Statistica per la ricerca sperimentale - Calcolo delle probabilità

B) CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - Esercizi

B.1) Una rete è costituita da 15 PC per altrettanti operatori e da un server che permette la

connessione di al più 10 PC. In un dato istante, ogni operatore richiede la connessione al server

con probabilità p = 0.5. Ogni utente opera in modo indipendente. Quale è la probabilità che,

ad un dato istante, la rete sia satura? Quale è il numero medio di operatori che, in un dato

istante, si connettono al server?

B.2) Su mille automobili vendute di un certo modello, ogni mese 10 richiedono un intervento

di assistenza. Un concessionario ha venduto 100 automobili di questo tipo. Si proponga un

modello probabilistico ragionevole per la variabile casuale X che conta il numero di interventi

di assistenza (alle 100 automobili vendute) che tale concessionario effettuerà nel prossimo mese.

Si calcolino E(X), V (X) e P (X = 0).

B.3) Sia X la variabile casuale che conta il numero di volte con cui esce un numero maggiore

o uguale a 5, lanciando tre volte un dado. Nell’ipotesi che il dado sia regolare, si determini il

supporto, la funzione di probabilità e la funzione di ripartizione di X. Inoltre, si calcoli il valore

atteso, la moda, la mediana e la varianza di X.

B.4) Sia X la variabile casuale che conta il numero di lanci di un dado affinché esca per la prima

volta un numero maggiore o uguale a 5. Nell’ipotesi che il dado sia regolare, si proponga un

modello probabilistico ragionevole per la variabile casuale X. Inoltre, si calcoli il valore atteso

e la varianza di X.

B.5) Un test di ingresso è costituito da 4 domande a risposta multipla, ognuna delle quali

ha 5 risposte possibili, con una sola corretta. Lo studente impreparato risponde casualmente

ad ognuna delle domande. Si proponga un modello probabilistico ragionevole per la variabile

casuale X che conta il numero di risposte positive alle 4 domande da parte dello studente. Si

calcolino E(X), V (X), P (X = 3) e P (X = 0).

B.6) In una piccola concessionaria di automobili si presenta mediamente un cliente ogni 4 ore.

Si proponga un modello probabilistico ragionevole per la variabile casuale X che conta il numero

di clienti che si presentano in un ora. Si calcoli la probabilità che in un’ora entri esattamente

una persona e che in un’ora entri almeno una persona.

B.7) Il tempo che mediamente trascorre tra l’apertura di uno sportello pubblico e l’arrivo del

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primo utente è di 4 minuti. Si proponga un modello probabilistico ragionevole per la variabile

casuale X che descrive il tempo tra l’apertura dello sportello e l’arrivo del primo utente. Si

determini la probabilità che il tempo d’attesa del primo utente superi i 5 minuti. Infine, si

calcolino i quartili di X. ◦

B.8) Un’azienda fabbrica termometri che si suppongono in grado di fornire la lettura di 0 C

al punto di congelamento dell’acqua. In realtà, la lettura che forniscono è descritta da una

∼

variabile casuale X N (0.05, 1.1). Scelto a caso un termometro, determinare la probabilità

◦ ◦

−1.23

che, al punto di congelamento dell’acqua, la lettura sia meno di 1.58 C, sia almeno C e

◦ ◦

−2.00

sia compresa tra C e 1.50 C. Infine, si determinino i valori di temperatura che delimitano

il 2.5% inferiore e il 2.5% superiore della distribuzione di probabilità si X.

B.9) La durata di un circuito integrato è descritta da una variabile casuale con distribuzione

esponenziale con media pari 2 anni. Si determini la probabilità che il circuito duri più di 3 anni.

Inoltre, nell’ipotesi che il circuito dopo 4 anni sia ancora funzionante, si calcolo la probabilità

che funzioni per almeno altri 3 anni.

B.10) La variabile casuale X, che descrive il numero di difetti in un filo di rame di lunghezza 3

cm, ha la seguente distribuzione di probabilità

x 0 1 2 3

P (X = x) 0.48 0.39 0.12 0.01

Si considerano 100 fili di rame. Utilizzando una opportuna approssimazione, si determini la

probabilità che il numero medio di difetti per filo, considerando i 100 fili in esame, sia minore

di 0.5 e la probabilità che la somma totale dei difetti riscontrati nei 100 fili sia minore di 25.

B.11) Il numero medio di connessioni ad un sito web segue una distribuzione di Poisson con una

media di 27 connessioni all’ora. Si determini la probabilità che avvengano più di 90 connessioni

in tre ore.

B.12) Nella fase di progettazione dei sedili di un aereo commerciale si vuole considerare una

larghezza tale da soddisfare la quasi totalità dei potenziali utilizzatori maschi. Tenendo conto

del fatto che la larghezza in cm dei fianchi degli uomini è descritta da una variabile casuale

∼

X N (36.5, 6.25), si determini l’ampiezza dei sedili che li rende accessibili al 95% degli uomini.

B.13) È noto che il 5% dei semi di frumento di una determinata partita non germoglierà. I

semi vengono venduti in confezioni da 200 semi, dei quali viene garantita la germinazione per

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almeno il 90%. Utilizzando una opportuna approssimazione, si determini la probabilità che una

confezione non sia conforme a tale garanzia.

Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai seguenti testi.

Navidi, W. (2006). Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze. McGraw-Hill.

Pauli, F., Torelli, N. e Trevisani, M. (2008). Statistica: esercizi ed esempi. Pearson.

Triola, M.M. e Triola, F.T. (2009). Statistica per le discipline biosanitarie. Pearson.

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