Studio di funzione

Studio di funzioni

1. Dominio della funzione

2. Intersezioni con gli assi e x, y

3. Il segno della funzione

4. Asintoti

5. Derivata

6. Punti di max, min e flesso

7. Derivata seconda

8. Concavità della funzione

9. Grafico della funzione

Funzioni

y = f(x)

Def: È una legge che associa ad ogni valore x un unico valore y

• goniometriche y = 2cosx
• esponenziali y = 2^x
• logaritmiche y = 1/2 log x

• razionali intere y = ax² + bx
• fratte y = 3/4x - 1/5
• irrazionali y = √x + 2

Dominio

Def: È l'insieme di tutti i valori che x può assumere per cui è permesso calcolare la y corrispondente

• razionali intere D = ℝ
• razionali fratte denominatore ≠ 0 D = ℝ \ {valori che annullano il denominatore}
• irrazionali argomento ≥ 0 D = {x; argomento ≥ 0} ∩ pari

Studio di funzioni

1. Dominio della funzione
2. Intersezioni con gli assi x e y
3. Il segno della funzione
4. Asintoti
5. Derivata
6. P. di max, min e flesso
7. Derivata seconda
8. Convessità della funzione
9. Grafico della funzione

Funzioni

y = ϕ(x)

• algebriche
• trascendenti

Def: È una legge che associa ad ogni valore x di un unico valore y

• goniometriche y = 2cosα
• esponenziali y = 1/^x
• logaritmiche y = 1/2 log₁₀a

• razionali
• intere y = 2x² + 3x
• frazze y = 5x - 7/x - 9
• irrazionali: y = √(x+2)

Dominio

Def: È l'insieme di tutti i valori che per cui è possibile calcolare la y corrispondente.

es. y = 4/x

x | y

0 | 0

1 | 4

2 | 2

3 | 4/3

0 | 2/2

8 | 1/8

non può essere nel DOMINIO

funzione condizione per il dominio dominio

• razionale intere
  • D = ℝ
• razionale frazze
  • denominatore ≠ 0
  • D = ℝ \{valere che annullano il denominatore}
• irrazionali argomento ≥ 0
  • D = {x; argomento ≥0} n pari

INTERSEZIONE CON GLI ASSI x e y

y = x - x³

1. Dominio: razionale intero. D = R
2. Intersezione:
   • asse x:
     • { y = x - x³ y = 0 } →

     x(1 - x²) = 0

     x = 0

     x = ±1

   • asse y:
     • { y = 0 x = 0 } → (0; 0) O

• (0; 0) O
• (-1; 0) A
• (1; 0) B

SEGNO DELLA FUNZIONE

x - x³ > 0

x(1 - x²) > 0

x < 0 (1 - x²) < 0

-1 < x < 1

Riporto lo studio del segno sul piano cartesiano

punti in cui la funzione non può stare

y = ^{x - 2}/_{x² - 4x + 4}

1. x² - 4x + 4 ≠ 0

α ≠ 2

D = ℝ ∖ {2}

2.

• y = ^{x - 2}/_{x² - 4x + 4}
  • x = 0
  • y = 0
• y = 0
  • x = 0
• y = ^{x - 2}/_{x² - 4x + 4}
  • = ²/₄ = ^-1/₂

A (2; 0) ☞ non accettabile

B (0;^-1/₂)

3. ^{x - 2}/_{x² - 4x + 4} > 0

N: x - 2 > 0 ⇒ x > 2

D: x² - 4x + 4 > 0

x₁ = x₂ = 2

sempre α ≠ 2

Asintoti

Def sono delle rette che non possono essere toccate o attraversate dal grafico della funzione.

• Verticali: x = R
• Orizzontali: y = k
• Obliqui: y = mx + q

Asintoto Verticale

Def: la retta x = R è verticale se

Gli eventuali asintoti verticali si cercano tra i valori di x che annullano il denominatore.

1. x-2 = 0 → x = 2

x = 2 è A.V. (asintoto verticale)

Asintoto Orizzontale

Def: la retta y = k è A.O se

se non esistono A.O posso avere 1 obliquo

Asintoto Obliquo

se lim x→±∞ f(x) = ±∞ possiamo avere A.OB del tipo: y = mx + q

q = lim x→±∞ [f(x) - (mx)]

m = 1, q = 4

y = x + 4 è A.Ob

RICERCA DI MAX E DEI MIN

Def:

FUNZIONE CRESCENTE se

x₁ > x₂ => φ(x₁) > φ(x₂)

FUNZIONE DECRESCENTE se

x₂ > x₁ => φ(x₂) > φ(x₁)

TEOREMA:

La crescita di una funzione è legata al segno della derivata prima.

Se φ'(x) > 0 => φ è crescente

Se φ'(x) < 0 => φ è decrescente

Def:

x₀ è un punto di massimo relativo se

φ(x)₀ < φ(x₀)

x₀ è un punto di minimo relativo se

φ(x) > φ(x₀)

ogni intervallo ha un Max/Min

Si dice assoluto

il più grande/piccolo tra tutti i max e min

TEOREMA

Se β'(x₀) > 0 per x < x₀ e β'(x₀) < 0 per x > x₀ => x₀ è punto di MASSIMO RELATIVO.

Se β'(x₀) < 0 per x < x₀ e β'(x₀) > 0 per x > x₀ => x₀ è punto di MINIMO RELATIVO.

I punti di max e min si cercano tra punti STAZIONARI, cioè i punti che annullano la deriv. (prima)

es. y' = x³-3x

5. f ' = 3x² - 3 3x² - 3 = 0 (Cerco i punti stazionari) x = ±√4

PUNTI STAZIONARI

6. studio il segno della deriv. 3x² - 3 > 0 x < -√4 ∧ x > √1

MAX (-√4 ; 2)

f(-√) = y = x²-3x = 2

MIN (√1 ; -2)

f(x) = y = x³-3x = -2

Def:

massimo e minimo assoluto

Se β(a) = M ∀x∈D => M è massimo assoluto

Se β(a) = m ∀x∈D => m è minimo assoluto

RICERCA DEI FLESSI

Def: x_o è PUNTO DI FLESSO per f(x) se in tale punto la funzione cambia concavità

x_o Flesso ASCENDENTE

• a sx di x_o concavità verso l'alto
• a dx di x_o concavità verso il basso

x_o Flesso DISCENDENTE

• a sx di x_o concavità verso il basso
• a dx di x_o concavità verso l'alto

Def: f(x) ha concavità verso l'alto in xo se

f(x)≥t(x)→tangente in x_o

∀x∈I(x_o), x≠x_o

f(x) ha concavità verso il basso se

f(x)≤t(x)

∀x∈I(x_o) x≠0

Il Flesso può essere:

• orizzontale, se tg(x_o)//asse x
• verticale, se tg(x_o)//asse y
• obliquo se tg(x_o) non è //ag