Statistica - Soluzione commentata Es. 2 Prova Esame 01/04/2009

Quesito n° 2 (Modulo 2 Probabilità e Variabili Aleatorie Prova scritta 01/04/2009)

a) Per calcolare la probabilità che la coppia risponde esattamente ad una domanda, tenendo conto delle

probabilità seguenti :

 Probabilità che risponda Alessandro: P(A) = 1/3

 Probabilità che risponda Betta: P(B) = 1 – P(A)= 2/3

 Probabilità che rispondendo Alessandro, la risposta sia esatta: P(D|A) = 3/5

 Probabilità che |A) = 2/5

 Probabilità che rispondendo Betta, la risposta sia esatta: P(D|B) = 1/10

 |B) = 9/10

utilizziamo il seguente schema:

Ei P(Ei) P(D|Ei) P(Ei) * P(D|Ei)

A P(A) = 1/3 P(D|A) = 3/5 1/3 * 3/5 = 3/15

B P(B) = 2/3 P(D|B) = 1/10 2/3 * 1/10 = 2/30 = 1/15

1 4/15

Pertanto la Probabilità che la coppia risponde esattamente ad una domanda è pari a:

P( la coppia risponde esattamente ad una domanda) =

P(D) = P(A) *P(D|A) + P(B) *P(D|B) = 4/5

b) Calcoliamo ora la probabilità che abbia riposto Betta, nel caso in cui la risposta sia stata errata.

Facciamo riferimento allo schema riportato sotto

Ei P(Ei) P( Ei) P(Ei) * P( Ei) P(Ei| )= P(Ei) * P( Ei)/∑ [P(Ei) * P( Ei)]

| | | |

A P(A) =1/3 P( |A) =2/5 1/3 * 2/5 = 2/15 (2/15) / (11/15) = 2/11

2/3 * 9/10 = 18/30 = (9/15) /(11/15) = 9/11

B P(B) = 2/3 P( |B) = 9/10 9/15

11/15

1 abbia riposto Betta, nel caso in cui la risposta sia stata errata è pari a :

Pertanto la Probabilità che

P( ha riposto Betta, nel caso cui la risposta sia errata) =

P(B| ) = [ P(B) * P( B)] / [P(A) * P( A) + P(B) * P( B) ] = 9/11

| | |

c) Calcoliamo ora il valore della probabilità P(A) affinché, la probabilità P(B| ) = 1/2.

A tale scopo deve essere soddisfatta la seguente relazione:

̅ =

̅| ̅|

Poiché: P(B) = 1-P(A)

S u m ) ’ 1-P(A): ̅

̅| ̅|

Sostituendo anche i valori numerici delle probabilità conosciute rimane una equazione con P(A)

incognita:

Risolvendo si ha: [( ) ]

( )

Portiamo i due membri allo stesso denominatore:

Da cui:

E quindi in definitiva: