Statistica Economica e Statistica Istituzionale - Esercizi e prova d'esame

ANNI PREZZI

1977 705

1978 680

1979 702

1980 724

SERIE DEI NUMERI INDICE A BASE FISSA 1977:

1977 705/705 = 1 100%

1978 680/705 = 0.964 96,4%

1979 702/705 = 0,995 99,5%

1980 724/705 = 1,026 102,6%

SERIE DEI NUMERI INDICE A BASE FISSA 1980:

1977 705/724 = 0,973 97,3%

1978 680/724 = 0.939 93,9%

1979 702/724 = 0,969 96,9%

1980 724/724 = 1 100%

NUMERI INDICE A BASE MOBILE

680

1978 = = 0,964 (96,4%)

705

1980

702

1979 = = 1,032 (103,2%)

680

1980

724

1980 = = 1,031(103,1%)

702

1979

PASSAGGIO A BASE FISSA 1977

=

= ,

= ,

= ,

divido i numeri ottenuti sopra per l’indice della base fissa

PASSAGGIO A BASE FISSA 1979:

appena scelta 99,5

100

99,5

96,4

99,5

99,5

99,5

102,6

99,5 Esercizio sulla regressione lineare semplice

Verificare la presenza di dipendenza lineare tra i 2 caratteri X e Y e calcolare l’equazione della retta

di regressione lineare.

X Y X - Xm Y - Ym (X - Xm) * (Y - Ym) (X - Xm)^2 (Y - Ym)^2

3 280 -15,3 -584 8.935,20 234,09 341.056

8 430 -10,3 -434 4.470,20 106,09 188.356

12 500 -6,3 -364 2.293,20 39,69 132.496

14 600 -4,3 -264 1.135,20 18,49 69.696

16 800 -2,3 -64 147,20 5,29 4.096

19 900 0,7 36 25,20 0,49 1.296

24 1200 5,7 336 1.915,20 32,49 112.896

28 1280 9,7 416 4.035,20 94,09 173.056

26 1300 7,7 436 3.357,20 59,29 190.096

33 1350 14,7 486 7.144,20 216,09 236.196

183 8640 33.458 806,10 1.449.240

1 Step: Calcolare la covarianza (X,Y)

̅ ̅

∑ ( ) ( )

− − 33458

=1

σ

Cov(X,Y) = = = = 3345,8

X,Y 10

Calcolare la Media Aritmetica X e Y

1 183

̅ ∑

= = = 18,3

10

=1

1 8640

̅ ∑

= = = 864

10

=1

= 1, … ,

{ = 10

Guardando la formula della covarianza (X,Y) costruiamo getto per getto la stessa.

≠

N.B. Poiché la covarianza di X ed Y è 0, deduciamo che esiste dipendenza lineare tra le variabili

(X,Y).

Il segno positivo della covarianza li informa anche del fatto che esiste una dipendenza lineare

positiva a valori crescenti della X sono associati valori della Y.

Al fine di valutare l’entità di tale dipendente lineare, tuttavia, è necessario calcolare il coefficiente

di correlazione lineare. ̅̅̅ ̅

− −

∑ ( ) ( )

=1

,

= =

, ∗ 2 2

̅̅̅ ̅

− −

√∑ √∑

( ) ( )

=1 =1

∗

2

̅

( )

∑ − 806,1

√ =1

= √

= =

√80,61 = 8,98

10

2

̅

( )

∑ − 1449240

√ =1

= =√ = √144924 = 380,69

10 3345,8 3345,8

= = = 0,98

, 8,98 ∗ 380,69 3418,6

Il coefficiente di correlazione lineare ha un valore molto prossimo ad 1, rilevando una dipendenza

molto forte tra i 2 caratteri.

Il segno positivo del coefficiente di correlazione lineare, inoltre, conferma ciò che avevamo

concluso cioè che la dipendenza lineare è positiva.

Ora ricaviamo l’equazione della retta di regressione lineare semplice (Y = mx + q).

Cov(X,Y) 33458

= = = 41,506

2

80,61

̅ ̅ –

= − = 864 (41,506 * 18,3) = 104,44

Y = 41,506X + 104,44

Esercizio sulla dipendenza in media del consumo dal reddito (C e R)

0 -I 1 1 -I 2 2 -I 4 fi

Consumo

Reddito

0 -I 2 30 5 0 35

2 -I 4 10 10 5 25

4 -I 6 10 20 10 40

fj 50 35 15 100

C e R sono espressi in classi , quindi si lavora con i valori centrali

2

=

/

SVOLGIMENTO: ̅

C

5) Per ottenere il numeratore, trovare prima poi la varianza di C

C fj

0 -I 1 50

1 -I 2 35

2 -I 4 15

(0,5∗50)+(1,5∗35)+(3∗15)

C̅ = =1,225

100

2 2 2

(0,5−1,225) (1,5−1,225) (3−1,225)

∗50+ ∗35+ ∗15

VARIANZA TOTALE DI C = = 0,761875

100

6) Per ottenere il denominatore servono le distribuzioni condizionate

C f

C/R = 0 –I 2

0 -I 1 30

1 -I 2 5

2 -I 4 0

Totale 35

∑ ∗

15

=1

(̅ )

