Informazione e Stima (Probabilità)

La media aritmetica di N v.a. X indipendenti con stessa distribuzione

FNSia la media aritmetica di N v.a. X indipendenti con stessa distribuzione,i TIaventi valore medio e varianzaECXil.mxELINI ÈInvarµ NTESO hasiOe per laTeorema centrale del limite◦Quando la grandezza di interesse è la media aritmetica o la somma di N v.a. X indipendenti,isi vorrebbe determinare la densità di probabilità di tale variabile aleatoria.Valore medio e varianza della media aritmetica e della somma si determinano con le approssimazioniviste in precedenza.Poiché per la varianza della media tende a zero e quella della somma tende all'infinito,N aper descrivere la forma a cui tende la ddp è conveniente esaminare la v.a. normalizzatadove si è sottratto il valore medio e si è diviso per la radice della varianza, in modo che per ogni NEllen 1varO MNLa distribuzione di Y tende uniformemente alla distribuzione Gaussiana, qualunque sia la ddp f (x)N XPROBABILITÀ CONDIZIONATA E INDIPENDENZA1. PROBABILITÀ

CONDIZIONATAE F; F,

Consideriamo due eventi distinti e sapendo che si è verificato l'evento E, qual è la probabilità che si verifichi F?

Chiamiamo evento condizionante; se si realizza, si realizza solo se si realizza P(E ∩ F), P(F).

La frequenza dei casi favorevoli è quindi P(E ∩ F), mentre quella dei casi totali è P(E | F) = P(E ∩ F)/P(F).

Regola del prodotto: P ( E₁ ∩ E₂ ∩ ... ∩ Eₙ ) = P(E₁) P(E₂ | E₁) P(E₃ | E₁ ∩ E₂) ... P(Eₙ | E₁ ∩ E₂ ∩ ... ∩ Eₙ₋₁)

2. REGOLA DI BAYES

Siano A e B due eventi, con P(B) ≠ 0, allora l'evento A si può scrivere come

A = A ∩ B ∪ A ∩ B', dove B' è il complementare di B.

Dato che A ∩ B e A ∩ B' sono eventi disgiunti, per l'assioma 3 si può scrivere la probabilità di A come

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B') = P ( A | B ) P(B) + P( A | B' ) P(B')

Regola di Bayes:

P(A | E) = P( E ∩ A ) / P(E) = P( E | A ) P(A) / P(E)

k k • kP(E) P( E | A ) P(A )i • iASe pensiamo agli eventi come a delle possibili “ipotesi” relative a un fatto specifico, la formula di Bayes sikpuò interpretare come il modo in cui le valutazioni iniziali su queste ipotesi fatte prima dell’esperimentoP(A )][ovvero le probabilità si debbano modificare una volta che si conosca l’esito dell’esperimento.k3. EVENTI INDIPENDENTI E F, P(E|F), P(E)In generale, la probabilità condizionata di dato ovvero non è uguale a ovvero la probabilitàE. Fnon condizionata di In altri termini, la conoscenza della realizzazione dell’evento modifica in generale leE.possibilità di realizzarsi o meno diP(E|F) = P(E), E F;Nei casi particolari nei quali diciamo che è indipendente da cioè se la conoscenza dellaF E.realizzazione di non modifica la probabilità che si realizziindipendentiE FDue eventi e si dicono se vale la formulaP(E F) = P(E)

P(F).•VARIABILI ALEATORIE

Capita spesso che studiando un fenomeno aleatorio si sia più interessati a una qualche funzione dei possibili siti che agli esiti stessi; queste funzioni a valori reali definite sullo spazio campionario sono note come variabili aleatorie.

1. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

Una variabile aleatoria che possa assumere un'infinità al più numerabile di valori è detta densità discreta X, p(a) X

Per una variabile aleatoria definiamo la funzione di probabilità p(a) = P(X = a)

La densità discreta è positiva per non più di un'infinità al più numerabile di valori di X x , x , ...,

Quindi se assume i valori allora 1 2 p(x) i = 1, 2, ... > 0 per i

p(x) = 0 altrimenti È X x , p(x ) = 1.

Poiché deve assumere almeno uno dei valori abbiamo che la funzione di distribuzione F è espressa da: F(a) = p(x)

2. VALORE ATTESO valore atteso

X p(x), X, E[X]

Se è una variabile

aleatoria con densità discreta il di che denotiamo con è2E [X] = x p(x)xpensoX XA parole, il valore atteso di è la media pesata di tutti i possibili valori che può assumere, ognuno pesatoXcon la probabilità che lo assuma.

