Statistica - Prova Scritta Esame 01/04/2009 - Probabilità e Variabili Aleatorie

STATISTICA (M-Z) MODULO 2 (probabilità e variabili aleatorie)

prova scritta 1-4-2009

nome _________________________ cognome _________________________ numero _______

Istruzioni. Per la prova è consentito esclusivamente l'uso di una calcolatrice tascabile. La consegna della "brutta" è obbligatoria (riportare nome, cognome e numero d'ordine in ogni foglio). Accanto ad ogni quesito è riportato il punteggio ottenibile in caso di risoluzione completa dell'esercizio. Lo svolgimento deve contenere una chiara indicazione dei percorsi di risoluzione e dei calcoli necessari.

QUESITI

1. Si supponga che, per la Lazio, in ciascuna giornata di campionato sia equiprobabile vincere, pareggiare e perdere.

   1. (2 punti) Si costruisca la distribuzione di probabilità della variabile casuale "punti in classifica dopo le prime due giornate" (N.B. la vittoria vale 3 punti, il pareggio 1, la sconfitta 0).
   2. (2 punti) Si calcoli il valore atteso della variabile casuale.
   3. (2 punti) Si calcoli la varianza della variabile casuale.

2. Alessandro e Betta partecipano in coppia ad un quiz televisivo. Un meccanismo aleatorio stabilisce chi dei due deve rispondere a ciascuna domanda, sceglie Alessandro con probabilità p_A = 1/3 e Betta con probabilità 1 - p_A = 2/3. Alessandro risponde esattamente a ciascuna domanda con probabilità 3/5. Betta con probabilità 1/10.

   1. (2 punti) Con che probabilità la coppia risponde esattamente ad una domanda?
   2. (2 punti) Con che probabilità ha risposto Betta se la risposta è sbagliata?
   3. (2 punti) Quale dovrebbe essere il valore di p_A affinché la probabilità del punto (b) sia pari a 1/27?

3. Sia X ∼ Bin(n, 1/3).

   1. (2 punti) Qual è il valore per il parametro n, sapendo che la deviazione standard (o scarto quadratico medio) di X è pari a 2?
   2. (2 punti) Qual è la probabilità di ottenere al massimo 16 successi nelle n prove (N.B. n è il valore del parametro trovato al punto (a))?

4. Sia X ∼ N(20, 2).

   1. (1 punto) Determinare P(X < 20) senza utilizzare le tavole (giustificare in modo opportuno la risposta).
   2. (3 punti) Come cambierebbe P(X < 20) se X ∼ N(20, 4) (giustificare in modo opportuno la risposta)?

5. In media un cittadino corre per 30 minuti al giorno. Supponendo che il tempo della corsa (X) sia distribuito secondo una distribuzione Normale

   1. (3 punti) Si determini σ tale che nel 97% dei casi il tempo di corsa sia almeno di 27 minuti.

6. Il peso dei macchinari prodotti da una ditta si distribuisce secondo una distribuzione Normale con media 25 e varianza 9.

   1. (3 punti) Trovare quel valore tale che il 2,275% dei macchinari prodotti presenti un peso al massimo pari a tale valore.

7. Una fabbrica produce pezzi difettosi con probabilità pari a 0,06. Si supponga di osservare un campione di 1000 pezzi.

   1. (3 punti) Si calcoli la probabilità che il numero di pezzi difettosi sia NON inferiore a 70.