statistica

Probabilità e indipendenza degli eventi

La probabilità di A: P(A)

La probabilità di B: P(B)

Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Questo spiega che A non mi serve per sapere di B.

Se c'è indipendenza tra A e B allora:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Teorema delle probabilità totali: dati un evento A ed un insieme finito di eventi Ei (ad esempio k eventi) a 2 a 2 incompatibili, tali che la loro unione dia Ω,

La probabilità dell'evento totale è uguale alla somma delle probabilità degli eventi parziali dato che gli eventi parziali sono fra loro incompatibili e uno di questi deve per forza verificarsi.

Si determina con questo teorema la probabilità di osservare l'effetto A indipendentemente dalla causa Ei che lo ha prodotto. (con il Teorema di Bayes si può determinare la probabilità che sia stata quella causa Ei a determinare l'effetto A)

osservato)La probabilità P(Ei) è la probabilità che si verifichi la causa Ei indipendentemente dal presentarsi o meno dell'evento A, probabilità a priori o iniziale. Il Teorema di Bayes afferma che dati un evento A ed un insieme finito di eventi Ei a due a due incompatibili, tali che la loro unione dia l'insieme Ω, la probabilità condizionata P(Ei/A) è la probabilità di Ei valutata sapendo che l'evento A si è già verificato, probabilità a posteriori o finale. Una variabile casuale X è una funzione matematica definita sullo spazio campionario che associa ad ogni evento Ei uno e un solo numero reale. (X mi descrive la variabile casuale, x mi descrive invece il valore assunto dalla variabile casuale). Uno spazio campionario contenente un numero di elementi finito o una sequenza infinita di elementi caratterizzati da numeri interi è chiamato spazio campionario DISCRETO. Uno spazio

Un campionario contenente un numero infinito di elementi pari al numero di punti di un segmento è chiamato spazio campionario continuo. Quindi si possono avere variabili casuali continue o discrete:

VARIABILI CASUALI DISCRETE: una variabile casuale si dice discreta se l'insieme dei possibili esiti, quindi può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali. Le probabilità di una variabile casuale X vengono di solito rappresentate mediante una formula, che risulta necessariamente essere una funzione dei valori numerici di x. La notazione f(x) = P(X = x) con x = 3 diventa f(3) = P(X = 3). L'insieme delle coppie ordinate (x, f(x)) è una funzione di probabilità della variabile casuale discreta X se per ogni possibile esito x abbiamo:

• f(x) ≥ 0
• Σ f(x) = 1
• P(X = x) = f(x)

Tutte le v.c. casuali discrete X sono associate ad una funzione di probabilità che associa ad ogni uno dei valori x (x ∈ R) che la v.c. assume.

Il corrispondente livello di probabilità P(X=x) rappresenta la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore x. Se sommo tutte le possibili probabilità rispetto a tutte le x, questa somma è uguale a 1.

Ci sono molti problemi in cui il calcolo della probabilità di un valore della variabile casuale X potrebbe essere pari o inferiore a un certo numero x appartenente all'asse dei numeri reali. Con F(x) = P(X ≤ x) per ogni numero reale x, si definisce F(x) la funzione di distribuzione cumulativa (o funzione di ripartizione) della variabile casuale x.

Data una variabile casuale discreta X, la funzione che associa ai valori x le probabilità cumulative viene detta funzione di ripartizione, che invece di considerare le probabilità associate ai singoli valori x, considera le probabilità associate agli intervalli per tutti i valori x reali. Graficamente si presenta come una funzione costante a tratti ("a scalini").

La funzione di ripartizione F(x) soddisfa le proprietà:

1. È non decrescente, ossia:
2. Ha per limiti:
3. È continua da destra:

Il VALORE ATTESO E (X) (o speranza matematica di una variabile casuale X discreta è definito:

- Il valore atteso di una variabile casuale rappresenta il valore previsto che si potrà ottenere in un gran numero di prove.

La VARIANZA Var (X) di una variabile casuale X discreta è definita:

La DEVIAZIONE STANDARD di una variabile casuale X discreta è definita:

VARIABILE CASUALE UNIFORME DISCRETA può assumere solo i valori interi compresi in un certo intervallo [a,a+s-1] quindi i valori partono da un generico a che nei casi pratici è intero.

Si definisce v.c. uniforme discreta, la variabile X che assume valori x=1,2,...,k con probabilità costante pari ad 1/k.

