Statistica - Soluzioni Commentate Prova Esame 01/04/2009

Vittoria = V 3 1/3

Pareggio = P 1 1/3

Sconfitta = S 0 1/3

La Variabile aleatoria di cui si vuole la distribuzione della probabilità è:

X = ” Punti in classifica dopo le prime due giornate”

= 9

A fronte di due partite disputate, le coppie dei possibili risultati è pari a:

Dove:

 La base 3, rappresenta i possibili risultati della partita: V,P, S.

 L’esponente 2, rappresenta la numerosità degli eventi che si prendono in considerazione: 2 partite

Riportiamo ora nella tabella seguente i valori della Variabile Aleatoria X, i risultati degli eventi ad essa

associati e quindi la probabilità associata a ciascun valore della Variabile Aleatoria:

X Risultati dei due Eventi Probabilità

associati

0 (S,S) (1/3*1/3) = 1/9

1 (P,S) opp (S,P) (1/3 *1/3) +(1/3 *1/3) = 2/9

2 (P,P) (1/3*1/3) = 1/9

3 (V,S) opp (S,V) (1/3 *1/3) +(1/3 *1/3) = 2/9

4 (V,P) opp (P,V) (1/3 *1/3) +(1/3 *1/3) = 2/9

5 Ø 0

6 (V,V) (1/3*1/3) = 1/9

2

Per la Distribuzione di Probabilità della Variabile Casuale X abbiamo:

2

Xi P(Xi) Xi * P(Xi) (Xi) * P(Xi) P(Xi)

0 1/9 0 0

1 2/9 2/9 2/9 2/9 2/9

0,250 2/9

2 1/9 2/9 4/9

3 2/9 6/9 18/9 0,200

4 2/9 8/9 32/9

5 0 0 0 0,150 1/9

1/9 1/9

6 1/9 6/9 36/9 P(Xi)

24/9 92/9

1,0 0,100

0,050 0

0,000 0 1 2 3 4 5 6

b] Valore Atteso della Variabile Casuale X:

c] Varianza della Variabile Casuale X: 3

Quesito n° 2 (Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009)

a) Per calcolare la probabilità che la coppia risponde esattamente ad una domanda, tenendo conto delle

probabilità seguenti :

 Probabilità che risponda Alessandro: P(A) = 1/3

 Probabilità che risponda Betta: P(B) = 1 – P(A)= 2/3

 Probabilità che rispondendo Alessandro, la risposta sia esatta: P(D|A) = 3/5

 Probabilità che rispondendo lessandro, la risposta sia errata: |A) = 2/5

 Probabilità che rispondendo Betta, la risposta sia esatta: P(D|B) = 1/10

 ro a ilità che rispondendo etta, la risposta sia errata: |B) = 9/10

utilizziamo il seguente schema:

Ei P(Ei) P(D|Ei) P(Ei) * P(D|Ei)

A P(A) = 1/3 P(D|A) = 3/5 1/3 * 3/5 = 3/15

B P(B) = 2/3 P(D|B) = 1/10 2/3 * 1/10 = 2/30 = 1/15

1 4/15

Pertanto la Probabilità che la coppia risponde esattamente ad una domanda è pari a:

P( la coppia risponde esattamente ad una domanda) =

P(D) = P(A) *P(D|A) + P(B) *P(D|B) = 4/5

4

b) Calcoliamo ora la probabilità che abbia riposto Betta, nel caso in cui la risposta sia stata errata.

Facciamo riferimento allo schema riportato sotto

Ei P(Ei) P( Ei) P(Ei) * P( Ei) P(Ei| )= P(Ei) * P( Ei)/∑ [P(Ei) * P( Ei)]

| | | |

A P(A) =1/3 P( |A) =2/5 1/3 * 2/5 = 2/15 (2/15) / (11/15) = 2/11

2/3 * 9/10 = 18/30 = (9/15) /(11/15) = 9/11

B P(B) = 2/3 P( |B) = 9/10 9/15

11/15

1 abbia riposto Betta, nel caso in cui la risposta sia stata errata è pari a :

Pertanto la Probabilità che

P( ha riposto Betta, nel caso cui la risposta sia errata) =

P(B| ) = [ P(B) * P( B)] / [P(A) * P( A) + P(B) * P( B) ] = 9/11

| | |

c) Calcoliamo ora il valore della probabilità P(A) affinché, la probabilità P(B| ) = 1/2.

