Stima del trasporto solido di fondo e in sospensione

=γR

che è l’aliquota di τ relativa alla scabrezza del solo materiale d’alveo (letto piano), e:

τ ' '=γR ' ' i

che rappresenta la parte di sforzo tangenziale imputabile alla scabrezza indotta dalle forme di fondo.

Il metodo si basa quindi sulla suddivisione del raggio idraulico in due aliquote, una corrispondente

alla scabrezza delle particelle di fondo e l’altra alle forme di fondo.

Tenendo presente la formula di Darcy - Weisbach:

2

V D=4 R

J λ

=i= con

2 gD λ gRi

λ

⇒ = =

1 8 2

V

Mettendo insieme le due equazioni si ottiene:

gRi gR ' i gR' ' i λ λ ' λ ' '

= + ⇒ = +

1 1 1

2 2 2

V V V λ '

Per la valutazione dell’indice di resistenza , si utilizza la formula:

1

1 V R'

( )

⁡

log

= =6+5,75

u ' 2∗d65

√ λ ' ¿

1 λ ' '

Per valutare , invece, Einstein e Barbarossa considerano la seguente proporzionalità:

1

1 V '

= =ϕ (ψ )

35

√ √

λ ' ' gR' ' i

1

in cui Ψ’ è l’inverso del numero di Shields calcolato per il caso di fondo piano con d = d :

35 35

γ d

( )

−γ

s 35

ψ ' =

35 γR ' i

Al diminuire di Ψ’ e all’aumentare del trasporto solido, diminuiscono le resistenze dovuto alle

35 λ ' '

irregolarità delle forme di fondo espresse da .

1 √

1/ λ' '

Nel grafico che segue viene riportata la relazione tra l’indice di resistenza e il parametro

1

Ψ’ .

35 1

√ ''

λ 1 Ψ’ 35

Pica ha proposto di approssimare la curva della figura precedente con la seguente equazione:

1 V 41,3

= =4,7+ ' 1,21

√ √

λ ' ' gR' ' i ψ

1 35

Si riporta il calcolo di un valore della scala di deflusso valutata con il metodo di Einstein -

Barbarossa. L’esercitazione fornisce i dati necessari, cioè la pendenza del fondo, la granulometria

dei sedimenti, la larghezza della base e il peso specifico dei sedimenti.

'

R ' R m ,

=1.00

Fissando un valore di , ad esempio è possibile calcolare il fattore Ψ’ 35

d

(γ −γ)

' s 35

ψ = =1,03

35 '

γ R J √ √

1/ λ' ' 1/ λ' '

Dal grafico che lega Ψ’ - , o mediante la formula di Pica, si valuta il fattore

1 1

35

: 1 V

= =44,47

u ' '

√ λ ' ' ¿

1 V

Per la determinazione della velocità , è stata applicata

V '

V m/ s

= ∗u =3,56

¿

u ' ¿

Dalla velocità è possibile calcolare

' '

u

' '

u m/s

¿

=V =0.08

¿ V

Risulta quindi ' '2

u

√

' ' ' ' ''

u g R i R m

¿

= ⇒ = =0.16

¿ f g i f

Di conseguenza:

' ''

R=R R m

+ =1,16

È sufficiente quindi valutare il tirante idrico conseguente a questo raggio idraulico:

Bh RB

R= h=

⇒ =1,21m

B+2 h B−2 R

Q

per ricavare la portata che defluisce nell’alveo mobile:

mob 3

m

2

A=B h=72,64 m A=258,82

⇒Q =V

mob s

Si conclude così l’applicazione del metodo di Einstein - Barbarossa, per la valutazione della scala di

deflusso in alveo mobile.

La tabella seguente riporta tutti i valori ottenuti, che consentono di tracciare come richiesto la scala

3

di deflusso per portate comprese tra 100 e 1000 m /s.