MEDIA CONDIZIONATA =

= ∑

15

=1

(0,5∗30)+(1,5∗5)+(3∗0)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

C = = 0,64

=0−I 2 35

C f

C/R = 2 –I 4

0 -I 1 10

1 -I 2 10

2 -I 4 5

Totale 25

(0,5∗10)+(1,5∗10)+(3∗5)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

C = = 1,4

=2−I 4 25

C f

C/R = 4 –I 6

0 -I 1 10

1 -I 2 20

2 -I 4 10

Totale 40

(0,5∗10)+(1,5∗20)+(3∗10)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

C = = 1,625

=4−I 6 40

7) Calcolo della varianza spiegata 2 2

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅

− −

∑ ∑

( ) ∗ ( ) ∗

= =

=1 =1

VARIANZA SPIEGATA = cioè

2

̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅

−

̅

− ( ) ∗

=

= =

0,64 1,225 0,585 11,9778 35

1,4 1,225 0,175 0,7656 25

1,625 1,225 0,4 6,4 40

19,1434

19,1434

VARIANZA SPIEGATA = = 0,191434

100

8) 0,191434

2

= = 0,251

/ 0,761875

ESEMPIO C E R

2 5 7

Y

X

1 20 2 2 25

3 15 20 5 40

5 5 30 0 35

40 53 7 100

̅ = 3,2

̅ = 3,94 – – – – – – –

COV (X,Y) = (1 3,2) (2 3,94) * 20 + (1 3,2) (5 3,94) * 3 + (1 3,2) (7 3,94) * 2 + (3 3,2)

– – – – – – – –

(2 3,94) * 15 + (3 3,2) (5 3,94) * 20 + (3 3,2) (7 3,94) * 5 + (5 3,2) (2 3,94) * 5 + (5

–

3,2) (5 3,94) *30 + 0 σ σ

Per calcolare poi r è necessario prima ottenere gli scarti quadratici medi delle variabili , .

X Y

Esercizio C e R

C R

1379 2500

1527 2670

1828 2340

1432 1780

1597 1679

1300 1421

1600 1800

2789 3400

2345 2600

1245 1800

1367 1560

1567 1700

1234 1500

1897 1900

1345 1500

1783 1900

1981 2300

1934 2400

2021 2500

1233 1500

Procedimento Operativo: 33344

1) Calcolo della media dei consumi = = 1667,2

20

40750

2) Calcolo della media dei redditi = = 2037,5

20 ̅ 2

∑ ( )

−

√ =1

=

3) Calcolo dello scarto quadratico medio di C : = 409,672

4) Calcolo dello scarto quadratico medio di R = 524,488

5) Calcolo della covarianza:

X = MEDIA C

i

Y = MEDIA R

j 3273383

(X - MEDIA C) * (Y - MEDIA R) = = COV(X,Y) = = 163669,15

i j 20

6) Calcolo dell’indice di Bravais – Pearson:

163669,15

r = = 0,76

409,672∗ 524,488 Esempio in tabelle di frequenza

0 -I 1 1 -I 3 3 –I 6 6 -I 7

Consumo

Reddito

0 -I 2 25 15 0 0 40

2 -I 4 10 20 3 0 33

4 -I 7 0 5 5 5 15

7 -I 8 0 0 7 5 12

35 40 15 10 100

Redditi: ̅) 2

( − ∗

X f Xi * fi

i i

1 40 40 178,929

3 33 99 0,436425

5,5 15 82,5 85,323375

7,5 12 90 230,7387

100 311,5 264,6888

311,5

̅ = = 3,115

100

264,6888

= √ = 2,22582

100

Consumi: 2

̅

( )

− ∗

Y f Yj * fj

j j

0,5 35 17,5 113,4

2 40 80 36

4,5 15 67,5 172,6

6,5 10 65 176,4

100 230 366

230

̅ = = 2,3

100

366

= √ = 1,91311

100

Calcolo della covarianza: ̅ ̅ ̅ ̅)

Xi - Y - (Xi - ) * (Y -

j j

-2,115 -1,8 3,807

-0,115 -0,3 0,0345

2,385 2,2 5,247

4,385 4,2 18,417

27,5055

27,5055

Covarianza = = 0,27505

100

0,27505

r = = 0,064

4,25423425

Esercizio sul Chi-quadro

È un indice che serve a calcolare il legame tra 2 caratteri (X,Y).

2

0 ≤ ≤ + ∞

È sempre non negativo

Si può calcolare su tutti i tipi di caratteri.

Gli STEP da fare sono 5: f ij

1) Partendo dalla matrice delle f mi ricavo le R =

ij ij N

2

2) Mi ricavo la tabella delle ∗

∑

2

3) Faccio la ∗

2

4) Applico la formula semplificata del

2

2

= (∑ ∑ − 1)

∗

=1 =1 2

5) Calcolo la contingenza quadratica MEDIA RELATIVA NORMALIZZATO

2

√

= (

− 1)( − 1)

Matrice dei valori osservati Occupato Disoccupato

Occupazione (Y)

Genere (X)

M 20 30 50

F 10 40 50

30 70 100

1) Calcolo le R *

ij Occupato Disoccupato

Occupazione

Genere

M 20/100=0,20 30/100=0,30 50/100=0.5

F 10/100=0,10 40/100=0,40 50/100=0,5

30/100=0,30 70/100=0,70 100/100=1

2

2) Calcolo ∗

Occupato Disoccupato

Occupazione

Genere 2 2

0,2 0,3

= 0,26 = 0,257142

M (0,3 ∗ 0,5) (0,7 ∗ 0,5)

2 2

0,1 0,4

= 0,06 = 0,457142

F (0,3 ∗ 0,5) (0,7 ∗ 0,5)

2

∑ = 1,047616

3) ∗

2

4) Applico la formula del 2

=1

2 (∑ ∑

= − 1) = 100 * (1,047616 – 1) = 100 * 0,047616 = 4,7616

=1 ∗

2