Studio della funzione

Esercizio studio

della funzione

con coseno

Studiare la seguente funzione:

f(x) = 4cosx +2cos2x -1

Svolgimento

f(x) = 4cosx +2cos2x -1

Insieme di esistenza. π

La funzione è definita per ogni x reale ed è periodica con periodo 2 ; consideria-

π

mo l'intervallo di definizione [0,2 ].

Intersezione con gli assi.

⇒

f(0)=5 la curva taglia l'asse delle ordinate nel punto (0,5); 1

2 −3 ⇔ ⇔

⇔ ⇔ x + 4cosx = 0 cosx =

f(x) = 0 4cosx +2cos2x -1 = 0 4cos 2

π 5π

⇔

x = ; x =

3 3 π π

   

5

    .

quindi la curva taglia l' asse x nei punti ,

0 , ,

0

   

3 3

Studio del segno. π

1 5π

2 π

−3 ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤

f(x) > 0⇔ 4cos x + 4cosx > 0 cosx 0 < x ; x < 2 .

2 3 3

Monotonia. Punti di massimo e di minimo relativo.

−4senx −4sen2x

f '(x) = π π

 

2 4

π π

 

f '(x) = 0⇔ senx(1 + 2cosx) = 0⇔x∈ .

0

, , , , 2

 

3 3

π π π

2 4 2

< < π ∨ < < π π

x x . ,

quindi la funzione cresce in ] [

2

f '(x) > 0⇔ 3 3 3

π

4 π

,

ed in ] 2 [ .

3

   

• • • • •

π π

2 4

π π

0 2

3 3

(π, -3) punto di massimo relativo

π π

   

2 4

− −

    punti di minimo relativo

, ,

4 e 4

   

3 3

π

(0,5) e (2 ,5) punti di massimo assoluto

Concavità e convessità. Punti di flesso.

−4cosx −8cos2x

f ''(x) = − ±

1 33

2

⇔ ⇔ − ⇔

f ''(x) = 0 cosx + 2cos2x = 0 4cos x + cosx 2 = 0 cosx = ;

8

− − − +

1 33 1 33

⇔ ∨

f ''(x) < 0 cosx < cosx > ;

8 8

−

1 33 1 α

< <

essendo 1 la misura in radianti dell' angolo del primo quadrante per il quale è

ed

2 8

−

33 1

α

cos = ,

8 π − −

1 33 1

α β

− < < −

si avrà 0< < ; essendo 1 e la misura in radianti dell'angolo del secondo

3 8 2

− − π

1 33 2 π

β β

quadrante tale che cos = , si avrà < < .

8 3

α π − α

β π − β

, x = , x = 2 ,x = 2 ;

Le ascisse dei punti di flesso sono pertanto x =