γ γ J = i Ks

s f 2

B (m) d (m) d (m) ν (m /s)

65 35

3 3

(N/m ) (N/m ) (-) 58.259

26000 10050 0.004 60 0.0041 0.0026 0.000001

R' Ψ'3 u'* V/u' V V/u''* u''* R'' R h A Qmob Q(A

5 * F)

0.1 10.32 0.06 12.25 0.77 7.15 0.11 0.29 0.39 0.40 23.90 18.32 47.26

0.2 5.16 0.09 13.98 1.24 10.37 0.12 0.36 0.56 0.57 34.43 42.61 86.50

0.3 3.44 0.11 14.99 1.63 13.97 0.12 0.35 0.65 0.66 39.58 64.34 108.9

4

0.4 2.58 0.13 15.71 1.97 17.82 0.11 0.31 0.71 0.73 43.67 85.90 128.1

4

0.5 2.06 0.14 16.26 2.28 21.89 0.10 0.28 0.78 0.80 47.79 108.83 148.7

0

0.6 1.72 0.15 16.72 2.56 26.14 0.10 0.25 0.85 0.87 52.20 133.86 171.9

9

0.7 1.47 0.17 17.10 2.83 30.53 0.09 0.22 0.92 0.95 56.93 161.30 198.3

7

0.8 1.29 0.18 17.44 3.09 35.06 0.09 0.20 1.00 1.03 61.93 191.26 227.8

8

0.9 1.15 0.19 17.73 3.33 39.71 0.08 0.18 1.08 1.12 67.18 223.77 260.4

9

1 1.03 0.20 18.00 3.56 44.47 0.08 0.16 1.16 1.21 72.64 258.82 296.1

3

1.1 0.94 0.21 18.23 3.79 49.34 0.08 0.15 1.25 1.30 78.28 296.38 334.7

3

1.2 0.86 0.22 18.45 4.00 54.29 0.07 0.14 1.34 1.40 84.07 336.41 376.2

3

1.3 0.79 0.23 18.65 4.21 59.34 0.07 0.13 1.43 1.50 89.99 378.89 420.5

7

1.4 0.74 0.23 18.84 4.41 64.46 0.07 0.12 1.52 1.60 96.04 423.77 467.7

1

1.5 0.69 0.24 19.01 4.61 69.66 0.07 0.11 1.61 1.70 102.19 471.02 517.6

0

1.6 0.64 0.25 19.17 4.80 74.94 0.06 0.10 1.70 1.81 108.44 520.61 570.2

1

1.7 0.61 0.26 19.32 4.99 80.29 0.06 0.10 1.80 1.91 114.79 572.51 625.5

0

1.8 0.57 0.27 19.46 5.17 85.70 0.06 0.09 1.89 2.02 121.22 626.71 683.4

6

1.9 0.54 0.27 19.60 5.35 91.18 0.06 0.09 1.99 2.13 127.73 683.18 744.0

6

2 0.52 0.28 19.73 5.52 96.71 0.06 0.08 2.08 2.24 134.32 741.90 807.2

8

2.1 0.49 0.29 19.85 5.69 102.31 0.06 0.08 2.18 2.35 140.98 802.86 873.1

2

2.2 0.47 0.29 19.96 5.86 107.96 0.05 0.08 2.28 2.46 147.72 866.05 941.5

6

2.3 0.45 0.30 20.08 6.03 113.67 0.05 0.07 2.37 2.58 154.52 931.45 1012.

58

2.4 0.43 0.31 20.18 6.19 119.43 0.05 0.07 2.47 2.69 161.39 999.06 1086.

20

2.5 0.41 0.31 20.28 6.35 125.23 0.05 0.07 2.57 2.81 168.33 1068.87 1162.

39

2.6 0.40 0.32 20.38 6.51 131.09 0.05 0.06 2.66 2.92 175.33 1140.87 1241.

16

V τ τ V τ τ

mob mob

2 2 2 2

(m/s) (kg /m ) (kg /m ) (m/s) (kg /m ) (kg /m )

p p p p

0.77 0.40 1.58 4.41 5.60 6.09

1.24 0.80 2.27 4.61 6.00 6.45

1.63 1.20 2.60 4.80 6.40 6.83

1.97 1.60 2.86 4.99 6.80 7.20

2.28 2.00 3.12 5.17 7.20 7.58

2.57 2.40 3.40 5.35 7.60 7.96

2.83 2.80 3.69 5.53 8.00 8.34

3.09 3.20 4.01 5.70 8.40 8.72

3.33 3.60 4.33 5.87 8.80 9.11

3.56 4.00 4.67 6.03 9.20 9.49

3.79 4.40 5.01 6.19 9.60 9.88

4.00 4.80 5.36 6.35 10.00 10.27

4.21 5.20 5.72 6.51 10.40 10.66

Lo stesso ragionamento si è fatto utilizzando il grafico τ-V:

2. Valutazione del trasporto solido di fondo

Per la valutazione del trasporto solido di fondo tra le diverse formule empiriche è stato scelto di

utilizzare Meyer-Peter & Muller (1948), Kalinske (1947) e Shields (1936).