La probabilità che la v.c. X assuma valore x è = ad 1/s P(X=x) = 1/s

La v.c. ud è simmetrica, non presenta moda

La variabile casuale di Bernoulli descrive un esperimento che ammette solo 2 risultati possibili che non sono equiprobabili. Riguarda tutte le prove che producono solo 2 possibili risultati:

• SUCCESSO (evento A) x = 1 con P (X = 0) = π
• INSUCCESSO (evento non A) x = 0 con P (X = 0) = 1 - π

Quindi la v.c. di Bernoulli è la variabile X che assume valore 1 (il successo) con probabilità π e valore 0 (l'insuccesso) con probabilità 1 - π. La sua funzione di probabilità:

La funzione di ripartizione di X è nulla prima dello 0, vale 1 dopo l'1 e vale 1-p tra 0 ed 1:

La variabile casuale binomiale considera il numero di successi x ottenuti in n prove di Bernoulli identiche (pi-greco non varia da prova a prova) ed indipendenti (non si influenzano a vicenda). Considera la prova o esperimento casuale che consiste nel contare quante volte un evento indipendente, incerto E si è

verificato (“successo”) in n sottoprove di Bernoulli in ognuna dellequali la probabilità di successo è p = P(E); sempre per evitare casi degeneri, continua asupporre 0<p<1. L’aggettivo “indipendenti” allude al fatto che il risultato di ciascunasottoprova, una volta noto, non modifica la probabilità di successo nelle altre sottoprove.

L’esperimento in questione è descritto dalla variabile casuale Binomiale, X, avente leseguenti caratteristiche:

Il supporto di X, cioè l’insieme dei valori che X può assumere, è formato dai numeri interi tra 0 ed n: X(S) = {0,1,2,….n}

La sua funzione di probabilità è data da:

VARIABILE CASUALE DI POISSON: la distribuzione di Poisson considera il numero di accadimenti(successi) x che si realizzano in un intervallo di lunghezza data.

La sua funzione di probabilità è:

- Può essere usata per rappresentare un conteggio

del numero di occorrenze di certi eventi in un'unità di tempo o rappresenta anche il numero di successi in un certo intervallo continuo. Una variabile casuale di Poisson è discreta e può assumere qualsiasi valore intero non negativo. Se c'è un intervallo diviso in un numero molto grande di sottointervalli (così che la probabilità del verificarsi di un evento in ogni sottointervallo sia molto piccola) le ipotesi di base di una variabile di Poisson sono:

1. La probabilità del verificarsi di un evento è costante per tutti i sottointervalli
2. L'evento non si può verificare più di una volta in ciascuno dei sottointervalli
3. Eventi che si verificano in intervalli disgiunti sono indipendenti

Se si indica con X la variabile di Poisson e con il parametro di tale distribuzione, diremo che X ~ P(λ), λ ≥ 0.indicail numero medio di eventi che si verificano nell'unità o in un intervallo di tempo, mentre con Xindichiamo il numero di eventi che si verificano nell'unità.- La funzione di densità per la variabile XX di Poisson rappresenta la probabilità di avere un certo λ kⅇ · λf(k)=P(X=k) =numero k di successi in un determinato intervallo di tempo: k!k=0,1,2,…,∞- La funzione di ripartizione per la variabile XX di Poisson indica la probabilità di ottenere al λ nⅇ · λF(k)=P(X≤k)= ∑più k successi in un determinato intervallo di tempo: n!- La distribuzione di Poisson si chiama distribuzione degli eventi rari perché può essere applicata quando la probabilità p di successo è molto piccola (p tende a 0) quando il numero n delle proveλè molto elevato (n tende ad infinito) quando il prodotto n*p è costante (

1. La distribuzione di Poisson ha un'asimmetria positiva, inoltre al crescere di λ la distribuzione tende a diventare simmetrica.
2. La somma delle probabilità per la variabile casuale discreta di Poisson è pari ad 1.
3. La distribuzione di Poisson rappresenta una conveniente approssimazione della distribuzione binomiale nel caso in cui il numero delle prove n sia abbastanza elevato (n ≥ 100) e la probabilità che l'evento si presenti in una singola prova sia sufficientemente prossima allo 0.
4. Se X e Y sono due variabili indipendenti tali che X ~ P(λ1) e Y ~ P(λ2), allora X+Y ~ P(λ1+λ2).

VARIABILE CASUALE CONTINUA: una v.c. X definita nell'intervallo (l,L) limite inferiore e superiore (possono coincidere con -infinito e +infinito) è detta continua se esiste una funzione f(x), chiamata funzione di densità di probabilità, tale che:

f(x) = ∫_a^b f(x) dx

dove a e b sono i limiti di integrazione.

due valori di X tali che a < b. l e L sono rispettivamente il limite inferiore e il limite superiore del campo di definizione della v.c. e possono coincidere con -∞ e +∞. La funzione di ripartizione sarà data da: Il valore atteso e la varianza risultano essere: VARIABILE CASUALE UNIFORME CONTINUA: una v.c. uniforme continua è una v.c. che assume valori reali in un intervallo limitato [a,b] con a e b numeri reali. VARIABILE CASUALE NORMALE (DI GAUSS): la sua curva normale è simmetrica rispetto alla media, mentre è più o meno "appiattita" a seconda che lo scarto quadratico medio sia più o meno elevato. La sua funzione di densità è pari a: X è definita tra meno e più infinito. Ho due parametri che entrano in gioco: la media μ e la deviazione standard σ.