1+e^x)² (1+e^x)² = e^x (x + 1) + e^2x + x e^x − e^2x = e^2x (1 + x + xe^x)

Funzione g(x)

g(x) = 1 + x + e^x(1+e^x)² (1+e^x)²

g(x) → +∞ x → +∞

g(x) → -∞ x → -∞

g è continua

g'(x) = 1 + e^x ⇒ g'(x) > 0 g crescente

t.c. g(α) = 0

g(x) < 0 per x < α

g(x) > 0 per x > α

⇒ f(x) < 0 per x < α

⇒ f(x) > 0 per x > α

f'(α) = 0 x = α è un minimo

g(0) = 2 ≠ 0 α < 0

g(-1) = 1/e < 0 α < 1

g(-2) = 1/e² - 1 α > -2