La formula di Meyer-Peter & Muller è la più accreditata per la stima del trasporto solido di fondo

in alvei ghiaiosi ed è stata ricavata sulla base di numerose prove eseguite nel laboratorio di idraulica

del Politecnico di Zurigo. ÷

La formula, tarata in canalette per materiale abbastanza grossolano (0.4 29 mm), è

raccomandata per alvei ghiaiosi con pendenze non superiori al 2%. Smart nel 1984 afferma che per

pendenze maggiori la formula sottostima la portata solida.

La formula proposta è valida solo nel caso in cui il trasporto solido in sospensione sia trascurabile:

2 /3

γ

( )

( )

−γ

3 1

/2 /3

γRi K ρ

( ) s

g

−0.047=0.25 s

K γ

γ d γ d

( ) ( )

−γ −γ

s

s m s m

Il valore di K corrisponde alla scabrezza totale dell’alveo, calcolata dalla formula di Gauckler-

Strickler al variare della velocità:

' 2/ 3 √

K=V R i)

/(

K è la scabrezza dovuta alle sole particelle solide e si determina con la seguente relazione:

s 26

K =

s 1 /6

d 90

d d m

=0.0079

Il diametro si ricava dalla curva granulometrica e risulta pari a .

90 90 d ,

Nell’utilizzare la formula di Meyer-Peter & Muller si considera il diametro medio che è

m

diverso dal diametro delle maglie del setaccio per il passaggio del 50% del materiale (d ). Esso

50

rappresenta infatti un valore sintetico dell’assortimento granulometrico presente sul fondo alveo in

esame. Moltiplicando infine g per la larghezza B della sezione si ottiene la portata solida di fondo

s

totale G =g B

s s

espressa in kg/s.

Di seguito si riporta l’applicazione della formula di Meyer-Peter & Muller per la valutazione del

trasporto solido di fondo:

γ γ J = i Ks

s f 2

B (m) d (m) d (m) ν (m /s)

65 35

3 3

(N/m ) (N/m ) (-) 58.259

26000 10050 0.004 60 0.0041 0.0026 0.000001

Q h (m) V(m/s) R (m) K gs Gs

3

(m /s) (kg/sm) (kg/s)

86.50 0.73 1.97 0.72 38.91 0.67 0.61

109.50 0.80 2.28 0.78 42.50 0.73 0.89

134.58 0.87 2.57 0.85 45.22 0.78 1.21

162.04 0.95 2.83 0.92 47.27 0.81 1.55

192.03 1.04 3.09 1.00 48.81 0.84 1.92

224.55 1.12 3.33 1.08 49.98 0.86 2.31

259.62 1.21 3.56 1.17 50.86 0.87 2.72

297.19 1.31 3.79 1.25 51.54 0.88 3.15

337.25 1.40 4.00 1.34 52.06 0.89 3.59

379.74 1.50 4.21 1.43 52.45 0.90 4.05

424.63 1.60 4.41 1.52 52.76 0.91 4.53

471.90 1.71 4.61 1.61 53.00 0.91 5.02

521.50 1.81 4.80 1.71 53.18 0.91 5.52

573.43 1.92 4.99 1.80 53.32 0.92 6.04

627.65 2.02 5.17 1.89 53.42 0.92 6.57

684.14 2.13 5.35 1.99 53.49 0.92 7.12

742.88 2.24 5.53 2.08 53.54 0.92 7.67

803.87 2.35 5.70 2.18 53.57 0.92 8.24

867.08 2.46 5.87 2.28 53.59 0.92 8.81

932.51 2.58 6.03 2.37 53.60 0.92 9.40

1000.15 2.69 6.19 2.47 53.59 0.92 10.00

Kalinske studia il modo in cui la turbolenza influenza il trasporto solido di fondo, ipotizzando che

le particelle si muovano con una velocità u . Si individua così una striscia di dimensioni u ·1,

s s

2

considerando la proiezione delle particelle che la compongono sulla striscia stessa di k ·d .

1

Il numero di particelle presenti nella striscia è quindi pari a:

u 1

s

N= 2

k d

1

ovvero superficie totale su superficie delle particelle presenti. È stato dimostrato che il 35% di

p≅ 0.35 ¿

queste si muove contemporaneamente ( , le particelle in moto contemporaneo quindi

3

sono pari a pN e ciascuna di esse ha un volume di k ·d .

2

La portata solida espressa in volume è dunque pari al volume delle particelle che si muovono

contemporane