Studio della funzione 2

Studiare la seguenti funzioni:

−

x 1

2 x

f(x) = x e

SVOLGIMENTO

−

x 1

2 x

f(x) = x e { } ∞ ∪ ∞

0

L'insieme di esistenza della funzione è R- = ]− ,0[ ]0,+ [ e la funzione è

sempre positiva. Il grafico non incontra gli assi.

Limiti, asintoti. − −

x 1 x 1

f(x)

2

= = +∞ = = ±∞

x x

e

lim f(x) lim x lim lim x

e e

→ ±∞ → ±∞ → ±∞ → ±∞

x

x x x x

quindi la funzione non ha asintoti orizzontali e non ha asintoti obliqui.

−

Inoltre, tenendo conto che se x<0 allora x = x, se x >0 allora x = x, si ha:

    1

−

− − −

x 1 1

x x

1 e

2

= = 2

= = = +∞

x e x

lim f(x) lim x 0 lim f(x) lim x lim

e e

+ + − − − 1

e

→ → → → →

x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 2

x

quindi l'asse delle ordinate è asintoto verticale a sinistra; inoltre ponendo f(0) = 0 la

funzione diventa continua a destra di 0.

Monotonia. Punti di massimo e di minimo relativo.

− − −

x 1 x 1 x 1 +

1 (2x 1)

2

x x x

f '(x) =2x + x = (2x + 1) = f(x)

e e e

2 2

x x

1 1

− −

pertanto la funzione è crescente per < x <0 e per x >0 e decrescente per x < ; il punto di

2 2

 

1 e

−

 

coordinate è un punto di minimo relativo.

,

 

2 4

=

Poiché la curva "esce" dall'origine restando

lim f ' (x) 0

+

→

x 0   

tangente all'asse x . o

•

1

− 0

2