A tale scopo deve essere soddisfatta la seguente relazione:

̅ =

̅| ̅|

Poiché: P(B) = 1-P(A)

Sostituiamo a ) l’espressione 1-P(A): ̅

̅| ̅|

Sostituendo anche i valori numerici delle probabilità conosciute rimane una equazione con P(A)

incognita:

Risolvendo si ha: [( ) ] 5

( )

Portiamo i due membri allo stesso denominatore:

Da cui:

E quindi in definitiva:

Verifichiamo che tali valori fanno si che la probabilità P(B| ) = 1/2 :

Ei P(Ei) P( Ei) P(Ei) * P( Ei) P(Ei| )= P(Ei) * P( Ei)/∑ [P(Ei) * P( Ei)]

| | | |

P(A| )=

A P(A) =9/13 P( |A) =2/5 9/13 * 2/5 = 18/65 ((18/65) / (36/65) = 18/36 = 1/2

P( |B) = 4/13 * 9/10 = 36/30 = P(B| )= (18/65) /(36/65) = 18/36 = 1/2

B P(B) = 4/13 9/10 18/65

36/65

1 6

Quesito n° 3 (Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009)

Richiami di teoria:

Una Variabile Casuale X Binomiale di parametri n e p:

X ~ Bin (n, p)

funzione di Probabilità

Ha come la seguente formula:

Valore Atteso:

Varianza:

a)

Nel caso in esame abbiamo :

pertanto: = 1/3

Sostituendo a il valore dato ( ) si ha:

( )

( )

7

b) Dobbiamo ora trovare la Probabilità di avere al max 16 successi nelle n=18 prove:

Tale probabilità la si può scrivere come:

Calcoliamo ora le probabilità

( ) ( ) ( )

( )

Pertanto:

Ne riportiamo di seguito una rappresentazione grafica:

8

Quesito n° 4 (Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009)

a)

La è pari a 0,5,

in quanto il valore 20 della variabile

aleatoria corrisponde alla media

della distribuzione Gaussiana.

Inoltre sappiamo che la distribuzione

Gaussiana è simmetrica rispetto alla

media e la probabilità totale sottesa

dalla curva di distribuzione è pari a 1.

b)

Se

significa che la media e sempre pari a:

Anche se è aumentata la Deviazione

Standard della distribuzione Gaussiana

( maggiore dispersione intorno alla

media) valgono sempre le

considerazioni fatte sopra e pertanto si

ha anche in questo caso che 9

Quesito n° 5 (Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009)

Supponendo che il tempo della corsa X sia distribuito secondo una Distribuzione Normale:

N (30, ) a)

Per determinare il valore di σ tale

97% che, nel 97% dei casi, il tempo di

corsa sia 27 min, deve valere la

seguente probabilità:

X =27

0

Consideriamo la seguente relazione di normalizzazione: 97%

Vediamo come trovare il valore della variabile normalizzata Z

che corrisponde al valore della variabile X = 27:

0

indichiamo con - Z il valore corrispondente a 27 nella

0

distribuzione normalizzata (negativo in quanto precede la

media pari a 0) pertanto si ha:

, -Z

0

Al fine di poter utilizzare le tavole della Distribuzione Normalizzata trasformiamo la relazione

sopra nella seguente equivalente (v. fig.) 97%

10 Z

0

Utilizziamo ora le tavole della distribuzione Normalizzata e troviamo il valore

Sostituiamo ora valori seguenti

 X = 27

0





nella:

Pertanto risolvendo l’ equazione:

σ σ tale che nel 97% dei casi il tempo di corsa sia di almeno

nell’incognita , si trova il valore di

27 min: 11

Quesito n° 6 (Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009)

Si deve trovare il valore della variabile casuale X tale

0

che: 2,275 %

Consideriamo la seguente relazione di

normalizzazione:

Vediamo come trovare il valore della variabile normalizzata Z che corrisponde al valore della

variabile X cercato:

0

Il valore della variabile normalizzata dovrà

soddisfare la seguente relazione: 2,275 %

( negativo in quanto precede la media pari a 0)

Per l’utilizzo delle tavole della distribuzione

Normalizzata, effettuiamo la seguente

trasformazione: -Z

0

97,725 %

Dalla Tavola della distribuzione Normale, riportata a 2,275 %

pagina seguente, si trova il seguente valore per 12 Z

0