PROPRIETÀ EE [ g(X) ] = g(x ) p(x ) gcon funzione nota a valori reali◦ i iiE [ aX + b ] = a E[X] + b a, bcon costanti◦

3. VARIANZA X, E[X] X,Data una variabile aleatoria sebbene fornisca la media pesata di tutti i possibili valori di essa non dà alcuna informazione riguardo alla variabilità, o dispersione, di questi valori.22Var(X) = E [X ] - ( E[X] ) 2varianza X XA parole, la di è uguale alla differenza tra il valore atteso di e il quadrato del suo valore atteso.2Var ( aX +b ) = a Var(X) a, bcon costanti◦ deviazione standardVar(X) X,La radice quadrata della è detta di ovveroiVar(X)=rX4. VARIABILI ALEATORIE DI BERNOULLI E BINOMIALIvariabile aleatoria di BernoulliXUna variabile aleatoria

è la media dei possibili valori che la variabile aleatoria può assumere, calcolata come la somma del prodotto di ogni valore possibile per la sua probabilità corrispondente. Per una variabile aleatoria binomiale di parametri (n, p), il valore atteso è dato da E[X] = n * p. La densità discreta di una variabile aleatoria binomiale di parametri (n, p) è data da P(X=i) = nC(i) * p^i * (1-p)^(n-i), dove nC(i) rappresenta il coefficiente binomiale che indica il numero di modi in cui si possono ottenere i successi in n prove. Inoltre, una variabile aleatoria di Bernoulli è semplicemente una variabile aleatoria binomiale di parametri (1, p).Var(X) = n p (1-p) Varianza:

1. VARIABILI ALEATORIE GEOMETRICHE p

Supponiamo di ripetere in maniera indipendente una prova, che abbia probabilità di risultare un successo, X, fino a che non si verifica il primo successo. Se denotiamo con X il numero di prove necessarie per ottenere il primo successo, allora 1/nP (X=n) = p (1-p) n = 1, 2, ... per X n. La formula si ricava notando che condizione necessaria e sufficiente affinché sia uguale a n è che le prime n-1 prove siano state un insuccesso e l'n-esima prova un successo (supponendo le prove indipendenti). XUna variabile aleatoria di questo tipo prende il nome di variabile aleatoria geometrica. PROPRIETÀ E[X] = 1 Valore atteso:

1. pVar(X) = 1 - p

Varianza:

1. 2p

VARIABILI ALEATORIE DI POISSON

Una variabile aleatoria che assuma i valori 0,1,2, ... è detta variabile aleatoria di Poisson con parametro p se P(X=n) = p(n) = e^(-p) * (p^n) / n! PROPRIETÀ E[X] = p Valore atteso:

1. Var(X) = p

Varianza:

1. p

Fino ad ora abbiamo considerato variabili aleatorie discrete. Tuttavia ci sono variabili aleatorie in cui l'insieme X dei valori non è numerabile; sia una variabile aleatoria di questo tipo.

Variabile aleatoria continua X:

Diciamo che è una se esiste una funzione non negativa definita per ogni x, B numero reale tale che per ogni sottoinsieme di numeri reali P(X ∈ B) = f(x) dx E X funzione di densità fX.

La funzione è chiamata densità della variabile aleatoria X.

A parole, la formula afferma che la probabilità che X stia in [a, b] si ottiene integrando la densità sull'insieme [a, b].

Possiamo definire la funzione di distribuzione F come F(X) = P(X ≤ x).

La relazione tra la funzione di distribuzione e la densità è data da:

F(x) = ∫ f(t) dt

1. VALORE ATTESO E VARIANZA

Se X è una variabile aleatoria continua con densità f(x), il valore atteso di X si calcola derivando:

E(X) = ∫ x f(x) dx

definisce il di come l'integrale varianzaX e, XSe è una variabile aleatoria con valore atteso la di è definita da22 2Var (X) = E [ (X - E[X]) ] = E [ X ] - ( E[X] )2. VARIABILI ALEATORIE UNIFORMIuniforme (a , b)Una variabile aleatoria è detta sull'intervallo se EZapbEfi a2 2b avarix 123. VARIABILI ALEATORIE GAUSSIANEGaussianaX normale) XDiciamo che è una variabile aleatoria (o di parametri e se la densità di èsiµoetxt n Nln.sixovarlxt.rsMIO 072 X2standard1n e µLa funzione di distribuzione di una variabile normale standard (parametri 0 e 1) si indica conEterotrofiil PlzPIZl E1 qui oPlica PFila E Y IM4. VARIABILI ALEATORIE ESPONENZIALIesponenzialeUna variabile aleatoria si dice (o distribuita esponenzialmente) se la sua densità è data daEExVarixLEGGI CONGIUNTE DI VARIABILI ALEATORIEFino a ora abbiamo considerato unicamente le leggi di singole variabili aleatorie; tuttavia, siamo spessointeressati a studiare

problemi di probabilità legati al valore congiunto di due o più variabili aleatorie. funzione di distribuzione congiunta X Y, Definiamo, per due variabili aleatorie e la come F(a, b) = P(X < a, Y < b). La funzione di distribuzione di (e analogamente di può essere ottenuta da quella congiunta come F(a) = P(X < a, Y < F(a, )). F(b) = P(X < , Y < b). Le funzioni di distribuzioni e sono definite di e X Y VARIABILI DISCRETE X Y Nel caso in cui sia che siano variabili aleatorie discrete, è conveniente definire la funzione di densità discreta congiunta come p(x, y) = P(X=x, Y=y). sto aÉGLI VARIABILI CONTINUE congiuntamente continue X Y f(x, y)